重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案（共10套）

重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬考試試題（一）一.選擇題(本題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確,請(qǐng)選出)1.已知全集U={0,1,2,3,4},且集合B={1,2,4},集合A={2,3},則B∩(CUA)=（）A．{1,4}B．{1}C．{4}D．2.下列各命題中,真命題是()A．xR,1-x2<0 B．xN,x21C．xZ,x3<1 D．xQ,x2=23.若不等式x2+ax+b<0(a,bR)的解集為{x|2<x<5},則a,b的值為()A．a(chǎn)=-7,b=10 B．a(chǎn)=7,b=-10C．a(chǎn)=-7,b=-10 D．a(chǎn)=7,b=104.“k>0”是“一次函數(shù)y=kx+b(k,b是常數(shù))是增函數(shù)”的(A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[:]5.若集合A={x|x2-3x<0},B={x|x21},則圖中陰影部分表示的集合為()．A.{x|x>0}B.{x|0<x1}C.{x|1x<3}D.{x|0<x<1或x3}6.若不等式-x2+ax-10對(duì)一切xR恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()．A．{a|-2a2} B．{a|a-2或aC．{a|-2<a<2} D．{a|a<-2或a>2}7.如果函數(shù)y=x2+(1-a)x+2在區(qū)間(-,4]上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)-7B．a(chǎn)－3C．a(chǎn)5D．a(chǎn)98.設(shè)集合A={x|-1x<3},集合B={x|0<x2},則“aA”是“aB”的()．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是() A.y=x+1 B.y=-x3 C.y=x|x| D.y=eq\f(1,x)]10.已知a=20.4,b=30.2,c=50.2,則()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b11.小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為a和b(a>b),其全程的平均時(shí)速為v,則()A．a(chǎn)<v<eq\r(ab)B．b<v<eq\r(ab)C．eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2)D．v＝eq\f(a＋b,2)12.若函數(shù)f(x)=x+eq\f(1,x-2)(x>2)在x=n處取得最小值,則n=()A.eq\f(5,2)B．eq\f(7,2)C．4D．3二.填空題(本題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)將結(jié)果直接填在題中橫線上)13.若命題“xR,x2-3ax+90”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______14.函數(shù)y=eq\f(1,eq\r(1-x2))的定義域?yàn)開______．15.若a>0,b>0,且滿足eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1,則2a+b的最小值為_____.16.已知f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs2(x2+1(x0),-2x(x<0))),若f(x)=10,則x=______.三.解答題(本題共6個(gè)題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本題12分)已知集合A={x|0x4},集合B={x|m+1x1-m},且A∪B=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍18.(本題12分)已知集合A={x|x2+x-2=0},集合B={x|x2+ax+a+3=0},若AB=B,求實(shí)數(shù)a的取值集合．19.(本題12分)已知函數(shù)y=f(x)在定義域[-1,1]上是奇函數(shù),又是減函數(shù),若f(1-a2)+f(1-a)<0,求實(shí)數(shù)a的范圍.20.(本題12分)要制作一個(gè)體積為32m3,高為2m21.(本題10分)已知二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+a-1在區(qū)間[0,1]上有最小值-2,求實(shí)數(shù)a的值.22.(本題12分)已知函數(shù)f(x)=x+eq\f(2,x).(1)求它的定義域和值域(2)用單調(diào)性的定義證明:f(x)在(0,eq\r(2))上單調(diào)遞減.數(shù)學(xué)試題參考答案一.選擇題ACACCADBCBBD二.填空題13.-2<a<2;14.(-1,1)；15.3+2eq\r(2);16.3或-5三.解答題17.解:由A∪B=A得BA2分當(dāng)m+1>1-m,即m>0時(shí),B=,顯然BA5分當(dāng)B時(shí),由BA得eq\b\lc\{(\a\vs2(m+11-m,m+10,1-m4)),解得-1m010分綜上可知,m-112分18.解:A={-2,1},2分由AB=B得BA,當(dāng)a2-4(a+3)<0,a2-4a-12<0,即-2<a<6時(shí),B=,顯然BA;4分當(dāng)B時(shí),由BA得B={-2},{1},{-2,1}若B={-2},則eq\b\lc\{(\a\vs2(a2-4(a+3)=0,4-2a+a+3=0)),即eq\b\lc\{(\a\vs2(a=-2或a=6,a=7)),;6分若B={1},則eq\b\lc\{(\a\vs2(a2-4(a+3)=0,1+a+a+3=0)),即eq\b\lc\{(\a\vs2(a=-2或a=6,a=-2)),a=-2;8分若B={-2,1},則eq\b\lc\{(\a\vs2(a2-4(a+3)>0,-a=-1,a+3=-2)),即eq\b\lc\{(\a\vs2(a<-2或a>6,a=1,a=-5)),;10分綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值集合為{a|-2a<6}19.解:由題意得eq\b\lc\{(\a\vs2(-11-a21,-11-a1)),解得eq\b\lc\{(\a\vs2(0a22,0a2)),即0aeq\r(2)5分由f(1-a2)+f(1-a)<0得f(1-a)<-f(1-a2)∵函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)∴-f(1-a2)=f(a2-1)∴f(1-a)<f(a2-1)8分又∵函數(shù)y=f(x)在定義域[-1,1]上是減函數(shù)∴1-a>a2-1,a2+a-2<0,解得-2<a<110分由eq\b\lc\{(\a\vs2(0aeq\r(2),-2<a<1))得,0a<112分20.解:由題意得,長方體紙盒的底面積為16m2設(shè)長方體紙盒的底面一邊長為xm,則另一邊長為eq\f(16,x)m,長方體紙盒的全面積為ym2,2分則由題意得y=2(2x+eq\f(32,x)+16)=4(x+eq\f(16,x))+32(x>0)6分∵x>0∴x+eq\f(16,x)8,當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(16,x),即x=4時(shí),等號(hào)成立∴當(dāng)x=eq\f(16,x)=4時(shí),y的最小值為6410分答:當(dāng)長方體紙盒的底面是邊長為4m的正方形時(shí),用紙最少為64m21.解:二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+a-1圖像的對(duì)稱軸是x=a當(dāng)a0時(shí),f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增∴f(x)min=f(0)=a-1=-2,解得a=-1;3分當(dāng)a1時(shí),f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減∴f(x)min=f(1)=1-2a+a-1=-2,解得a=2;6分當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)min=f(a)=a2-2a2+a-1=-2,即a2-a-1=0,解得a=eq\f(1eq\r(5),2),不合題意,舍去;9分綜上可得,a=-1或a=210分22.(1)解:函數(shù)的定義域是{x|x0}1分當(dāng)x>0時(shí),x+eq\f(2,x)2eq\r(2),當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(2,x)即x=eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立；3分當(dāng)x<0時(shí),-x>0,-x+eq\f(2,-x))2eq\r(2),當(dāng)且僅當(dāng)-x=eq\f(2,-x)即x=-eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立；5分∴函數(shù)f(x)的值域是(-,-2eq\r(2)]∪[2eq\r(2),0)6分(2)證明:設(shè)0<x1<x2<eq\r(2),則f(x1)-f(x2)=(x1+eq\f(2,x1))-(x2+eq\f(2,x2))=eq\f((x1-x2)(x1x2-2),x1x2)9分∵0<x1<x2<eq\r(2)∴x1-x2<0,0<x1x2<2∴x1x2-2<0∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)11分∴f(x)在(0,eq\r(2))上單調(diào)遞減12分重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬考試試題（二）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B:集合，集合，所以,2．設(shè)曲線在處的切線方程為，則a＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：選D∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－eq\f(1,x＋1)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝a－1.∵曲線y＝eax－ln(x＋1)在x＝0處的切線方程為2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.3．的展開式中的系數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D:的展開式中的系數(shù)為.4．已知在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為()A. B. C. D.【答案】D：由題意可得：最長弦為直徑：最短的弦是.則四邊形ABCD的面積為.5．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A．B．C． D．【答案】A，，，故，所以。6.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖像為（）ABCD【答案】B考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.7．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的一條對(duì)稱軸是（）A． B． C． D．【答案】D函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時(shí)，.8．元代數(shù)學(xué)家朱世杰在算學(xué)啟蒙中提及如下問題：今有銀一秤一斤十兩秤=10斤,1斤=10兩,令甲、乙、丙從上作折半差分之,問：各得幾何？其意思是：“現(xiàn)有銀一秤一斤十兩,現(xiàn)將銀分給甲、乙、丙三人,他們?nèi)嗣恳粋€(gè)人所得是前一個(gè)人所得的一半”若銀的數(shù)量不變,按此法將銀依次分給5個(gè)人,則得銀最少的3個(gè)人一共得銀

A.兩 B.兩 C.?兩 D.兩【答案】C解：一秤一斤十兩共120兩,將這5人所得銀兩數(shù)量由小到大記為數(shù)列,則是公比的等比數(shù)列,于是得,解得,故得銀最少的3個(gè)人一共得銀數(shù)為(兩．9．如圖，平面四邊形中，，，，將其沿對(duì)角線BD折成四面體，使平面⊥平面，若四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．3π B．C．4π D．解析：選A由圖示可得BD＝A′C＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，△DBC與△A′BC都是以BC為斜邊的直角三角形，由此可得BC中點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)A′，B，C，D的距離相等，即該三棱錐的外接球的直徑為eq\r(3)，所以該外接球的表面積S＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝3π.10.已知為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過雙曲線左頂點(diǎn)作兩漸近線的平行線分別與軸交于兩點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形的內(nèi)切圓經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A．B.C.D.【答案】B作草圖，易知直線BC的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，圓心O到BC的距離為eq\f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))2))＝eq\f(c,2)，∴2ab＝c2，∴4a2(c2－a2)＝c4，同除以a4得，e4－4e2＋4＝0，∴(e2－2)2＝0，∴e2＝2，∴e＝eq\r(2)或－eq\r(2)(舍)，∴e＝eq\r(2)，故選B.11.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若滿足①；②當(dāng)，且時(shí)，都有；③當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱為“偏對(duì)稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：；；則其中是“偏對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)個(gè)數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C因?yàn)闂l件②，所以與同號(hào)，不符合②，不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；對(duì)于；，滿足①②，構(gòu)造函數(shù)，，在上遞增，當(dāng)，且時(shí)，都有，，滿足條件③，是“偏對(duì)稱函數(shù)”；對(duì)于，，滿足條件①②，畫出函數(shù)的圖象以及在原點(diǎn)處的切線，關(guān)于軸對(duì)稱直線，如圖，由圖可知滿足條件③，所以知是“偏對(duì)稱函數(shù)”；函數(shù)為偶函數(shù)，，不符合③，函數(shù)不是，“偏對(duì)稱函數(shù)”.12．已知函數(shù)，，其中．若的圖象在點(diǎn)處的切線與的圖象在點(diǎn)處的切線重合，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C∵，∴，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，兩直線重合的充要條件是①，②，由①及得，故，令，則，且，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，即單調(diào)遞減，，時(shí)，，即a的取值范圍為.二、填空題13．的值是__________；【答案】0;復(fù)數(shù)．14．交通部門對(duì)某路段公路上行駛的汽車速度實(shí)施監(jiān)控，從速度在的汽車中抽取600輛進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則速度在以下的汽車有________輛；【答案】300;以下的頻率為，所以汽車有.15．在平行六面體中，，，則與所成角為_________；（用弧度表示）【答案】16．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為_________.【答案】;設(shè)直線AC和x軸的夾角為由焦半徑公式得到面積之和為：通分化簡得到原式子化簡為根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)t=1時(shí)有最小值，此時(shí)拋物線方程為：.三、解答題17．箱中裝有4個(gè)白球和個(gè)黑球.規(guī)定取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，現(xiàn)從箱中任取3個(gè)球，假設(shè)每個(gè)球被取出的可能性都相等.記隨機(jī)變量為取出的3個(gè)球所得分?jǐn)?shù)之和.（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）由題意得：取出的個(gè)球都是白球時(shí)，隨機(jī)變量，即：，解得：（2）由題意得：所有可能的取值為：則；；；.的分布列為：【點(diǎn)睛】本題考查服從超幾何分布的隨機(jī)變量的概率及分布列的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量所服從的分布類型，從而利用對(duì)應(yīng)的公式來進(jìn)行求解.18．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，且，求面積的最大值．【答案】(1)解：＝.（2）由題可得，因?yàn)?，所以，又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故面積的最大值為．19．如圖，在三棱錐中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，在上且.（I）求證：；（II）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】I.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB.AS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）由SF=2FE得F(,,)平面平面SBCⅡ.假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，并設(shè)DG=.則G（1，t，0）.所以設(shè)平面AFG的法向量為，則取，得即.（法一）設(shè)平面AFE的法向量為則取，得，即（法二）.所以平面AFE的法向量為：；由得二面角G-AF-E的大小為得，化簡得，又，求得，于是滿足條件的點(diǎn)G存在，且20．已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的三點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)恰為點(diǎn)時(shí)，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由．【答案】（1）由已知易得，∴，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）①若點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)（左頂點(diǎn)一樣），則，∵，在線段上，∴，此時(shí)軸，求得，∴的面積等于.②若點(diǎn)不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為：，，，由得，則，，∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將其代入橢圓方程，化簡得．∴．點(diǎn)到直線的距離，∴的面積．綜上可知，的面積為常數(shù)．21．設(shè)數(shù)列,，已知，，（1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意,若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，又，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2），又,，兩式相加即得：，,()當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)()當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，綜上，所以實(shí)數(shù)p的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本類試題，注意看問題，一般情況，問題都會(huì)指明解題方向22.設(shè)，，其中．Ⅰ求的極大值；Ⅱ設(shè)，，若對(duì)任意的，恒成立，求的最大值；Ⅲ設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．【答案】Ⅰ，當(dāng)時(shí)，，在遞增；當(dāng)時(shí)，，在遞減．則有的極大值為；Ⅱ當(dāng)，時(shí)，，，在恒成立，在遞增；由，在恒成立，在遞增．設(shè)，原不等式等價(jià)為，即，，在遞減，又，在恒成立，故在遞增，，令，，∴，在遞增，即有，即；Ⅲ，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．又因?yàn)?，，，所以，函?shù)在上的值域?yàn)椋深}意，當(dāng)取的每一個(gè)值時(shí)，在區(qū)間上存在，與該值對(duì)應(yīng)．時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不合題意，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，由題意，在區(qū)間上不單調(diào)，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，由題意，只需滿足以下三個(gè)條件：，，使．，所以成立由，所以滿足，所以當(dāng)b滿足即時(shí)，符合題意，故b的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查不等式恒成立和存在性問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值，屬于難題．重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬考試試題（三）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則A．B．C．D．2．已知非零向量，滿足且，則的夾角為A．B．C．D．3．元旦晚會(huì)期間，高三二班的學(xué)生準(zhǔn)備了6個(gè)參賽節(jié)目，其中有2個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)小品節(jié)目，2個(gè)歌曲節(jié)目，要求歌曲節(jié)目一定排在首尾，另外2個(gè)舞蹈節(jié)目一定要排在一起，則這6個(gè)節(jié)目的不同編排種數(shù)為A．48B．36C．24D．124．已知實(shí)數(shù)滿足不等式組其中則的最大值是A．B．5C．20D．255.若，則下列不等式成立的是A.B．C．D．6.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，題中描繪的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某天某地下雨天時(shí)利用該器具接的雨水的深度為6寸，則這天該地的降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水除以器具口面積．參考公式：其中分別表示上、下底面的面積，為高)第6題圖A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸7．如圖①，一塊黃銅板上插著三根寶石針，在其中一根針上從下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法則移動(dòng)這些金片：每次只能移動(dòng)一片金片；每次移動(dòng)的金片必須套在某根針上；大片不能疊在小片上面．設(shè)移完片金片總共需要的次數(shù)為，可推得．如圖②是求移動(dòng)次數(shù)的程序框圖模型，則輸出的結(jié)果是第7題圖①②A．1022B．1023C．1024D．10258．如圖，在所有棱長均為a的直三棱柱ABC—A1B1C1中，D,E分別為BB1,A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AD,CE所成角的余弦值為第8題圖A．B．C．D．9．如圖，由拋物線y2＝8x與圓E：(x－2)2＋y2＝9的實(shí)線部分構(gòu)成圖形Ω，過點(diǎn)P(2,0)的直線始終與圖形Ω中的拋物線部分及圓部分有交點(diǎn)，則|AB|的取值范圍為第9題圖A.B.C．D．10．下列命題中，正確的是①若隨機(jī)變量，則且；②命題“”的否定是：“”；③命題“若”為真命題；④已知為實(shí)數(shù)，直線是“2”的充要條件.A．①②B．②③C．②④D．③④11．已知偶函數(shù)滿足，且，則的解集為A．B．C．D.12．已知函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)分別為中在的右邊)，曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別且|x2－x1|＝，且當(dāng)時(shí)，有.記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，的值為A．B．C．D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)滿足，則＝_____．14．已知展開式的常數(shù)項(xiàng)為，則的最小值為___________．15．四邊形中，，當(dāng)邊最短時(shí)，四邊形的面積為__________．16．已知雙曲線的上支交拋物線于兩點(diǎn)，雙曲線的漸近線在第一象限與拋物線交于點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，則＝___.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(I)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(II)求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，，.(I)求證：;(II)在棱上取一點(diǎn)M,,若與平面所成角的正弦值為，求.第18題圖19．（本小題滿分12分）某省級(jí)示范高中高三年級(jí)對(duì)考試的評(píng)價(jià)指標(biāo)中，有“難度系數(shù)”“區(qū)分度”和“綜合”三個(gè)指標(biāo)，其中，難度系數(shù)，區(qū)分度，綜合指標(biāo)．以下是高三年級(jí)6次考試的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：i123456難度系數(shù)xi0.660.720.730.770.780.84區(qū)分度yi0.190.240.230.230.210.16(I)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，若，則認(rèn)為與的相關(guān)性強(qiáng)；通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)，能否認(rèn)為與的相關(guān)性很強(qiáng)(結(jié)果保留兩位小數(shù))?(II)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，區(qū)分度與難度系數(shù)的相關(guān)性較強(qiáng)，從以上數(shù)據(jù)中剔除(0.7,0.8)以外的值，即．(i)寫出剩下4組數(shù)據(jù)的線性回歸方程(保留兩位小數(shù))；(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系依從(i)中的回歸方程，當(dāng)為何值時(shí)，綜合指標(biāo)的值最大？參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為20．（本小題滿分12分）（原創(chuàng)題）已知點(diǎn)是橢圓和拋物線的公共焦點(diǎn)，是橢圓的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且.(I)求橢圓的方程；(II)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)△的面積為，△的面積為，求的最大值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng),對(duì)任意有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到曲線的最小距離為，求的值.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：題號(hào)123456789101112答案CACDBABCDBCA二、填空題：13.14.215.16.117.（I）解：由及得,所以,又,所以,是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列(5分)(II)由（I）得，所以（1）-（2）得所以.(12分)18.（I）證明：由題意知四邊形是菱形，則，如圖，設(shè)，連接,易求得，又為的中點(diǎn)，所以,又，所以，所以(II)解：如圖所示，取的中點(diǎn)為,則由,得,又平面,平面,所以，又,所以，以為原點(diǎn)，的正方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則由,得所以，由（1）知平面的一個(gè)法向量為所以,解得或-1(負(fù)值舍去)，所以19.解：（1）易求得，因?yàn)?，所以不能認(rèn)為與的相關(guān)性很強(qiáng)（II）(i)由題意，剔除后，求得，則，故所求線性回歸方程為：(ii)，故當(dāng)時(shí)，取最大值20.解：（I）易知，所以焦點(diǎn)，橢圓的另一焦點(diǎn)為由拋物線定義知，從而，又由橢圓定義得：,∴，故所求橢圓方程為：（2）由對(duì)稱性，不妨設(shè)，再設(shè),由得,①②由①②解得所以有：③④由點(diǎn)斜式得⑤③④代入⑤得：聯(lián)立消去得，又設(shè)，則，到之間的距離為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.21.（1）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，取，則（因?yàn)榍視r(shí)，）因?yàn)?，所以，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)。②當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增；要使函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則即.綜上所述，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則或.（其它解法：如分離參數(shù)法酌情給分）（2）因?yàn)閷?duì)任意，有成立因?yàn)?，所以；因?yàn)?，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；，因?yàn)榕c，所以設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以.從而.所以即，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即為，解得.因?yàn)?所以的取值范圍為.22.解：（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得的普通方程為，由曲線的極坐標(biāo)方程得，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，則點(diǎn)到曲線的距離為∵,∴,,當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，∴或曲線的參數(shù)方程為，以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.23.（1）當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得；.當(dāng)時(shí)，由，得；綜上所述，的解集為.（2）不等式，即為，即關(guān)于的不等式恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得或，解得：或.所以的取值范圍是.重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬考試試題（四）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋1＝0))))，且B?A，則a的可能取值組成的集合為(D)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，2))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，0，2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，－2))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，0，－2))2．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,1＋i)，命題p：復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(1,2)，命題q：復(fù)數(shù)z的模為1.下列命題為真命題的是(D)A．p∨qB．p∧(綈q)C．p∧qD．(綈p)∧(綈q)【解析】z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，所以z的虛部為－eq\f(1,2)，模為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以命題p，q均為假命題，故選D.3．若向量a與b滿足(a＋b)⊥a，且|a|＝1，|b|＝2，則向量a在b方向上的投影為(B)A.eq\r(3)B．－eq\f(1,2)C．－1D.eq\f(\r(3),3)【解析】利用向量垂直的充要條件有：(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－1，向量a在b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝－eq\f(1,2).4．公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍．當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍然前于他10米．當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜．按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10－3米時(shí)，烏龜爬行的總距離為(B)A.eq\f(105－1,90)米B.eq\f(106－1,9000)米C.eq\f(106－9,900)米D.eq\f(105－9,900)米【解析】烏龜爬行的總距離為100＋10＋1＋0.1＋0.01＋0.001＝eq\f(106－1,9000)(米)．5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－m))－1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log25))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋m))，則a，b，c的大小關(guān)系為(B)A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．c<a<bD．c<b<a【解析】∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)在R上恒成立，∴m＝0，∴當(dāng)x≥0時(shí)，易得f(x)＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－1為增函數(shù)，∴a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(2)，∵log23<2<log25，∴a<c<b，故選B.6．設(shè)p：?x∈(0，＋∞)，x2－ax＋1≥0，則使p為真命題的一個(gè)充分非必要條件是(A)A．a(chǎn)≤1B．a(chǎn)≤2C．a(chǎn)≤3D．a(chǎn)>2【解析】若p為真命題，則當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x2－ax＋1≥0恒成立，即a≤x＋eq\f(1,x)恒成立，所以a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\do7(min).因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，所以命題p為真的充要條件是a≤2，則a≤1是使p為真命題的一個(gè)充分非必要條件．故選A.7．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，給出下列說法：①若l⊥α，α⊥β，則l∥β；②若l∥α，α∥β，則l∥β；③若l⊥α，α∥β，則l⊥β；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β.其中說法正確的個(gè)數(shù)為(C)A．3B．2C．1D．0【解析】①若l⊥α，α⊥β，則l∥β或l?β；②若l∥α，α∥β，則l∥β或l?β；③若l⊥α，α∥β，則l⊥β，正確；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l∥β或l與β相交且l與β不垂直．故選C.8．若5個(gè)人各寫一張卡片(每張卡片的形狀、大小均相同)，現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有(D)A．20B．90C．15D．45【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從5個(gè)人里選1人，恰好摸到自己寫的卡片，有C51種選法，②對(duì)于剩余的4人，因?yàn)槊總€(gè)人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個(gè)人有3種拿法，被拿了自己卡片的那個(gè)人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有C51·C31·C31＝45種．9．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為雙曲線在第二象限上的點(diǎn)，直線BO交雙曲線于C點(diǎn)，若直線AC平分線段BF于M，則雙曲線的離心率是(D)A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(1,3)D．3【解析】由題知BF中點(diǎn)為M，連接OM，CF，則OM為△BCF的中位線，于是eq\f(a,c－a)＝eq\f(OM,CF)＝eq\f(1,2)，可得c＝3a，∴e＝3.10．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋ax，x≤1，,a2x2－7，x>1，))若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)A．a(chǎn)<3B．－2<a<3C．－2≤a≤2D．a(chǎn)<2【解析】當(dāng)eq\f(a,2)<1，即a<2時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋ax，x≤1上存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，所以a<2時(shí)滿足題意；當(dāng)a≥2時(shí)，需滿足－1＋a>a2－7，解得－2<a<3，即2≤a<3，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<3，故選A.11．將函數(shù)f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π)))圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)g(x)，函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，且g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π))上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值(其中最大值為1，最小值為－1)，則ω的取值范圍是(C)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，\f(13,12)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，\f(13,12)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)，\f(17,12)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,12)，\f(17,12)))【解析】由已知得函數(shù)g(x)＝sin(ωx＋φ)，由g(x)圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))以及點(diǎn)在圖象上的位置，知sinφ＝eq\f(\r(3),2)，φ＝eq\f(2π,3)，∵0≤x≤2π，∴eq\f(2π,3)≤ωx＋eq\f(2π,3)≤2πω＋eq\f(2π,3)，由g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π))上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，∴eq\f(5π,2)≤2πω＋eq\f(2π,3)<eq\f(7π,2)，∴eq\f(11,12)≤ω<eq\f(17,12).12．已知球O是三棱錐P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝1，CP＝eq\r(2)，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，且CD＝eq\f(\r(7),2)，則球O的表面積為(A)A.eq\f(7π,3)B.eq\f(7π,6)C.eq\f(7\r(21)π,27)D.eq\f(7\r(21)π,54)【解析】由PA＝AB＝PB＝AC＝1，CP＝eq\r(2)，得PA⊥AC.由點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)及PA＝AB＝PB，易求得AD＝eq\f(\r(3),2)，又CD＝eq\f(\r(7),2)，所以AD⊥AC，所以AC⊥平面PAB.以△PAB為底面，AC為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則球O是該三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距離d＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，由正弦定理得△PAB的外接圓半徑r＝eq\f(PA,2sin60°)＝eq\f(1,\r(3))，所以球O的半徑為R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(\f(7,12))，所以球O的表面積為S＝4πR2＝eq\f(7π,3).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝__－eq\f(7,9)__．【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋\f(π,2)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))－1＝－eq\f(7,9).14．湖南師大附中第33屆體育節(jié)高二年級(jí)各班之間進(jìn)行籃球比賽，某班計(jì)劃從甲、乙兩人中挑選服務(wù)人員，已知甲可能在16：00－17：00到達(dá)籃球場地，乙可能在16：30－17：00到達(dá)，若規(guī)定誰先到達(dá)就安排誰參加服務(wù)工作，則甲參加服務(wù)工作的概率是__eq\f(3,4)__．【解析】設(shè)甲和乙到校的時(shí)刻分別為16時(shí)x分和16時(shí)y分，(x，y)可以看成平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|0≤x≤60，30≤y≤60}，這是一個(gè)長方形區(qū)域，面積為30×60＝1800，而甲比乙先到籃球場應(yīng)滿足y>x，則符合題意的圖形的面積為1800－eq\f(1,2)×30×30＝1350，所以甲參加服務(wù)工作的概率是eq\f(1350,1800)＝eq\f(3,4).15．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的射線，分別與拋物線相交于點(diǎn)M，N，過弦MN的中點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線PQ，垂足為Q，則eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)))的最大值為__eq\f(\r(2),2)__．【解析】過點(diǎn)M，N分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M′，N′，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝eq\f(1,2)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MM′))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NN′)))≤eq\r(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MM′))\s\up12(2)＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NN′))\s\up12(2),2))＝eq\r(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))\s\up12(2)＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF))\s\up12(2),2))＝eq\r(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN))\s\up12(2),2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)),\r(2))，可得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)))≤eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NF))時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)))的最大值為eq\f(\r(2),2).16．對(duì)于數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，定義An＝eq\f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的“好數(shù)”，已知某數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的“好數(shù)”An＝2n＋1，記數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－kn))的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn≤S7對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(16,7)))__．【解析】由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝A1＝22＝4，由nAn＝a1＋2a2＋…＋2n－1an，可得(n－1)An－1＝a1＋2a2＋…＋2n－2an－1(n≥2)，兩式相減可得nAn－(n－1)An－1＝2n－1an，整理得an＝eq\f(nAn－（n－1）An－1,2n－1)＝eq\f(n·2n＋1－（n－1）·2n,2n－1)＝4n－2(n－1)＝2n＋2，由于a1＝2×1＋2＝4，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2，則an－kn＝(2－k)n＋2，由于Sn≤S7對(duì)任意的n∈N*恒成立，則k>2且a7－7k≥0，a8－8k≤0，解得eq\f(9,4)≤k≤eq\f(16,7).三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cos2C－cos2B＝sin2A－sinAsinC.(1)求角B的值；(2)若BC邊上的高AH滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AH))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))，求eq\f(b,2c)＋eq\f(c,2b)的取值范圍．【解析】(1)由cos2C－cos2B＝sin2A－sinAsinC，得sin2B－sin2C＝sin2A－sinAsinC.由正弦定理，得b2－c2＝a2－ac，即a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2).因?yàn)?<B<π，所以B＝eq\f(π,3).6分(2)因?yàn)锽C邊上的高AH滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AH))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))，所以eq\f(1,2)×eq\f(a,2)×a＝eq\f(1,2)bcsinA，即a2＝2bcsinA，可得eq\f(b,2c)＋eq\f(c,2b)＝eq\f(b2＋c2,2bc)＝eq\f(a2＋2bccosA,2bc)＝eq\f(2bcsinA＋2bccosA,2bc)＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))，9分由(1)知B＝eq\f(π,3)，∴0<A<eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,4)<A＋eq\f(π,4)<eq\f(11,12)π，∴eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\r(2)))，所以eq\f(b,2c)＋eq\f(c,2b)的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\r(2))).12分18．(本小題滿分12分)如圖所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，ED∥FB，DE＝eq\f(1,2)BF，AB＝FB，F(xiàn)B⊥平面ABCD.(1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，求證：OE⊥平面ACF；(2)求二面角E－AF－C的正弦值．【解析】(1)由題意可知：ED⊥平面ABCD，從而DE⊥AC，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為2的正方形，所以DB⊥AC，又因?yàn)镈B∩DE＝D，∴AC⊥平面DBE，∵OE?平面DBE，∴AC⊥OE，2分在△EOF中，OE＝eq\r(3)，OF＝eq\r(6)，EF＝3，∴OE2＋OF2＝EF2，∴OE⊥OF，又AC∩OF＝O，∴OE⊥平面ACF.5分(2)易知ED⊥平面ABCD，且DA⊥DC，如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE方向建立空間直角坐標(biāo)系，從而E(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，F(xiàn)(2，2，2)，O(1，1，0)．由(1)可知eq\o(EO,\s\up6(→))＝(1，1，－1)是平面AFC的一個(gè)法向量，7分設(shè)n＝(x，y，z)為平面AEF的一個(gè)法向量，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))·n＝2y＋2z＝0，,\o(AE,\s\up6(→))·n＝－2x＋z＝0，))令x＝1得n＝(1，－2，2)，9分設(shè)θ為二面角E－AF－C的平面角，則|cosθ|＝|coseq\o(EO,\s\up6(→))，n|＝eq\f(|\o(EO,\s\up6(→))·n|,|\o(EO,\s\up6(→))|·|n|)＝eq\f(\r(3),3)，∴sinθ＝eq\f(\r(6),3).∴二面角E－AF－C的正弦值為eq\f(\r(6),3).12分19．(本小題滿分12分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(\r(5),5)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過右焦點(diǎn)F2任作一條直線l，記l與橢圓的兩交點(diǎn)為A，B，已知△F1AB的周長為定值4eq\r(5).(1)求橢圓C的方程；(2)記點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，直線AB′交x軸于點(diǎn)D，求△ABD面積的取值范圍．【解析】(1)由已知條件得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，4a＝4eq\r(5)，解得a＝eq\r(5)，c＝1，b＝2，則橢圓C的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.4分(2)由(1)知F2(1，0)，可令直線l：x＝ty＋1(t≠0)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，B′(x2，－y2)．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))得(5＋4t2)y2＋8ty－16＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(8t,5＋4t2)，,y1y2＝－\f(16,5＋4t2)，))6分而直線AB′的方程為y＝eq\f(y1＋y2,x1－x2)(x－x1)＋y1，令y＝0，得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)xD＝eq\f(x1y2＋x2y1,y1＋y2)＝eq\f(（ty1＋1）y2＋（ty2＋1）y1,y1＋y2)＝eq\f(2ty1y2,y1＋y2)＋1＝5，即點(diǎn)D(5，0)，8分于是，△ABD的面積為S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F2D))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1－y2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1－y2))＝2eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝16eq\r(5)·eq\f(\r(t2＋1),5＋4t2)，令μ＝eq\r(t2＋1)，則μ>1，且S＝16eq\r(5)·eq\f(μ,4μ2＋1)＝eq\f(16\r(5),4μ＋\f(1,μ))，由于函數(shù)f(μ)＝4μ＋eq\f(1,μ)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以0<S<eq\f(16\r(5),5)，故△ABD面積的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(16\r(5),5))).12分20．(本小題滿分12分)某個(gè)地區(qū)計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水的年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：十億立方米)都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超過12的年份有35年，超過12的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過12的概率；(2)若水的年入流量X與其蘊(yùn)含的能量y(單位：百億萬焦)之間的部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如下表所示：年入流量X68101214蘊(yùn)含的能量y1.52.53.557.5用最小二乘法求出y關(guān)于X的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))；(回歸方程系數(shù)用分?jǐn)?shù)表示)(3)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X4<X<88≤X≤12X>12發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤為5000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？附：回歸方程系數(shù)公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－nx－y－,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi2－nx－2)，\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－－\o(b,\s\up6(^))x－,n,.)【解析】(1)依題意，P1＝P(4<X<8)＝eq\f(10,50)＝0.2，P2＝P(8≤X≤12)＝eq\f(35,50)＝0.7，P3＝P(X>12)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二項(xiàng)分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過12的概率為P＝C40(1－P3)4＋C41(1－P3)3P3＝0.6561＋0.2916＝0.9477.3分(2)eq\o(X,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i＝1Xiyi＝229，∑5,i＝1,5,X)i2＝540，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(29,40)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(X,\s\up6(－))＝－eq\f(13,4)，所以y關(guān)于X的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(29,40)X－eq\f(13,4).6分(3)記水電站年總利潤為ξ(單位：萬元)．①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形．由于水庫年入流量總大于4，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤ξ＝5000，E(ξ)＝5000×1＝5000.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形．依題意，當(dāng)4<X<8時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)ξ＝5000－800＝4200，因此P(ξ＝4200)＝P(4<X<8)＝P1＝0.2；當(dāng)X≥8時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)ξ＝5000×2＝10000，因此P(ξ＝10000)＝P(X≥8)＝P2＋P3＝0.8.由此得ξ的分布列如下：ξ420010000P0.20.8所以，E(ξ)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.9分③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形．依題意，當(dāng)4<X<8時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)ξ＝5000－1600＝3400，因此P(ξ＝3400)＝P(4<X<8)＝P1＝0.2；當(dāng)8≤X≤12時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)ξ＝5000×2－800＝9200，因此P(ξ＝9200)＝P(8≤X≤12)＝P2＝0.7；當(dāng)X>12時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)ξ＝5000×3＝15000，因此P(ξ＝15000)＝P(X>12)＝0.1.由此得ξ的分布列如下：ξ3400920015000P0.20.70.1所以，E(ξ)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).12分21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋mx2－2(m＋1)x－8，m∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)對(duì)實(shí)數(shù)m＝2，令g(x)＝f(x)－3x，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足g(x1)＋g(x2)＋2x1x2＝0，求x1＋x2的最小值．【解析】(1)f′(x)＝eq\f(2,x)＋2mx－2(m＋1)＝eq\f(2（x－1）（mx－1）,x)(x>0).1分若m≤0，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)≥0，即f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．若0<m<1，當(dāng)x∈(0，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，＋∞))時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，＋∞))上均單調(diào)遞增；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,m)))時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,m)))上單調(diào)遞減．若m＝1，則f′(x)≥0，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．若m>1，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,m)))∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,m)))，(1，＋∞)上均單調(diào)遞增；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，1))時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，1))上單調(diào)遞減.5分(2)當(dāng)實(shí)數(shù)m＝2時(shí)，g(x)＝f(x)－3x＝2lnx＋2x2－9x－8(x>0)，且g(x1)＋g(x2)＋2x1x2＝0?2lnx1＋2x12－9x1－8＋2lnx2＋2x22－9x2－8＋2x1x2＝0?2(x1＋x2)2－9(x1＋x2)－16＝2x1x2－2ln(x1x2)，7分令t＝x1x2，h(t)＝2t－2lnt(t>0)，由于h′(t)＝eq\f(2（t－1）,t)，知當(dāng)t∈(0，1)時(shí)，h′(t)<0，即h(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈(1，＋∞)時(shí)，h′(t)>0，即h(t)單調(diào)遞增．從而，h(t)min＝h(1)＝2，10分于是，2(x1＋x2)2－9(x1＋x2)－16≥2，即[2(x1＋x2)＋3](x1＋x2－6)≥0，而x1，x2>0，所以x1＋x2≥6，而當(dāng)x1＝3－2eq\r(2)，x2＝3＋2eq\r(2)時(shí)，x1＋x2取最小值6.12分(二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋sin2θ).(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C上的點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為Q，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))的最小值為2，求m的值．【解析】(1)因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋sin2θ)，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)代入上式并化簡得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，直線的普通方程為x－eq\r(2)y－m＝0.5分(2)設(shè)P(2cosθ，eq\r(2)sinθ)，由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2cosθ－2sinθ－m)),\r(3))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－m)),\r(3))，由題意知m≠0，當(dāng)m>0時(shí)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))eq\s\do7(min)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－m)),\r(3))＝2，得m＝2eq\r(2)＋2eq\r(3)；當(dāng)m<0時(shí)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))eq\s\do7(min)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2\r(2)－m)),\r(3))＝2，得m＝－2eq\r(2)－2eq\r(3).所以m＝2eq\r(2)＋2eq\r(3)或m＝－2eq\r(2)－2eq\r(3).10分23．(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x＋a|.(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b，b＋3))，求實(shí)數(shù)a，b的值．【解析】(1)對(duì)?x∈R，f(x)＝|x|＋|x＋a|≥|x－(x＋a)|＝|a|，2分當(dāng)且僅當(dāng)x(x＋a)≤0時(shí)取等號(hào)，故原條件等價(jià)于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))≤3a－1，即－3a＋1≤a≤3a－1，解得a≥eq\f(1,2)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).5分(2)由(1)知實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，故－a<0，故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－a，x<－a，,a，－a≤x≤0，,2x＋a，x>0))的圖象如圖所示，8分由圖可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2b－a＝3a－1，,2（b＋3）＋a＝3a－1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3)，,b＝－\f(13,6).))10分重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬考試試題（五）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.B.2C.D.33.在矩形中，，，若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，那么使得與的面積都不小于2的概率為（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則的解集為（）A.B.C.D.5.已知雙曲線的離心率為，則的值為（）A.1B.-2C.1或-2D.-16.等比數(shù)列的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，前項(xiàng)和分別為，，，則（）A.B.C.D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，輸出的，則空白判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件為（）A.？B.？C.？D.？8.將函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)圖象，在圖象的所有對(duì)稱軸中，離原點(diǎn)最近的對(duì)稱軸為（）A.B.C.D.9.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（）A.119B.120C.121D.72010.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無丈.芻,草也；薨,屋蓋也.”翻譯為:“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”如圖,為芻甍的三視圖,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,則它的體積為（）......A.B.160C.D.6411.已知橢圓：，直線：與軸交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則“軸”是“直線過線段中點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12.下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④A.1B.2C.3D.4二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.平面向量與的夾角為，，，則__________．14.已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，且的最小值為3，則常數(shù)__________．15.考慮函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)系，計(jì)算：__________．16.如圖所示，在平面四邊形中，，，為正三角形，則面積的最大值為__________．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)且（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若（），令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖，四邊形與均為菱形，，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.某市政府為了節(jié)約生活用電，計(jì)劃在本市試行居民生活費(fèi)定額管理，即確定一戶居民月用電量標(biāo)準(zhǔn)，用電量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為此，政府調(diào)查了100戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，求直方圖中的值并估計(jì)該市每戶居民平均用電量的值；（2）用頻率估計(jì)概率，利用（1）的結(jié)果，假設(shè)該市每戶居民月平均用電量服從正態(tài)分布（i）估計(jì)該市居民月平均用電量介于度之間的概率；（ii）利用（i）的結(jié)論，從該市所有居民中隨機(jī)抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.如圖，圓：，，，為圓上任意一點(diǎn)，過作圓的切線分別交直線和于，兩點(diǎn)，連，交于點(diǎn)，若點(diǎn)形成的軌跡為曲線.（1）記，斜率分別為，，求，的值并求曲線的方程；（2）設(shè)直線：（）與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求的面積與面積的比值的最大