2019屆高考數(shù)學一輪復習 第5單元 數(shù)列聽課學案 理

第五單元數(shù)列

第28講數(shù)列的概念與簡單表示法

課前雙擊鞏固

知識聚焦、

1.數(shù)列的有關概念

有關概念定義

數(shù)列按照一F列的二歹IJ數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的__________

數(shù)列的通項數(shù)列｛a,｝的第n項a?

通項公式數(shù)列｛a｝的第〃項a“與之間的關系式

前〃項和數(shù)歹!Ha,,｝中，S“=____________________

2.數(shù)列的表示法

表示法定義

列表法通過表格表示〃與&的對應關系

用平面直角坐標系內的

圖像法

y軸,一系列孤立的點表示

通項公式

公式法

遞推公式f(a)a,-i)

3.數(shù)列的分類

分類原則類型滿足條件

遞增數(shù)列—

單調性遞減數(shù)列—

常數(shù)列=3/i

周期性周期數(shù)列對〃GN*,存在正整數(shù)常數(shù)A,

使&+*-________

有界數(shù)列存在正數(shù)M,使__________

其他標準從第2項起,有些項大于它的前一項，

擺動數(shù)列

有些項小于它的前一項

4.4與S的關系

S［,?i=1,

已知數(shù)列｛&｝的前n項和S,,則&=卜"-Sn_儼＞2.

常用結論

an-%-V

求數(shù)列的最大(小)項，一般可以利用數(shù)列的單調性,即用瓦之4+1(〃22,〃3)或

-1,

-a?+i(〃N2,求解,也可以轉化為函數(shù)的最值問題或利用數(shù)形結合思想求解.

對點演練、

題組一常識題

357

1.［教材改編］已知數(shù)列的前幾項為1,-22,32,-42,則該數(shù)列的一個通項公式是.

2.［教材改編］己知數(shù)列｛%｝滿足4=(〃-/)2"(〃6心，若伯〃｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)人的取值

范圍是.

1

3.［教材改編］在數(shù)列｛%｝中，若功=1,a?=l嚴n-1(〃22),則a3=.

題組二常錯題

?索引：忽視數(shù)列是特殊的函數(shù),其自變量為正整數(shù)集N*或其子集｛1,2,…,n］;求數(shù)列前〃項

和S的最值時忽視項為零的情況;根據(jù)S求&時忽視對n=l的驗證.

］］71—2

4.在數(shù)列-1,0,5R…，n2中,0.08是它的第項.

5.在數(shù)列｛aj中，a?=-n4〃+7,當其前〃項和S,取最大值時,n=.

6.己知S0+3,則a?=.

課堂考點探究

O探究點一根據(jù)數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式

11121

B（1）數(shù)列｛%｝的前幾項為2,3,萬,8,T....則此數(shù)列的通項公式可能是)

5n-43n-2

A.Qn~~2B.3n~2

6n-5lOn-9

C.a〃=2D.a〃二2

3579

（2）數(shù)列5,4,8,-連,…的一個通項公式為（）

2n+1

A.a=(T)〃?2〃

2n+1

B.a=(T)〃?2"

2n4-1

C.&=(T)"”?2〃

2n4-1

D.a=(-1)""?2n

（3）數(shù)列｛%J的前幾項為7,77,777,7777,則此數(shù)列的通項公式可能是.

［總結反思］由數(shù)列前兒項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略：

（1）常用方法:觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉化（轉化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想

（聯(lián)想常見的數(shù)列）等方法.同時也可以使用添項、還原、分割等方法,轉化為一個常見數(shù)列,

通過常見數(shù)列的通項公式求得所給數(shù)列的施加公式.

（2）具體策略:①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征,如遞增時可考慮關于n為一

次遞增或以2",3"等形式遞增；③柝項后的特征；④各項的短號魁延和幽值的特征；飆異

為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符

號交替出現(xiàn)的情況,可用（-1）"或（-1）"”,來處理.

1524354863

固式題⑴數(shù)列萬,5記,記,工,…的一個通項公式為

14916

(2)數(shù)列&Z-瓦…的一個通項公式可以為.

。探究點二由a“與S,求通項公式a?

IB(1)已知數(shù)列?｝的前〃項和S,切病月則通項公式為a.=.

1

⑵己知數(shù)列｛，｝的前力項和$滿足"GN*),4旦則通項公式為

S］,九=I；

［總結反思］已知S,求&的常用方法是利用a.』Sn-Sn一儼＞2轉化為關于a“的關系式,再

求通項公式.主要分三個步驟完成：

(1)先利用國=S,求得ai；

⑵用n-\替換$中的〃得到一個新的關系式,利用1心2)便可求出當杉2,〃GN*

時的通項；

(3)對n=\時的結果進行檢驗,看是否符合后2,時%的表達式,如果符合則可以把數(shù)列

的通項公式合寫;如果不符合,則應該分n=\與兩段來寫.

12

固式題(1)［2017?西寧五中月考1已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S,互#后則通項公式為

atl=.

⑵已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,且SHa“-2,則數(shù)列｛%｝的通項公式為a產..

。探究點三數(shù)列的函數(shù)特征

考向1求最大(小)項

n-72017

1ft(1)［2017?臨川實驗中學月考］已知a/-再向〃CN),則在數(shù)列&｝的前100項中

最小項和最大項分別是()

A.Hi,diooB.43100,5-11

C.a5,D.OH,SIS

Rn

(2)己知數(shù)列｛，｝的通項公式為a”=(〃+l)U1J(〃GN),則該數(shù)列的最大項是第

項.

［總結反思］求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法：

(1)將數(shù)列視為函數(shù)"X)當時所對應的一列函數(shù)值,根據(jù)/(X)的類型作出相應的函數(shù)圖

像,或利用求函數(shù)最值的方法,求出/(X)的最值,進而求出數(shù)列的最大(小)項；

an—an-1?

(2)通過通項公式觸研究數(shù)列的單調性,利用14之4+1(〃22)確定最大項,利用

an—an-1，

,an-an+l(〃》2)確定最小項.

(3)比較法:

an+1

若有尸-f｛n｝A)(或&A)時，an>1),則aQa、則數(shù)列｛a｝是遞增數(shù)列,所以數(shù)

列｛&｝的最小項為a=f(D;

an+1

若有a”“-a”=f(n+D-F(〃)<0(或a,,X時，％。)，則則數(shù)列｛a.｝是遞減數(shù)列,所以數(shù)

列｛a,,｝的最大項為&=『⑴.

考向2單調性的應用

IB［2017?永州二模］已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S%"(4-n)-6,若｛%｝為遞減數(shù)歹ij,則4的

取值范圍是()

A.(-8,2)B.(-8,3)

C.(-8,4)I).(-oo,5)

［總結反思］數(shù)列的單調性是數(shù)列最重要的性質之一，它在求參數(shù)的取值范圍、證明不等式

及恒成立等問題中有著廣泛應用.應用數(shù)列單調性的關鍵是判斷單調性,判斷數(shù)列單調性的

常用方法有兩個：(1)利用數(shù)列對應的函數(shù)的單調性判斷；(2)對數(shù)列的前后項作差(或作商)，

利用比較法判斷.

強化演練

1.【考向1】已知數(shù)列｛a,,｝的通項公式為a=(一§),則數(shù)列｛a.｝的最大項為()

A.a\B.32

C.&3D.國

件一1件-1

2.【考向1】已知數(shù)列｛&｝的通項公式為時⑼-⑶，則數(shù)列｛&｝()

A.有最大項,沒有最小項

B.有最小項，沒有最大項

C.既有最大項又有最小項

D.既沒有最大項又沒有最小項

—1,%V2,

3.【考向2】設函數(shù)-2）x,x>2,數(shù)列｛a｝的通項公式為a.=/5)(〃GN*),若數(shù)列{%}

是遞減數(shù)列，則實數(shù)在的取值范圍為（）

A.S2)B.卜喏)

4.【考向1】數(shù)列&｝的通項公式為&=（2*1）團T,則數(shù)列&｝的最大項為.

5.【考向2】若其中A為實常數(shù)），〃GN",且數(shù)列｛當｝為遞增數(shù)列，則實數(shù)A的

取值范圍為.

O探究點四由數(shù)列的遞推關系式求通項公式

考向1形如a“二&廿（九）,求an

I例［2017?衡水中學六調］若數(shù)列｛，｝滿足a尸1,且對于任意的"CN"都有ae=a“+n+l,則

111

。1加24?兇2017等于（）

20172016

A.2018B.2017

40322107

C2017D.1009

［總結反思］形如為+產&*（〃）（a〃）是可以求和的）的遞推公式求通項公式時,常用累加法

求出與〃的關系式,進而得到/的通項公式.

n

考向2形如&刊=a,/（）,求a,1

n2但

IB［2017?成都二診］在數(shù)列入｝中，afa,邛2_1m（〃22,,則數(shù)列的前n項

和T?=.

［總結反思］形如a*a“-是可以求積的）的遞推公式求通項公式時,常用累乘法

求出力與n的關系式,進而得到&的通項公式.

考向3形如a“”=pa“+q,求a”

例7［2017?黃岡中學三模］已知數(shù)列｛4］滿足珈=3a+2,且a2.

⑴求證:數(shù)列｛%+*是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式.

［總結反思］形如a*pa”+q的遞推關系式求通項公式時,一般先構造公比為p的等比數(shù)列

｛an+x\,即將原遞推關系式化為a.“+x=p（a“+公的形式,再求出數(shù)列的通項公式,最后求

｛4｝的通項公式.

Aan

考向4形如a,/%+C（4氏。為常數(shù)），求4

IB［2017?湖北六校聯(lián)合體聯(lián)考］已知數(shù)列｛%）滿足a=l,尸4+2（〃6心，若

13

4s?（4田）（力《心，&=與九且數(shù)列仇｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)4的取值范圍是

（）

4

A.A<5B.4<1

32

C.A<2D,A<3

［總結反思］形如a?,^Ban+。（4,B,C為常數(shù)）的遞推關系式求通項公式時,一般對遞推式兩

邊同時度倒數(shù)，化為4+1+廣小、1的形式，構造公比為1的等比數(shù)列14J,通過求

-+x

I、）的通項公式從而求出｛&｝的通項公式,其中用待定系數(shù)法求X是關鍵.

強化演練

1.【考向2】已知“之物,,則數(shù)列｛%｝的通項公式4等于（）

22

n-n+1n+zi4-1

.n2Q2

A.2NB.2

-n+2

2.【考向4】已知數(shù)列｛&｝滿足&=1,為產4+2則數(shù)列｛&｝的通項公式為（）

A.為二九+1B.at,=n-1

nn

C.at,-+1D.alt-+1

3.【考向3］［2017?山西實驗中學模擬］在數(shù)列｛%｝中，a=3,且點P?（a?,珈）在直線

4x-y+l=0±,則數(shù)列｛%｝的通項公式為.

4.【考向1】己知數(shù)列｛%）滿足如玄'，且日=1.求數(shù)列｛%｝的通項公式.

第29講等差數(shù)列及其前〃項和

課前雙擊鞏固

知識聚焦、

1.等差數(shù)列中的有關公式

己知等差數(shù)列｛a｝的首項為a,公差是d,前〃項和為S,則

等差數(shù)列定

__________(〃22,d為常數(shù))

義式

等差中項________(A是a與b的等差中項)

通項公式____________或______________

前〃項和公

S=___________________

式n

2.等差數(shù)列的性質

已知｛a｝是等差數(shù)列,W是｛&｝的前n項和.

⑴若m+n=p+q夕,k(m,n,p,q,AGN*),則有.

(2)數(shù)列￡,S.』9…成數(shù)列.

3.等差數(shù)列與函數(shù)的關系

(1)等差數(shù)列｛a,,｝的通項公式可寫成a“=,當今0時，它是關于〃的，它的圖

像是直線y力上橫坐標為正整數(shù)的均勻分布的一群的點.

注：當力0時，｛&｝是數(shù)列；當困)時，｛&｝是數(shù)列；當dW時，｛&｝是.

(2)前〃項和公式可變形為S.=,當dWO時,它是關于〃的常數(shù)項為0的,

它的圖像是拋物線1-9入上橫坐標為正整數(shù)的均勻分布的一群的點.

注:若乃為"<0,則S存在最________值;若a<0,力0,則S,存在最_______值.

常用結論

等差數(shù)列的性質

1.已知｛a｝,｛4｝是公差分別為Ld的等差數(shù)列,￡是｛a｝的前〃項和，則有以下結論：

(1)｛&J是等差數(shù)列,公差為2d.

(2)｛pa?+qb,｝是等差數(shù)列(p,q都是常數(shù))，且公差為pd\+q山.

(3)ak,a**”,a3…(A,/"GN)是公差為md\的等差數(shù)列.

■三)1

(4)［反)成等差數(shù)列,其首項與3,｝的首項相同，公差是｛a,,｝的公差的萬.

(5)數(shù)列/編，｛必如｝都是等差數(shù)列5,q都是常數(shù))，且公差分別為pd、,4.

2.關于等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質

S奇an

⑴若項數(shù)為In,則5僧-5奇=nd,5偶=%+x

S奇n

(2)若項數(shù)為2/?-1,則Si；,-na,?S奇-Si?=a?,，偶=?-1.

anS2n-1

3.兩個等差數(shù)列｛a,J,｛2｝的前n項和分別為S,7；,它們之間的關系為九=72"-1.

對點演練、

題組一常識題

1.［教材改編］在等差數(shù)列｛叫中，且2+=改電則a,-.

2.［教材改編］在等差數(shù)列｛%｝中,1,戊=-5,則%二..

3.［教材改編］在等差數(shù)列｛%｝中，SN,5=12,則$2=.

4.［教材改編］己知等差數(shù)列入｝的公差為d(d#O),且金七6煬。煬3=32,若則

m=.

題組二常錯題

?索引：忽視等差數(shù)列中項為0的情況,考慮不全而忽視相鄰項的符號,等差數(shù)列各項的符號

判斷不正確

5.在等差數(shù)列｛aj中,a,=-28,公差d=4,則前n項和S取得最小值時n的值為.

6.首項為-20的等差數(shù)列,從第10項起開始為正數(shù),則公差d的取值范圍是.

7.已知等差數(shù)列｛%｝的通項公式為a,.=n-n,則功/齊??+/.片______.

課堂考點探究

?探究點一等差數(shù)列的基本運算

例1⑴［2017?蚌埠質檢］已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為$,且424,￡43,則ak

()

A.4B.5

C.6D.7

(2)公差不為0的等差數(shù)列他，｝的前n項和為S,若ae=3a,且S°=4&,則A的值為()

A.15B.21

C.23D.25

［總結反思］(1)等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式共涉及五金最n,d,a,?S,?知道其中

三個就能求出另外兩個.

(2)確定等差數(shù)列的關鍵是求出兩個最基本的量,即首項&和公差d.

固式題(DE2017?鷹潭二模］等差數(shù)列｛%｝的前〃項和是S.,且&=1,a,N,則S*()

A.39B.91

C.48D.51

⑵已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為&且3&=a6M，若$<10,則比的取值范圍是()

A.(-°°,2)B.(-8,0)

C.(1.+8)I).(0,2)

O探究點二等差數(shù)列的性質及應用

板也(1)［2017?沈陽東北育才學校模擬］在等差數(shù)列｛4｝中，a+aA則

Q12

log2(2.2".....2"1。)=()

A.10B.20

C.40D.24og25

$2013^2011

⑵在等差數(shù)列｛4｝中，a,=-2017,其前〃項的和為￡,若麗3-而1夕,則殳--.

⑶設￡是等差數(shù)列｛%｝的前n項和,若以之,Sw=12,則藏6=()

A.22B.26

C.30D.34

［總結反思］利用等差數(shù)列的性質“若m+n=p+q5,n,p,gGN*)，則有a」a產a“+a「，或者”常

用結論”中的有關公式可以有效地簡化計算.

固式題(1)在等差數(shù)列｛%)中，若a+a5+a79+a“N5,W=-3,那么比=()

A.4B.5

C.9D.18

W7n+2。2+。20

⑵兩等差數(shù)列｛a,,｝和㈤的前n項和分別為S,,T..,且n+3,則與+如=.

(3)一個正項等差數(shù)列前〃項的和為3,前3〃項的和為21,則前2〃項的和為()

A.18B.12

C.10D.6

。探究點三等差數(shù)列的判定與證明

2-2a”-3

I融已知數(shù)列｛%】滿足a尸3a*3%+4(旌心.

-1,

(1)證明：數(shù)列1%+"是等差數(shù)列;

(2)求｛%］的通項公式.

［總結反思］判斷數(shù)列｛a｝是否為等差數(shù)列,通常有兩種方法:躁義法,證明a「a*dg

2,d為常數(shù))，用定義法證明等差數(shù)列時,常選用兩個式子a:=d或a「a，c=d,但它們的意義

不同，后者必須加上“屋；含博差中項法,證明2a.=a.、+a“.、(n'i).

暨改題［2018?齊齊哈爾八中月考］已知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，且&，色(a<aj分別為方程

%-6A^5=0的兩個根.

(1)求數(shù)列｛a0｝的前〃項和$;

Sn1

⑵在⑴中，設4右飛求證:當c=-5時,數(shù)列㈤是等差數(shù)列.

o探究點四等差數(shù)列前"項和的最值問題

例4(1)［2017?福州期末］設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,若公差d=-2,S21,則當S取得

最大值時,n的值為()

A.10B.9

C.6D.5

⑵在等差數(shù)列&｝中，aM,S8=W6,則當S,取得最小值時，〃的值為()

A.18B.27

C.36D.54

［總結反思］求等差數(shù)列前〃項和最值的常用方法：

(1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前〃項和的最值，但要注意〃GN*.

(2)圖像法:利用二次函數(shù)圖像的對理性來確定n的值，使S,取得最值.

14N0，

(3)項的符號法:當a為,d<0時,滿足1冊+1"0的項數(shù)〃，使S取最大值;當a,<0,力0時,滿足

f4wo，

(4+1N0的項數(shù)"，使S取最小值.即正項變負項處最大,負項變正項處最小.若有零項,則使

S取最值的〃有兩個.

。68

II民題(1)［2017?大慶實驗中學月考］設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為$,&<0且。5=彳工則當

S,取最小值時，〃的值為()

A.11B.10

C.9D.8

(2)［2018?湖北長陽一中月考］已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)歹U,若且它們的前〃項和S,

有最大值,則使得SX的n的最大值為()

A.11B.19

C.20D.21

第30講等比數(shù)列及其前〃項和

課前雙擊鞏固

知識聚焦、

1.等比數(shù)列中的有關公式

已知等比數(shù)列｛a｝的首項為&,公比是q,前"項和為己則

等比數(shù)列定

________M22,qWO且q為常數(shù))

義式

Gb

等比中項工&G是a與6的等比中項)

通項公式____________或____________

當q=\時,Sn-________:

前〃項和公

式

當qWl時,SE___________二____________

2.等比數(shù)列的性質

已知｛a?｝是等比數(shù)歹lj,W是｛&｝的前n項和.

(1)若m+n=p+q(m,n,〃，gGN"),貝?。萦?an=.

(2)若或<7=-1且勿為奇數(shù)，則數(shù)列S.W.S…成數(shù)歹!],其公比

為.

3.等比數(shù)列與函數(shù)的關系

Q[Q]Q]

⑴等比數(shù)列的通項公式可以寫成a/萬/(樣1),前〃項和公式可以寫成$=不代不(q

W1).

(a<0,(a>0,pj<0,

(2)①滿足lq>l或(01<q<l時，｛a｝是遞增數(shù)歹I;②滿足(0A<q<l或(q>l時，｛a,,｝

是遞減數(shù)列；

③當9=1時，數(shù)列｛&｝是常數(shù)列；

④當g<0時,數(shù)列｛4｝為擺動數(shù)列.

常用結論

n但

1.若的｝,⑷(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則｛Aa,J(4壬0),bJ,｛?，｛&.6，也J仍是等比數(shù)

列.

2.在等比數(shù)列｛a,,｝中,等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即a,?a“*,a.%…為等比

數(shù)列，公比為q.

3.一個等比數(shù)列各項的4次累，仍組成一個等比數(shù)列,新公比是原公比的4次幕.

T2n73n

4.｛4｝為等比數(shù)列,若a「a..a?=T?,則北，如,殳“…成等比數(shù)列.

%

5.當沖0,療1時，S?=k-k?/(20)是｛aj成等比數(shù)列的充要條件,此時代』.

6.有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等.特別地,若項數(shù)為奇數(shù)時,還等于中

間項的平方.

對點演練、

題組一常識題

1.[教材改編]己知數(shù)列｛%]是遞增的等比數(shù)歹山若則此數(shù)列的公比

Q=_________?

2.［教材改編］已知等比數(shù)列｛aj的前n項和為S,若a6=8a.,W=2,則&=.

1

3.在％和4之間插入3個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)依次構成等比數(shù)列,則這3個數(shù)的積

為.

題組二常錯題

?索引:"#=ab”是"a,G,6成等比數(shù)列”的必要不充分條件;運用等比數(shù)列的前〃項和公式

時，忽略°=1的情況;等比數(shù)列的性質應用不熟導致出錯.

4.在等比數(shù)列｛a,｝中，a：fST=16,則a與行的等比中項為.

5.數(shù)列｛a｝的通項公式是a尸a"(a#O),則其前n項和為&=.

6.若等比數(shù)列｛a,｝的各項均為正數(shù),且aioa”+切a”?e'，則In團+lnaw=.

7.在等比數(shù)列｛a｝中，a〃>0,as-ai=15,ai-a2=6,則a3-.

課堂考點探究

O探究點一等比數(shù)列的基本運算

例1⑴［2017?揭陽二模］已知等比數(shù)列｛4｝滿足&&=10,魚坳=5,則a$=()

1

A.1B,2

1

C.4D.4

(2)［2017?山西三區(qū)八校二模］設等比數(shù)列入｝的前〃項和為S,若既學,且謝6%如川,則

S(n等于()

A.3B.303

C.-3D.-303

［總結反思］(1)等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式共涉及五個量&,a“，q,n,Sn,已知其中

三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”).

(2)運用等比數(shù)列的前"項和公式時,注意對q=\和的分類討論.

圈式題⑴在等比數(shù)列｛a｝中，公比qN,若色與2a3的等差中項為5,則a尸()

A.3B.2

C.1D.-1

1

(2)［2017?洛陽三模］己知等比數(shù)列｛總滿足為巨&備=28+3,則a=()

19

A.-2B.8

C.648D.18

(3)［2017?四川師范大學附屬中學三模］已知數(shù)列｛冊｝為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列且滿足

&30,33~Q\,則數(shù)列｛4)的前5項和$=()

A.15B.31

C.40D.121

O探究點二等比數(shù)列的性質及應用

I觸⑴在等比數(shù)列｛4｝中，備后產1,則匈(a+2今抽)的值為()

A.2B.4

C.8D.16

(2)［2017?吉林大學附屬中學摸底］等比數(shù)列｛%｝的前5項的和&=10,前10項的和So-50,

則它的前20項的和酶=()

A.160B.210

C.640D.850

［總結反思］(1)在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般是利用通項公式與前"項和公式,建立

方程組求解,但如果靈活運用等比數(shù)列的性質“若m+n=p+q(m,2心，則有a.,=a向”，

則可減少運算量.

(2)等比數(shù)列的項經過適當?shù)慕M合后組成的新教列也具有某種性質，例如在等比數(shù)列

中，￡,SikSk,&%-￡例…也成等比數(shù)歹U,公比為/(qWT).

ala17

霞式題(1)在等比數(shù)列｛%］中，a3,ag是方程f~6x+84的根，則=()

A.2#B.2

C.1D.-2

⑵設正項等比數(shù)列｛%｝的前"項和為S”,若SW,W6=12,則5,=.

。探究點三等比數(shù)列的判定與證明

33%

4a

例［2017?重慶調研］已知數(shù)列入｝的首項a,=5,a?tl=n+\〃WN*.

fl

----2

⑴求證:數(shù)列1%.J為等比數(shù)列；

111

(2)記￡=%42*.兇”,若5,<100,求〃的最大值.

［總結反思］判定一個數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法：

an+1

(1)定義法:若\=g(d是常數(shù))，則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

⑵等比史項法:若,；—同式心),則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

(3)通項公式法:若a力/(0,g為常數(shù))，則數(shù)列&｝是等比數(shù)列?

雷式題［2017?北京海淀區(qū)模擬］在數(shù)列｛4｝中,4+且&32^5.

(1)證明:數(shù)列｛冊+1｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛%｝的前〃項和S..

第31講數(shù)列求和

課前雙擊鞏固

知識聚焦、

1.公式法

(1)公式法

①等差數(shù)列的前〃項和公式：

S“=:.(其中&為首項,d為公差)

②等比數(shù)列的前〃項和公式：

當q=l時,S“=;

當尸1時,S.=-.(其中以為首項,q為公比).

(2)分組求和法

一個數(shù)列的通項是由的數(shù)列的通項組成的,則求和時可用分組求和法,

分別求和后再相加減.

2.倒序相加法與并項求和法

(D倒序相加法

如果一個數(shù)列｛%］中，到首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于,那么求這

個數(shù)列的前〃項和即可用倒序相加法.

(2)并項求和法

數(shù)列｛aj滿足彼此相鄰的若干項的和為特殊數(shù)列時,運用求其前"項和.如通項

公式形如的數(shù)列.

3.裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.

4.錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項之構成的，那么求

這個數(shù)列的前〃項和時即可用錯位相減法.

常用結論

1.一些常見的前〃項和公式

n(n+1)

(1)1+2+3M六?,+n=2.

(2)1+3為+7*”+2〃-14.

(3)2刊用先盧+2"=/+n.

2.常用的裂項公式

111

(l)n(n+l)-n-n+1.

11(111

(2)(2n-l)(2n+l)^2\2n-1-2n4-1/.

1

(3)A/H+y/n+l=y/n+1->/n.

對點演練、

題組一常識題

1.［教材改編］若數(shù)列｛%｝的通項公式為a"'+n,則數(shù)列｛，｝的前"項和S.=.

1

2.［教材改編］若數(shù)列｛%｝的通項公式為aX3n-2)(3n+l),則數(shù)列口〕的前20項和

為.

3.［教材改編］若數(shù)列(%｝的通項公式為a“=(n-l)X2"則數(shù)列｛%｝的前n項和

S?=.

題組二常錯題

?索引：用裂項相消法求和時不能準確裂項;用錯位相減法求和時易出現(xiàn)符號錯誤、不能準確

“錯項對齊”等錯誤;并項求和時不能準確分組.

T

4.設數(shù)列｛4｝的前〃項和為$,若(〃eN),則數(shù)列［sj的前〃項和為.

5.3乂24也乂2一2百乂2~3戶??+(〃+2)?2~n=.

6.在數(shù)列｛&｝中，&*2-+(-1)",刀eN：則&()的值為.

1______1

7.已知數(shù)列｛a,J滿足"4"4,且則該數(shù)列的前2018項的和等于,

課堂考點探究

O探究點一分組求和法求和

例1在公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，azF,且鼠，晶成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若b0=a.+*\求數(shù)列的前〃項和T?.

［總結反思］某些數(shù)列在求和時是將數(shù)列的通項轉化為若干個等差或等比或可求和的數(shù)列

通項的和或差,從而間接求得原數(shù)列的和.注意在含有字母的數(shù)列中要對字母進行討論.

n+九

震式題已知數(shù)列｛4｝的前〃項和Sk2

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設4女'+(-1)3,求數(shù)列出“｝的前2〃項和.

。探究點二錯位相減法求和

例在等差數(shù)列｛%｝中,a”,在數(shù)列上｝中，b\C,其前〃項和$滿足b".\=S曾(n《

NO.

(1)求數(shù)列|｛叫,｛九｝的通項公式;

(2)設&=九,求數(shù)列｛%｝的前〃項和T?.

［總結反思］錯位相減法求和，主要用于求｛a-G的前〃項和，其中｛%｝,｛4｝分別為等差數(shù)

列和等比數(shù)列.

度式題［2017?哈爾濱二模］設S,是數(shù)列入｝的前〃項和，已知a”,3S+3("GN)

⑴求數(shù)列｛%，｝的通項公式；

⑵令-(2/7-1)&,求數(shù)列｛%｝的前n項和T“.

。探究點三裂項相消法求和

1

考向1形如a?=yfn+y/n+k

1111111

例］3已知正項數(shù)列｛%｝滿足31=1,(an+lAi)(an+l-an)=4,數(shù)列｛"“｝滿足"in+1用,記

也)的前〃項和為T,?則竊的值為.

11

［總結反思］數(shù)列的通項公式形如a.坊+"刷,可轉化為義工(/與萬一訴)，此類數(shù)列

適合使用裂項相消法求和.

1

nn

考向2形如atl=(,+k)

惻［2017?青島二模］在公差不為0的等差數(shù)列｛%｝中,婿=a+&,且&為&與a”的等比中

項.

(1)求數(shù)列｛，｝的通項公式;

n

(-1)

N-卯。+1-2),求數(shù)列｛九｝的前n項和T?.

(2)設bn=

［總結反思］(1)數(shù)列的通項公式形如&=而匚6時,可轉化為a“/(i中)，此類數(shù)列適

合使用裂項相消法求和.

(2)裂項相消法求和的基本思路是變換通項,把每一項分裂為兩項,裂項的目的是產生可以相

互抵消的項.

強化演練

1

1.【考向1］數(shù)列｛%)的通項公式為赤耳若該數(shù)列的前衣項之和等于9,則

★二()

A.98B.99

C.96D.97

1

2.【考向1］數(shù)列｛4｝的通項公式為為二聲赤*(〃￡心，若該數(shù)列的前〃項和為W,則

5=()

A.y1n+2-1

B,，九+2+1

-(Vn+2-1)

c.乙

1________

5(曲+2++1_M_1)

D.，

111

3.【考向2］若數(shù)列｛%J滿足a產1,且對任意的m,"GN*都有a^=aa+a?+mn,則%/2-月20=

4020

A.21B.21

1920

C.10D.19

1

4.【考向2][2017?成都九校聯(lián)考]已知等比數(shù)列包)滿足&=4&a5N(aT).

(1)求數(shù)列｛&｝的通項公式；

11

⑵若數(shù)列｛九｝滿足6尸1。&(16?%),求證:數(shù)列+J的前〃項和S,<2.

第32講數(shù)列的綜合問題

課前雙擊鞏固

知識聚焦、

1.數(shù)列的綜合應用

(1)等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合

等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題主要是應用等差、等比數(shù)列的通項公式、前〃項和公

式,建立關于兩個基本量:首項a和公差力或公比。的方程組，以及解決等差中項、等比中

項等問題.

(2)數(shù)列和函數(shù)

數(shù)列是特殊的函數(shù),等差數(shù)列的通項公式和前〃項和公式

分別是關于〃的一次函數(shù)和二次函數(shù)，等比數(shù)列的通項公式和前〃項和公式在公比不等于1

的情況下是公比g的指數(shù)型函數(shù)，可以根據(jù)函數(shù)的性質解決一些數(shù)列問題.

(3)數(shù)列和不等式

以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題,體現(xiàn)了在知識交匯點上

命題的特點.這類問題一般通過數(shù)列求通項以及求和去解決一個不等式問題,這里的不等式

通常是關于正整數(shù)的不等式,可以通過比較法、基本不等式法、導數(shù)方法和數(shù)學歸納法解決.

2.數(shù)列應用題常見模型

等差數(shù)如果增加（或減少）的量是一個固定量時,該模型是等差數(shù)列模型，增加（或減少）

列模型的量就是公至

等比數(shù)如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時,該模型是等比數(shù)列模型,這個

固定的數(shù)就是公比

列模型

遞推數(shù)

如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，即隨著項的變化而變化時，應考

a.與的遞推關系,或前n項和與之間的遞推關系

列模型慮a?,S,S?

對點演練、

題組一常識題

3

1.［教材改編］在等比數(shù)列｛%｝中，2團,5a力自成等差數(shù)列，則等比數(shù)列｛%｝的公比

為.

2.［教材改編］設函數(shù)W+ax的導數(shù)為f（x）=

2x+l,貝1J數(shù)歹（的前〃項和為.

3.［教材改編］從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升,然后填滿水（視為操作一次），再倒出1

升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，要使酒精濃度低于10%,則至少應操作

次.

題組二常錯題

?索弓I：數(shù)列實際問題的兩個易錯點:項數(shù)和年（月）份數(shù)

4.己知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列,且a產生⑹數(shù)列同是等比數(shù)列,且從=收+4a3,則

bib?=.

5.某公司去年產值為a,計劃在今后5年內每年比上年產值增加10%,則從今年起到第5年，

這個廠的總產值為.

6.一個凸多邊形的內角度數(shù)成等差數(shù)列，其中最小的內角為120。，公差為5。，那么這個多

邊形的邊數(shù)〃等于.

課堂考點探究

。探究點一等差、等比數(shù)列的綜合問題

11

例1［2017?北京朝陽區(qū)二模］已知數(shù)列｛a“｝是首項國互,公比?；サ牡缺葦?shù)列.設

91

6『21o(nGN*).

(1)求證:數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

⑵設c?-a?+bi,?求數(shù)列(c?)的前n項和T,,.

［總結反思］解決由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)兩數(shù)列的概念,設出相

應的基本量,然后充分使用通項公式、求和公式、數(shù)列的性質等確定基本量.解綜合題的關鍵

在于審清題目，弄懂來龍去脈,揭示問題的內在聯(lián)系和隱含條件.

圉式題［2018?安徽六安一中模擬］已知等差數(shù)列｛%］的首項團=1,公差小。，等比數(shù)列｛4)

滿足Q\=b\,均二壇

⑴求數(shù)列｛%，｝,｛，＞｝的通項公式；

包

⑵設數(shù)列匕｝對任意的〃CN*,均有"1必A??也i=a〃“,求數(shù)列&｝的前2017項和So”.

O探究點二數(shù)列在實際問題與數(shù)學文化問題中的應用

IB(DE2017?寶雞二模］在2013年至2016年期間，甲每年6月1日都到銀行存入加元的

一年定期儲蓄,若年利率9保持不變,且每年到期的存款利息自動轉為新的一年定期,到2017

年6月1日甲去銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是()

A.z?(i+q),元

B.加(1+q)'元

向(l+q)4-(l+q)]

c.q元

向(i+q)'-(1+q)]

D.q元

(2)《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著之一，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人

所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“己知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩

人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得

多少錢？”(“錢”是古代一種重量單位)，在這個問題中，甲得到()

53

A.§錢B.2錢

45

C.§錢D.a錢

[總結反思]求解數(shù)學文化問題的一般步驟：

(1)閱讀數(shù)學文化背景材料,獲取相關數(shù)學信息；

(2)聯(lián)想相關的數(shù)學模型，轉化為純數(shù)學問題；

(3)利用相關數(shù)學知識與數(shù)學方法求解轉化后的數(shù)學問題；

(4)回答數(shù)學文化問題.

。探究點三特殊的數(shù)列問題

例3(1)[2017?三門峽調研]定義:若數(shù)列｛a｝對任意的正整數(shù)都有E+il/%l=d(d為常

數(shù))，則稱｛&｝為“絕對和數(shù)列”，d叫作“絕對公和”.在“絕對和數(shù)列”｛&｝中，團=2,絕對公

和為3,則其前2017項的和So"的最小值為()

A.-2017B