平面向量的減法及幾何意義

向量減法運算及其幾何意義以前臺胞春節(jié)期間來大陸探親，乘飛機從臺北到香港，再從香港到上海，若臺北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，臺北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何關(guān)系？1．相反向量定義如果兩個向量長度__相等__，而方向__相反__那么稱這兩個向量是相反向量性質(zhì)①對于相反向量有：a＋(－a)＝0②若a、b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量2．向量的減法定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的__相反向量__作法在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→)).如圖所示幾何意義如果把兩個向量a、b的起點放在一起，則a－b可以表示為從向量b的__終點__指向向量a的__終點__的向量[知識點撥]1.向量減法的三角形法則中，eq\o(BA,\s\up6(→))表示a－b，強調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以簡記為“共起點，連終點指向被減”．2．由上可知，可以用向量減法的三角形法則作差向量；也可以用向量減法的定義a－b＝a＋(－b)(即平行四邊形法則)作差向量，顯然，此法作圖較煩瑣．3．如圖，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線所對應(yīng)的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，這一結(jié)論在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛．1．△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(D)A．a(chǎn)－b B．b－aC．a(chǎn)＋b D．－a－b[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b．2．如圖所示，已知ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(EF,\s\up6(→))等于(D)A．a(chǎn)＋b B．b－aC．c－b D．b－c[解析]如圖eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))．3．化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))的結(jié)果是eq\o(AB,\s\up6(→))．[解析]將能夠首尾相連的或變號后能首尾相連的放在一起運算，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．4．四邊形ABCD是邊長為1的正方形，則|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)．[解析]|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)．命題方向1?三角形法則下的向量加減法運算典例1化簡(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．[思路分析][解析]方法一(統(tǒng)一成加法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．方法二(利用eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)))(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝0．方法三(利用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))設(shè)O是平面內(nèi)任意一點，則(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0．『規(guī)律總結(jié)』掌握向量加、減法的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識，可以將雜亂的向量運算有序化處理，進行向量的加減運算時，常用的變形如下：(1)運用eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))化減為加；(2)運用eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))化繁為簡；(3)運用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))轉(zhuǎn)化為共起點的兩個向量的差．〔跟蹤練習(xí)1〕化簡：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．[解析](1)方法一eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0．方法二eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．命題方向2?利用已知向量表示其他向量典例2如圖，在正六邊形ABCDEF中，O為中心，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OE,\s\up6(→))＝b，用向量a、b表示向量eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))和eq\o(OD,\s\up6(→))．[思路分析]eq\x(觀察圖形)→eq\x(\a\al(找已知向量與所,求向量的關(guān)系))→eq\x(\a\al(利用法則,寫出結(jié)果))[解析]解法一：在?OAFE中，OF為對角線，且OA，OF，OE起點相同，應(yīng)用平行四邊形法則，得eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝a＋b．∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a－b．而eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OE,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a－b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a．解法二：由正六邊形的幾何性質(zhì)，得eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a．在△OBC中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a－b．解法三：由正六邊形的幾何性質(zhì)，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a．在?OBCD中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a－b．『規(guī)律總結(jié)』解此類問題要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，運用向量的平行四邊形法則和三角形法則解題．要特別注意向量的方向以及運算式中向量之間的關(guān)系．〔跟蹤練習(xí)2〕如圖所示，解答下列各題：(1)用a、d、e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b、c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a、b、e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用c、d表示eq\o(EC,\s\up6(→))．[解析](1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e．(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c．(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e．(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d．向量加減法的綜合運用典例3已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為__平行四邊形__．[思路分析]向量a＋b，a－b的幾何意義在證明、運算中具有重要的應(yīng)用．對于平行四邊形、菱形、矩形、正方形對角線具有的性質(zhì)要熟悉并會應(yīng)用．基本思路是：先對向量條件化簡、轉(zhuǎn)化，再找(作)圖形(三角形或平行四邊形)，確定圖形的形狀，利用圖形的幾何性質(zhì)求解．[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．〔跟蹤練習(xí)3〕在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，則必有(C)A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝0或eq\o(AD,\s\up6(→))＝0C．四邊形ABCD為矩形 D．四邊形ABCD為正方形錯誤使用向量的減法法則典例4如圖，已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的向量分別為r1，r2，r3，求eq\o(OD,\s\up6(→))．[錯解]因為eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝r3＋r2－r1．[錯因分析]錯誤地使用了向量的減法法則．[正解]因為eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝r3＋r1－r2．[誤區(qū)警示]已知平面向量的起點與終點的多個向量的加減運算，可以靈活運用向量加法的運算律，遵循“首尾相接”的原則即可．〔跟蹤練習(xí)4〕如圖所示，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求eq\o(OD,\s\up6(→))．[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝c－b，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝c－b，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋c－b．Keq\o(\s\up7(課堂達標(biāo)驗收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0．正確的個數(shù)是(C)A．3 B．4C．5 D．62．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))等于(B)A．a(chǎn)＋b B．－a－bC．a(chǎn)－b D．b－a[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b，故選B．3．化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得(D)A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0[解析]原式＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0．4．在?ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))等于(A)A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\o(DB,\s\up6(→))[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，在?ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．5．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則(B)A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0 B．a(chǎn)－b＋c－d＝0C．a(chǎn)＋b－c－d＝0 D．a(chǎn)－b－c＋d＝0[解析]如圖，a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，又四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，即a－b＋c－d＝0.故選B．A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是(C)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0[解析]A項顯然正確，由平行四邊形法知B正確；C項中eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，故C錯誤eq\o(；,\s\up6(→))項中eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，故選C．2．化簡以下各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))．結(jié)果為零向量的個數(shù)是(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0；③eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0．3．四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(A)A．a(chǎn)－b＋c B．b－(a＋c)C．a(chǎn)＋b＋c D．b－a＋c[解析]eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c．4．若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是(B)A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) B．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))C．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))5．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是(C)A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)[解析]由于eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，則有|eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AC,\s\up6(→))|≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|，即3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13．6．O是四邊形ABCD所在平面上任一點，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD一定為(D)A．菱形 B．任意四邊形C．矩形 D．平行四邊形[解析]由|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))|知|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))故四邊形ABCD是平行四邊形．二、填空題7．若非零向量a與b互為相反向量，給出下列結(jié)論：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|(zhì)b|；④b＝－a.其中所有正確命題的序號為__①②④__．[解析]非零向量a、b互為相反向量時，模一定相等，因此③不正確．8．若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，則|a－b|＝__2__．三、解答題9．已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，∠BAC＝90°，求|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，∴|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝5，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5．10．如圖，已知向量a和向量b，用三角形法則作出a－b＋a．[解析]作法：作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b．如圖所示；作向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋a．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．下列說法錯誤的是(D)A．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))C．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))D．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))[解析]由向量的減法就是向量加法的逆運算可知：A，B，C都正確．由相反向量定量知，共eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(EO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝－(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))，故D錯誤．2．在平面上有A、B、C，三點，設(shè)m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m與n的長度恰好相等，則有(C)A．A，B，C三點必在一條直線上B．△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C．△ABC必為直角三角形且∠B為直角D．△ABC必為等腰直角三角形[解析]以eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形，則m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，由m，n的長度相等可知，兩對角線相等，因此平行四邊形一定是矩形，故選C．3．如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(QC,\s\up6(→))，則化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→))的結(jié)果為(A)A．0 B．eq\o(BP,\s\up6(→))C．eq\o(PQ,\s\up6(→)) D．eq\o(PC,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0．4．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝12，∠AOB＝90°，則|a－b|＝(C)A．7 B．17C．13 D．8[解析]如圖，∵a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\r(52＋122)＝13．故選C．二、填空題5．已知如圖，在正六邊形ABCDEF中，與eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))相等的向量有__①__．①eq\o(CF,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(DA,\s\up6(→))；④eq\o(BE,\s\up6(→))；⑤eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；⑥eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；⑦eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))．[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))．6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，則|a－b|＝__5或9__．[解析]當(dāng)a與b方向相同時，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；當(dāng)a與b方向相反時，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9．三、解答題7．已知點B是?ACDE內(nèi)一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq