2023-2024學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣高二上學(xué)期10月素質(zhì)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省株洲市炎陵縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月素質(zhì)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.5 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.若，且，則與的夾角是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，，，，故選：B.3.中，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理，得，因?yàn)锽C>AC，所以．故選：D4.已知直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為，，則，.故選：D.5.已知l，m，n是三條不同的直線，α，β是不同的平面，則α⊥β的一個(gè)充分條件是（）A.lα，mβ，且l⊥mB.lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥nC.mα，nβ，m//n，且l⊥mD.lα，l//m，且m⊥β〖答案〗D〖解析〗對(duì)A．lα，mβ，且l⊥m，如下圖，α、β不垂直；對(duì)B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n，如下圖，α、β不垂直；對(duì)C．mα，nβ，m//n，且l⊥m，直線l沒(méi)有確定，則α、β的關(guān)系也不能確定；對(duì)D．lα，l//m，且m⊥β，則必有l(wèi)⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理知，α⊥β.6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)，，若在軸上存在點(diǎn)，使，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C.D.或〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，則則，解得：或點(diǎn)坐標(biāo)為：或故選：D.7.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，連接、、、，因?yàn)?、為、的中點(diǎn)，易知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，在中，，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.8.半徑為的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗半徑為的半圓卷成一個(gè)圓錐，可得圓錐母線長(zhǎng)為，底面圓周長(zhǎng)為，所以底面圓的半徑為，圓錐的高為,所以圓錐的體積為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知甲罐中有2個(gè)大小、質(zhì)地完全一樣的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，乙罐中有4個(gè)大小、質(zhì)地完全一樣的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記樣本空間為，事件為“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于4”，事件為“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于5”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與是互斥事件 B.與不是對(duì)立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意知，事件中包含的基本事件有：，，，共個(gè)基本事件；事件中包含的基本事件有：，，，，，，共個(gè)基本事件；包含的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)基本事件，當(dāng)甲罐抽到標(biāo)號(hào)為的小球，乙罐中抽到標(biāo)號(hào)為的小球時(shí)，與同時(shí)發(fā)生，與不是互斥事件，與也不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)，B正確；根據(jù)事件和事件所包含的基本事件及樣本空間包含的基本事件，可知，故C正確；，故D正確.故選：BCD.10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則〖答案〗AB〖解析〗A項(xiàng)，因?yàn)?，，即，且直線，不重合，所以，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，所以，所以，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，所以，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11.過(guò)點(diǎn)（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程（）A.2x-y=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x+y-1=0〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)闄M縱截距相等，所以直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，令，得到，令，得到，所以，解得或2，所以直線方程為或.故選：AB.12.如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P－的體積不變B.當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是[，]C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.若F是的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足PF//平面時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，底面正方形的面積不變，P到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，故四棱錐P－的體積不變，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，與所成角即與所成角，當(dāng)P在端點(diǎn)A，C時(shí)，所成角最小，為，當(dāng)P在AC中點(diǎn)時(shí)，所成角最大，為，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由于P在正方體表面，P的軌跡為對(duì)角線AB1，AD1，以及以A1為圓心2為半徑的圓弧如圖，故P的軌跡長(zhǎng)度為，C正確；D選項(xiàng)，F(xiàn)P所在的平面為如圖所示正六邊形，故FP的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為_(kāi)____.〖答案〗〖解析〗直線斜率為，故與之垂直的直線斜率為，故過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故〖答案〗為：14.在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗如圖，過(guò)作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，因?yàn)?，則，故，則，所以所求體積為.故〖答案〗為：15.如圖，已知四棱錐的各棱長(zhǎng)均為，則________．〖答案〗2〖解析〗因?yàn)樗睦忮F的各棱長(zhǎng)均為2，則四棱錐為正四棱錐，所以底面四邊形ABCD為正方形，為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，且，故，因?yàn)?，所以，故〖答案〗為?.16.已知，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，而，因此，則，所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在平行四邊形中，，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)．（1）求直線的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)A且與直線垂直的直線．解：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，∴，∴直線的方程為，即．（2）設(shè)點(diǎn)，∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即BD中點(diǎn)和AC中點(diǎn)重合，∴，解得，即D(1，－2)，∴，則過(guò)點(diǎn)A且與直線垂直的直線斜率為：，方程為：，即．18.某班名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：（1）求這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中任選人，求此人的成績(jī)都在中的概率.解：（1），；由頻率分布直方圖可知：這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為；平均數(shù)為.（2）由（1）得：成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，記為；成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，記為；從上述人中，任選人，則有，，，，，，，，，，共種情況；其中人的成績(jī)都在中的情況有：，，，共種；人的成績(jī)都在中的概率.19.在正四棱柱中，，，E在線段上，且.（1）求證：平面DBE；（2）求直線與平面DBE所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，兩兩垂直，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，于是，，即且，而平面DBE，所以平面DBE.（2）由（1）得，為平面DBE的一個(gè)法向量，因此，所以直線與平面DBE所成角的正弦值為.20.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角B；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，可得，則，即，可得，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，且，由余弦定理知，即，可得，又由，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積，即的面積的最大值為.21.如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）取線段的中點(diǎn)，連接，記，連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，由題意可知四邊形是矩形，則是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?；?）取棱的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)椋S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，故點(diǎn)到平面的距離．22.如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，，．（1）求二面角的大??；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為？若存在，指出點(diǎn)Q的位置；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意得平面ABCD，且，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸正方向建系，如圖所示所以，所以，設(shè)平面PAB的法向量，則，即，令，可得，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)?，，平面PAC，所以平面，所以即為平面法向量，所以，又，由圖象可得二面角為銳二面角，所以二面角的大小為（2）假設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)Q，滿足題意，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以，則，因?yàn)槠矫鍼AB的法向量，設(shè)得PQ與平面APB所成角為所以，解得或（舍）所以在線段AD上存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為，此時(shí)，即Q為AD上靠近A的四等分點(diǎn).湖南省株洲市炎陵縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月素質(zhì)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.5 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.若，且，則與的夾角是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，，，，故選：B.3.中，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理，得，因?yàn)锽C>AC，所以．故選：D4.已知直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為，，則，.故選：D.5.已知l，m，n是三條不同的直線，α，β是不同的平面，則α⊥β的一個(gè)充分條件是（）A.lα，mβ，且l⊥mB.lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥nC.mα，nβ，m//n，且l⊥mD.lα，l//m，且m⊥β〖答案〗D〖解析〗對(duì)A．lα，mβ，且l⊥m，如下圖，α、β不垂直；對(duì)B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n，如下圖，α、β不垂直；對(duì)C．mα，nβ，m//n，且l⊥m，直線l沒(méi)有確定，則α、β的關(guān)系也不能確定；對(duì)D．lα，l//m，且m⊥β，則必有l(wèi)⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理知，α⊥β.6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)，，若在軸上存在點(diǎn)，使，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C.D.或〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，則則，解得：或點(diǎn)坐標(biāo)為：或故選：D.7.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，連接、、、，因?yàn)?、為、的中點(diǎn)，易知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，在中，，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.8.半徑為的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗半徑為的半圓卷成一個(gè)圓錐，可得圓錐母線長(zhǎng)為，底面圓周長(zhǎng)為，所以底面圓的半徑為，圓錐的高為,所以圓錐的體積為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知甲罐中有2個(gè)大小、質(zhì)地完全一樣的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，乙罐中有4個(gè)大小、質(zhì)地完全一樣的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記樣本空間為，事件為“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于4”，事件為“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于5”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與是互斥事件 B.與不是對(duì)立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意知，事件中包含的基本事件有：，，，共個(gè)基本事件；事件中包含的基本事件有：，，，，，，共個(gè)基本事件；包含的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)基本事件，當(dāng)甲罐抽到標(biāo)號(hào)為的小球，乙罐中抽到標(biāo)號(hào)為的小球時(shí)，與同時(shí)發(fā)生，與不是互斥事件，與也不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)，B正確；根據(jù)事件和事件所包含的基本事件及樣本空間包含的基本事件，可知，故C正確；，故D正確.故選：BCD.10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則〖答案〗AB〖解析〗A項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，且直線，不重合，所以，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11.過(guò)點(diǎn)（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程（）A.2x-y=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x+y-1=0〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)闄M縱截距相等，所以直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，令，得到，令，得到，所以，解得或2，所以直線方程為或.故選：AB.12.如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P－的體積不變B.當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是[，]C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.若F是的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足PF//平面時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，底面正方形的面積不變，P到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，故四棱錐P－的體積不變，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，與所成角即與所成角，當(dāng)P在端點(diǎn)A，C時(shí)，所成角最小，為，當(dāng)P在AC中點(diǎn)時(shí)，所成角最大，為，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由于P在正方體表面，P的軌跡為對(duì)角線AB1，AD1，以及以A1為圓心2為半徑的圓弧如圖，故P的軌跡長(zhǎng)度為，C正確；D選項(xiàng)，F(xiàn)P所在的平面為如圖所示正六邊形，故FP的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為_(kāi)____.〖答案〗〖解析〗直線斜率為，故與之垂直的直線斜率為，故過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故〖答案〗為：14.在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗如圖，過(guò)作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，因?yàn)椋瑒t，故，則，所以所求體積為.故〖答案〗為：15.如圖，已知四棱錐的各棱長(zhǎng)均為，則________．〖答案〗2〖解析〗因?yàn)樗睦忮F的各棱長(zhǎng)均為2，則四棱錐為正四棱錐，所以底面四邊形ABCD為正方形，為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，且，故，因?yàn)?，所以，故〖答案〗為?.16.已知，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，因此，則，所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在平行四邊形中，，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)．（1）求直線的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)A且與直線垂直的直線．解：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，∴，∴直線的方程為，即．（2）設(shè)點(diǎn)，∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即BD中點(diǎn)和AC中點(diǎn)重合，∴，解得，即D(1，－2)，∴，則過(guò)點(diǎn)A且與直線垂直的直線斜率為：，方程為：，即．18.某班名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：（1）求這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中任選人，求此人的成績(jī)都在中的概率.解：（1），；由頻率分布直方圖可知：這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為；平均數(shù)為.（2）由（1）得：成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，記為；成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，記為；從上述人中，任選人，則有，，，，，，，，，，共種情況；其中人的成績(jī)都在中的情況有：，，，共種；人的成績(jī)都在中的概率.19.在正四棱柱中，，，E在線段上，且.（1）求證：平面DBE；（2）求直線與平面DBE所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，兩兩垂直，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，于是，，即且，而平面DBE，所以平面DBE.（2）由（1）得，為平面DBE的一個(gè)法向量，因此，所以直線與平面DBE所成角