2025版新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第2課時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用及直線與橢圓的位置關(guān)系題型探究新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)第2課時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用及直線與橢圓的位置關(guān)系題型探究題型一實(shí)際生活中的橢圓問題1.(多選題)中國(guó)的嫦娥四號(hào)探測(cè)器，簡(jiǎn)稱“四號(hào)星”，是世界首個(gè)在月球背面軟著陸和巡察探測(cè)的航天器．中國(guó)科研人員利用嫦娥四號(hào)數(shù)據(jù)精確定位了嫦娥四號(hào)的著陸位置，并再現(xiàn)了嫦娥四號(hào)的落月過程，該成果由國(guó)際科學(xué)期刊《自然·通訊》在線發(fā)表．如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號(hào)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球旁邊一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)其次次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是(BD)A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2 B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C.eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2) D.eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)[解析]由圖可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正確；在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在橢圓軌道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；a1＋c2＝a2＋c1，兩邊同時(shí)平方得，aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，所以aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)－ceq\o\al(2,2)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由圖可得，beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，所以2a1c2<2a2c1，eq\f(c2,a2)<eq\f(c1,a1)，所以C錯(cuò)誤，D正確．[規(guī)律方法]解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路(數(shù)學(xué)抽象)(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?中國(guó)是世界上最古老的文明中心之一，對(duì)世界最重要的貢獻(xiàn)之一就是獨(dú)創(chuàng)了瓷器．中國(guó)陶瓷是世界上獨(dú)一無二的，它的發(fā)展過程隱藏著特別豐富的科學(xué)和藝術(shù)．陶瓷形態(tài)各種各樣，從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美．現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，經(jīng)測(cè)量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為(C)A．8eq\r(3)cm B．2eq\r(2)cmC．4eq\r(3)cm D．4cm[解析]由題圖可設(shè)瓷盤所在橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，易知長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝8，短軸長(zhǎng)2b＝4，所以a＝4，b＝2，所以c＝2eq\r(3)，因此焦距為4eq\r(3).題型二直線與橢圓的位置關(guān)系2．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)？[解析]直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③關(guān)于x的一元二次方程的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)由Δ>0，得－3eq\r(2)<m<3eq\r(2).于是，當(dāng)－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．(2)由Δ＝0，得m＝±3eq\r(2).也就是當(dāng)m＝±3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)相互重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)由Δ<0，得m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2).從而當(dāng)m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)時(shí)，方程③沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．[規(guī)律方法]直線與橢圓位置關(guān)系的推斷方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，eq\r(2))且斜率為k的直線l與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍．[解析]由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，代入橢圓方程得eq\f(x2,2)＋(kx＋eq\r(2))2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0，直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))＝4k2－2>0，解得k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2)，所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).題型三弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(－eq\r(2)，0)，B(eq\r(2)，0)連線的斜率的積為定值－eq\f(1,2).(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線l：y＝kx＋1與(1)中曲線C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|＝eq\f(4\r(2),3)時(shí)，求直線l的方程．[解析](1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，由題意得kPA·kPB＝－eq\f(1,2).∴eq\f(y,x＋\r(2))·eq\f(y,x－\r(2))＝－eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)整理得eq\f(x2,2)＋y2＝1.故點(diǎn)P的軌跡方程C是eq\f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq\r(2))．(2)設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋2y2＝2，))得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.Δ＝16k2>0，∴x1＋x2＝eq\f(－4k,1＋2k2)，x1x2＝0.|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(4\r(2),3)，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．∴k＝±1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．∴直線l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.[規(guī)律方法]1.探討直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組消元后用判別式探討．2．求直線被橢圓截得弦長(zhǎng)，(一)是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式；(二)是用|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，其中k為直線AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)．3．有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)最值問題，要特別留意判別式的限制．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分．(1)求此弦所在的直線方程；(2)求此弦長(zhǎng)．[解析](1)方法一：設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－2)．代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個(gè)根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1).又M為AB的中點(diǎn)，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)為AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16.兩式相減得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).又直線AB過點(diǎn)M(2,1)，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.(2)設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq