七年級數(shù)學(xué)下冊-第13講 一元一次不等式（12個考點+12種題型+強化訓(xùn)練）（解析版）

第13講一元一次不等式1.理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì)；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；3.會利用不等式的三個基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實際應(yīng)用問題；一．不等式的定義（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．（2）凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù)．二．不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．【規(guī)律方法】1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．三．不等式的解集（1）不等式的解的定義：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（3）解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系不等式的解是一些具體的值，有無數(shù)個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi)．四．在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．五．一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．六．解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．七．一元一次不等式的整數(shù)解解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．八．由實際問題抽象出一元一次不等式用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關(guān)系．九．一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．十．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．十一．一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．十二．一元一次不等式組的應(yīng)用對具有多種不等關(guān)系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解．一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：（1）分析題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；（3）解不等式組；（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；（5）作答．一．不等式的定義（共2小題）1．（2022春?濱?？h月考）下列數(shù)學(xué)表達式中：①．②，③，④，⑤，⑥中，不等式有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)不等式的定義，不等號有，，，，，選出即可．【解答】解：不等式是指不等號來連接不等關(guān)系的式子，如，，，，，則不等式有：①②⑤⑥，共4個．故選：．【點評】本題主要考查對不等式的意義的理解和掌握，能根據(jù)不等式的意義進行判斷是解此題的關(guān)鍵．2．（2023春?射陽縣期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有3個．【分析】用“”或“”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．據(jù)此可得答案．【解答】解：不等式有：①，②，⑤，共有3個．故答案為：3．【點評】本題主要考查不等式的定義，用“”或“”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．二．不等式的性質(zhì)（共3小題）3．（2023春?江都區(qū)月考）已知，下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：、，，原變形錯誤，不符合題意；、，，原變形錯誤，不符合題意；、，，，原變形錯誤，不符合題意、，，，正確，符合題意．故選：．【點評】本題考查的是不等式的性質(zhì)，熟知不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）已知，則下列各式中一定成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)解不等式的性質(zhì)將不等式變形，從而選出正確的選項．【解答】解：、，故不合題意；、，故不合題意；、當(dāng)時，，故不合題意；、，則，故符合題意；故選：．【點評】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春?鼓樓區(qū)期末）如果，那么下列不等式成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：．若，根據(jù)不等式的性質(zhì)①得，，原變形不成立，故本選項不符合題意；．若，根據(jù)不等式的性質(zhì)③得，，原變形成立，故本選項符合題意；．若，根據(jù)不等式的性質(zhì)②得，，原變形不成立，故本選項不符合題意；．若，令，，，原變形不成立，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變是解題的關(guān)鍵．三．不等式的解集（共5小題）6．（2023春?揚州月考）如圖，小圓表示不等式的解集，大圓表示關(guān)于的不等式的解集，則字母的取值范圍是．【分析】由得，在的內(nèi)部，可知的解集比的范圍大，可求的取值范圍．【解答】解：解不等式得，解不等式得，小圓在大圓的內(nèi)部，，．故答案為：．【點評】本題運用了解不等式的知識點，關(guān)鍵是會用集合的觀點分析問題．7．（2023春?灌云縣月考）已知不等式的解集是，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)不等式組的求解規(guī)律：大大取較大，小小取較小，大小小大中間找，大大小小無解，探究的取值范圍即可．【解答】解：由不等式組的解集是，因此的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023春?南通期末）若關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)不等式組的解集的定義可知，不等式組中兩個不等式的解集沒有公共部分，進而得出的取值范圍．【解答】解：關(guān)于的不等式組無解，也就是兩個不等式解集沒有公共部分，即，沒有公共部分，，故答案為：．【點評】本題考查不等式的解集，解題的關(guān)鍵是理解不等式組解集的定義．9．（2023春?建鄴區(qū)校級期末）若，則的取值范圍為．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：，，，故答案為：．【點評】此題考查的是不等式的性質(zhì)及解集，掌握不等式的基本性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．10．（2023春?海安市校級期中）若是關(guān)于的不等式的一個解，但不是它的解，則的取值范圍是．【分析】表示出不等式的解集，由是一個解，不是它的解，確定出的范圍即可．【解答】解：不等式，解得：，由是不等式的一個解，但不是它的解，得到，解得：，則的取值范圍是，故答案為：【點評】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解本題的關(guān)鍵．四．在數(shù)軸上表示不等式的解集（共4小題）11．（2023春?清江浦區(qū)期末）不等式的解集，下列表示正確的是A． B． C． D．【分析】把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：不等式的解集在數(shù)軸上表示為：故選：．【點評】本題考查數(shù)軸表示不等式的解集，掌握在數(shù)軸上表示不等式解集的方法是正確解答的關(guān)鍵．12．（2023春?宜興市月考）用數(shù)軸表示不等式組的解集是A． B． C． D．【分析】選項根據(jù)“同小取小”判斷即可；選項根據(jù)“同大取大”判斷即可；選項根據(jù)“大小小大中間找”，包含實心圓點2，不包含空心圓點1；選項根據(jù)“大小小大中間找”，包含實心圓點1，不包含空心圓點2．【解答】解：、不等式組的解集為，故本選項符合題意；、不等式組的解集為，故本選項不合題意；、不等式組的解集為，故本選項不合題意；、不等式組的解集為，故本選項不合題意；故選：．【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．13．（2023春?宿城區(qū)期末）如圖，該數(shù)軸表示的不等式的解集為．【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法解答即可．【解答】解：由圖可知，數(shù)軸表示的不等式的解集為．故答案為：．【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解題的關(guān)鍵．14．（2023春?高新區(qū)期末）解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】首先解兩個不等式，然后確定不等式組的解集，再將解集在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：由①得，，由②得，，所以不等式組的解集為：，【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，解決本題的關(guān)鍵是掌握點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點．五．一元一次不等式的定義（共2小題）15．（2021春?吳江區(qū)期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義逐個判斷即可．【解答】解：、不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；、是一元一次不等式，故本選項符合題意；、不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；、不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了一元一次不等式的定義，能熟記一元一次不等式的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．16．（2021春?新吳區(qū)月考）已知是關(guān)于的一元一次不等式，試求的值，并解這個一元一次不等式．【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義得到，則，然后把的值代入已知不等式，解不等式即可．【解答】解：是關(guān)于的一元一次不等式，，則，，解得．【點評】本題考查了一元一次不等式的定義和解一元一次不等式．含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．六．解一元一次不等式（共4小題）17．（2023春?鹽城月考）解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（1）；（2）．【分析】（1）按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答；（2）按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：（1），，，，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：（2），，，，，，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【點評】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．18．（2023春?鼓樓區(qū)期末）解不等式：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】按照解一元一次不等式的步驟進行計算即可解答．【解答】解：，，，，，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【點評】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．19．（2023春?宿城區(qū)期末）已知關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，求滿足條件的的取值范圍．【分析】先將看作常數(shù)解方程組求出、，再代入可得關(guān)于的不等式，解之可得答案．【解答】解：，①得：③，③②得：，．把②①得：，，，．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．20．（2023春?盱眙縣期末）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：材料：解方程組，將①整體代入②，得，解得，代入①，得，所以，這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請直接寫出方程組的解為；（2）實踐運用：請用“整體代入法”解方程組；（3）若，求的值；（4）拓展運用：若關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，請直接寫出滿足條件的的所有正整數(shù)值．【分析】（1）由第一個方程求出的值，代入第二個方程求出的值，進而求出的值，即可確定出方程組的解．（2）由第一個方程求出的值，代入第二個方程求出的值，進而求出的值，即可確定出方程組的解．（3）整體代入變形后的代數(shù)式計算即可；（4）方程組兩方程相加表示出，代入已知不等式求出的范圍，確定出正整數(shù)值即可．【解答】解：（1）由①得：③，將③代入②得：，即，將代入③得：，則方程組的解為．故答案為．（2）由①得：③，將③代入②得：，即，將代入③得：，解得，則方程組的解為．（3），；（4），①②得：，即，，，解得：，則滿足條件的正整數(shù)值為1，2．故答案為：1，2．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，以及一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．七．一元一次不等式的整數(shù)解（共4小題）21．（2023春?海門市期末）解不等式，并寫出所有的非負整數(shù)解．【分析】不等式去分母，去括號，移項，合并同類項，把系數(shù)化為1，求出解集，確定出所有的非負整數(shù)解即可．【解答】解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，則不等式的所有非負整數(shù)解為0，1，2．【點評】此題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，以及解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．22．（2023春?灌云縣月考）解不等式：，并寫出它的正整數(shù)解．【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)解不等式，然后確定不等式的解集中的正整數(shù)值即可．【解答】解：去分母，得：，移項，得：，合并同類項，得：，化系數(shù)為1，得：，原不等式的正整數(shù)解為：1、2．綜上：不等式的解集為，正整數(shù)解有：1、2．【點評】此題考查了解一元一次不等式及根據(jù)其解集求解整數(shù)解等知識，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．23．（2023春?玄武區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上，點、分別表示數(shù)，，且點在點的左側(cè)．（1）求的取值范圍；（2）若點、表示的數(shù)是關(guān)于的不等式的解，求的整數(shù)解．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸得出關(guān)于的不等式，解不等式即可；（2）先求出不等式的解集，然后根據(jù)點、表示的數(shù)是關(guān)于的不等式的解，得出，求其整數(shù)解即可．【解答】解：（1）數(shù)軸上點在點的左側(cè)，，解得；（2）不等式的解集為，又點、表示的數(shù)是關(guān)于的不等式的解，，解得，又，．又是整數(shù)，的值為0，1．【點評】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解，能夠理解題意，結(jié)合數(shù)軸得出關(guān)于的不等式是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）已知關(guān)于的方程．（1）若該方程的解滿足，求的取值范圍；（2）若該方程的解是不等式的最小整數(shù)解，求的值．【分析】（1）首先要解這個關(guān)于的方程，求出方程的解，根據(jù)方程的解滿足，可以得到一個關(guān)于的不等式，就可以求出的范圍；（2）首先解不等式求得不等式的解集，然后確定解集中的最小整數(shù)值，代入方程求得的值即可．【解答】解：（1）解方程，得，該方程的解滿足，，解得；（2）解不等式，去括號，得：，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化成1得：．則最小的整數(shù)解是4．把代入得：，解得：．【點評】本題考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定義，正確解不等式求得的值是關(guān)鍵．八．由實際問題抽象出一元一次不等式（共3小題）25．（2023秋?肇源縣期中）用適當(dāng)?shù)姆柋硎荆旱?倍與的差是非負數(shù)：．【分析】先求倍數(shù)，然后求差，因為是非負數(shù)，大于或等于0即可．【解答】解：數(shù)的2倍為，與的差為：；則的2倍與的差是非負數(shù)可表示為：．【點評】列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確理解文字語言中的關(guān)鍵詞，比如該題中的“倍”、“差”、“非負數(shù)”等，從而明確其中的運算關(guān)系，正確地列出代數(shù)式．26．（2023春?宿豫區(qū)期末）某校女子跑的記錄是14秒．在今年的春季運動會上，很遺憾，沒有人能打破該項記錄，若參加運動會的女生小麗的成績?yōu)槊?，則用不等式表示為．【分析】根據(jù)今年的旋春季運動會上沒有人能打破該項記錄，即可列出關(guān)于的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：．故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．27．（2023春?淮陰區(qū)期末）如圖1，一個容量為的杯子中裝有的水，將三顆大小相同的玻璃球放這個杯子中，結(jié)果杯中的水沒有滿（如圖，設(shè)每顆玻璃球的體積為，根據(jù)題意可列不等式為．【分析】根據(jù)將三顆大小相同的玻璃球放這個杯子中，結(jié)果杯中的水沒有滿得出不等式，進而得出答案．【解答】解：設(shè)每顆玻璃球的體積為，根據(jù)題意可列不等式為：．故答案為：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，正確得出不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．九．一元一次不等式的應(yīng)用（共4小題）28．（2023春?鼓樓區(qū)期末）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得茅盾文學(xué)獎的甲，乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；（2）若學(xué)校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？【分析】（1）設(shè)甲種書的單價是元，乙種書的單價是元，根據(jù)“購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該校購買甲種書本，則購買乙種書本，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合總價不超過3200元，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲種書的單價是元，乙種書的單價是元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元；（2）設(shè)該校購買甲種書本，則購買乙種書本，根據(jù)題意得：，解得：，的最大值為40．答：該校最多可以購買甲種書40本．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．29．（2023春?清江浦區(qū)校級期中）又是一年春光好，江淮大地植樹忙，某商家銷售，兩種果苗，進價分別為70元，50元，如表是近兩天的銷售情況：銷售量棵銷售收入元果苗果苗第一天43625第二天55875（1）求，兩種果苗的銷售單價；（2）若該商家購進這兩種果苗總計50棵，購進費用不超過2900元，則最多購進種果苗多少棵？（3）在（2）的條件下，要想使得該商家銷售這50棵果苗的利潤不低于1345元，請你寫出相應(yīng)的購買方案，并說明理由．【分析】（1）設(shè)，兩種果苗的銷售單價分別為元，元，再根據(jù)表格信息建立方程組即可；（2）設(shè)最多購進種果苗棵，根據(jù)購進費用不超過2900元，再列不等式即可；（3）設(shè)購進種果苗棵，根據(jù)商家銷售這50棵果苗的利潤不低于1345元，列不等式，再結(jié)合（2）可得答案．【解答】解：（1）設(shè)，兩種果苗的銷售單價分別為元，元，，解得：，答：，兩種果苗的銷售單價分別為100元，75元．（2）設(shè)最多購進種果苗棵，則，解得：，答：最多購進種果苗20棵．（3）設(shè)購進種果苗棵，則，解得：，，，為正整數(shù)，或，有兩種購買方案：①購買種樹苗19棵，種樹苗31棵；②購買種樹苗20棵，種樹苗30棵．【點評】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式以及不等式組的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系建立方程組或不等式（組是解本題的關(guān)鍵．30．（2023春?清江浦區(qū)校級期中）某公司要將800噸貨物運往甲地．已知型車每輛可裝25噸，型車每輛可裝30噸．現(xiàn)公司決定租用10輛型車，在每輛車不超載的前提下，要把這批貨物一次性運完，至少需要租用型車多少輛？【分析】設(shè)租用型車輛，列不等式求解即可．【解答】解：設(shè)租用型車輛，由題意得，解得，是正整數(shù)，的最小整數(shù)解為19，答：至少需要租用型車19輛．【點評】此題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．31．（2023春?邗江區(qū)校級期末）小李計劃從網(wǎng)上批發(fā)一些飾品擺攤售賣，經(jīng)過多方調(diào)查，仔細甄別，他選定了、兩款網(wǎng)紅飾品，其進價分別為每個元、元．已知購進款飾品8個和款飾品6個所需花費相同；購進款飾品10個和款飾品4個共需230元．（1）請求出、兩款飾品的進價分別是多少？（2）小李計劃購進兩款飾品共計100個（其中款飾品最多62個），要使所需費用不多于1700元，則他有哪幾種購進方案？（3）小李最后準(zhǔn)備將、兩款飾品單價分別定為21元，28元，他計劃按照（2）中能夠獲得最大利潤的方案購進，而且為吸引顧客，他準(zhǔn)備在售賣過程中，給予顧客不同金額的現(xiàn)金紅包，若要保證最后的利潤率不低于，那么他給出的紅包總額不能超過多少元？【分析】（1）根據(jù)購進款飾品8個和款飾品6個所需花費相同；購進款飾品10個和款飾品4個共需230元，可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，以及（1）中的結(jié)果，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可，注意購買的飾品都是整數(shù)個；（3）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出利潤與購進款飾品數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)（2）中款飾品數(shù)量的取值范圍，可以求得利潤的最大值，再根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，再求解即可．【解答】解：（1）由題意可得，，解得，答：款飾品的進價為15元個，款飾品的進價為20元個；（2）設(shè)購進款飾品個，則購進款飾品個，由題意可得：，解得，又款飾品最多62個，，為整數(shù)，，61，62，共有三種購買方案，方案一：購進款飾品60個，購進款飾品40個；方案二：購進款飾品61個，購進款飾品39個；方案三：購進款飾品62個，購進款飾品38個；（3）設(shè)利潤為元，由題意可得：，隨的增大減小，且為整數(shù)，當(dāng)時，取得最大值，此時，設(shè)小李給出的紅包總額為元，由題意可得：，解得，答：小李給出的紅包總額不能超過85元．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．一十．解一元一次不等式組（共3小題）32．（2024?蘇州一模）解關(guān)于的不等式組：．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：由得：，由得：，則不等式組的解集為．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．33．（2024春?姑蘇區(qū)校級期中）解不等式組：（1）；（2）．【分析】（1）分別求出每個不等式的解集，再依據(jù)口訣“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”確定不等式組的解集；（2）分別求出每個不等式的解集，再依據(jù)口訣“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”確定不等式組的解集．【解答】解：（1）由得：，由得：，則不等式組的解集為；（2）由得：，由得：，則不等式組的解集為．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．34．（2024?鼓樓區(qū)模擬）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：，由①得，由②得，故不等式組的解集為．把解集在數(shù)軸上表示出來為：【點評】此題考查的是解一元一次方程組的方法，解一元一次方程組應(yīng)遵循的法則：“同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了”的原則．同時考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．一十一．一元一次不等式組的整數(shù)解（共4小題）35．（2023春?秦淮區(qū)期末）解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．【分析】求出每個不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出即可．【解答】解：，解不等式①得，解不等式②得，所以不等式組的解集為：，所以不等式組的所有整數(shù)解為：，，0．【點評】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集．36．（2024?邗江區(qū)一模）解不等式組：，并寫出它的最大整數(shù)解．【分析】分別求出每個不等式的解集，再依據(jù)口訣“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”確定不等式組的解集．【解答】解：由得：，由得：，則不等式組的解集為，所以不等式組的最大整數(shù)解為5．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．37．（2024?鹽城模擬）解不等式組，并寫出它的正整數(shù)解．【分析】先分別求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再確定它的正整數(shù)解．【解答】解：，由①得，由②得，不等式組的解集為，則它的正整數(shù)解為1，2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．38．（2024?寶應(yīng)縣一模）解不等式組：，并求出它的所有整數(shù)解的和．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而可得答案．【解答】解：解不等式①得，，解不等式②得，，這個不等式組的解集是，這個不等式組的所有整數(shù)解是、、、0它們的和為．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．一十二．一元一次不等式組的應(yīng)用（共5小題）39．（2023秋?廣陵區(qū)期末）運行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個值”到“結(jié)果是否”為一次程序操作，如果程序操作進行了三次才停止，那么的取值范圍是．【分析】根據(jù)程序操作進行了三次才停止，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可求出的取值范圍．【解答】解：依題意得：，解得：，的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．40．（2023春?射陽縣期中）某商店從批發(fā)商處購進甲、乙兩種產(chǎn)品，購進5件甲產(chǎn)品和8件乙產(chǎn)品需要成本170元，購進2件甲產(chǎn)品和4件乙產(chǎn)品需要成本80元．銷售時，每件甲產(chǎn)品售價為20元，每件乙產(chǎn)品售價為35元．（1）求每件甲產(chǎn)品和每件乙產(chǎn)品的成本價；（2）若商店從批發(fā)商處購進甲、乙兩種產(chǎn)品共100件，購進時總成本不超過1300元，且全部銷售完以后利潤不低于1580元，請問有幾種購進方案？【分析】（1）設(shè)每件甲產(chǎn)品的成本價為元，每件乙產(chǎn)品的成本價為元，根據(jù)“購進5件甲產(chǎn)品和8件乙產(chǎn)品需要成本170元，購進2件甲產(chǎn)品和4件乙產(chǎn)品需要成本80元”列得二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)商店從批發(fā)商處購進甲產(chǎn)品件，則購進乙產(chǎn)品件，根據(jù)“購進甲、乙兩種產(chǎn)品共100件，購進時總成本不超過1300元，且全部銷售完以后利潤不低于1580元”列得不等式組，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)每件甲產(chǎn)品的成本價為元，每件乙產(chǎn)品的成本價為元，，解之得：，答：每件甲產(chǎn)品的成本價為10元，每件乙產(chǎn)品的成本價為15元；（2）設(shè)商店從批發(fā)商處購進甲產(chǎn)品件，則購進乙產(chǎn)品件，，解之得：，為整數(shù)，，41，42，答：有3種購進方案．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．41．（2023春?亭湖區(qū)校級期末）我市在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買，兩種樹苗對某路段道路進行綠化改造，已知購買種樹苗8棵，種樹苗2棵，需要900元；購買種樹苗5棵，種樹苗4棵，需要700元．（1）求購買，兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn)，購進種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，若購進這兩種樹苗共80棵，則有哪幾種購買方案？【分析】（1）設(shè)購買種樹苗每棵需元，購買種樹苗每棵需元，根據(jù)“購買種樹苗8棵，種樹苗2棵，需要900元；購買種樹苗5棵，種樹苗4棵，需要700元“可列出方程組解得答案．（2）設(shè)購買種樹苗棵，則購買種樹苗棵，根據(jù)“購進種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元“，可列不等式組解得，即可得到答案．【解答】解：（1）設(shè)購買種樹苗每棵需元，購買種樹苗每棵需元，根據(jù)題意得：，解得，答：購買種樹苗每棵需100元，購買種樹苗每棵需50元；（2）設(shè)購買種樹苗棵，則購買種樹苗棵，購進種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，，解得，是正整數(shù)，可取32，33，34，35，有4種購買方案：①購買種樹苗32棵，購買種樹苗48棵，②購買種樹苗33棵，購買種樹苗47棵，③購買種樹苗34棵，購買種樹苗46棵，④購買種樹苗35棵，購買種樹苗45棵．【點評】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組和不等式組．42．（2023春?陵水縣校級期中）某市部分地區(qū)遭受了罕見的旱災(zāi)，某單位給某鄉(xiāng)中小學(xué)捐獻一批飲用水和蔬菜共310件，其中飲用水比蔬菜多90件．（1）求飲用水和蔬菜各有多少件？（2）現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛，一次性將這批飲用水和蔬菜全部運往該鄉(xiāng)中小學(xué)．已知每輛甲種貨車最多可裝飲用水40件和蔬菜10件，每輛乙種貨車最多可裝飲用水和蔬菜各20件．則運輸部門安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設(shè)計出來；（3）在（2）的條件下，如果甲種貨車每輛需付運費500元，乙種貨車每輛需付運費450元，運輸部門應(yīng)選擇哪種方案可使運費最少？最少運費是多少元？【分析】（1）設(shè)飲用水有件，則蔬菜有件，根據(jù)飲用水比蔬菜多90件，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排輛甲種貨車，則安排輛乙種貨車，根據(jù)8輛貨車一次性可運送飲用水不少于200件、蔬菜不少于110件，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可得出各安排方案；（3）利用總運費每輛甲種貨車的運費租用甲種貨車的數(shù)量每輛乙種貨車的運費租用乙種貨車的數(shù)量，即可分別求出4個安排方案所需總運費，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)飲用水有件，則蔬菜有件，依題意得：，解得：，．答：飲用水有200件，蔬菜有110件．（2）設(shè)安排輛甲種貨車，則安排輛乙種貨車，依題意得：，解得：，又為整數(shù)，可以為2，3，4，5，共有4種安排方案，方案1：安排2輛甲種貨車，6輛乙種貨車；方案2：安排3輛甲種貨車，5輛乙種貨車；方案3：安排4輛甲種貨車，4輛乙種貨車；方案4：安排5輛甲種貨車，3輛乙種貨車．（3）選擇方案1所需運費為（元，選擇方案2所需運費為（元，選擇方案3所需運費為（元，選擇方案4所需運費為（元．，選擇方案1可使運費最少，最少運費是3700元．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）利用總運費每輛甲種貨車的運費租用甲種貨車的數(shù)量每輛乙種貨車的運費租用乙種貨車的數(shù)量，求出各安排方案所需總運費．43．（2023春?儀征市期末）某學(xué)校為了調(diào)動學(xué)生閱讀的積極性，在校園內(nèi)不同地方設(shè)置、兩種型號的書櫥擺放圖書，供學(xué)生們課間自主閱讀．若購買書櫥4個、書櫥3個，需要1320元；若購買書櫥2個、書櫥5個，需要1360元．（1）書櫥、書櫥每個多少元？（2）若學(xué)校購買這兩種書櫥共18個，且書櫥數(shù)量不少于書櫥數(shù)量的2倍，總費用不超過3520元，請問有哪幾種購買方案．【分析】（1）設(shè)書櫥每個元，書櫥每個元，根據(jù)“購買書櫥4個、書櫥3個，需要1320元；購買書櫥2個、書櫥5個，需要1360元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買個書櫥，則購買個書櫥，根據(jù)“購買書櫥數(shù)量不少于書櫥數(shù)量的2倍，總費用不超過3520元”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【解答】解：（1）設(shè)書櫥每個元，書櫥每個元，根據(jù)題意得：，解得：．答：書櫥每個180元，書櫥每個200元；（2）設(shè)購買個書櫥，則購買個書櫥，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為4，5，6，學(xué)校共有3種購買方案，方案1：購買4個書櫥，14個書櫥；方案2：購買5個書櫥，13個書櫥；方案3：購買6個書櫥，12個書櫥．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．一．選擇題（共4小題）1．（2023春?射陽縣期中）一個不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式組可能是A． B． C． D．【分析】首先由數(shù)軸得出不等式組的解集，然后分別求解不等式和進而判斷即可．【解答】解：由數(shù)軸上不等式組的解集可得，，解不等式得，，則這個不等式組可能是．故選：．【點評】此題考查了解一元一次不等式組以及在數(shù)軸上的表示，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式組的方法．2．（2023春?如東縣校級期中）運行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個值”到“結(jié)果是否”為一次程序操作，如果程序操作進行了三次才停止，那么的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)運行程序，第一次運算結(jié)果小于等于95，第二次運算結(jié)果，第三次運算結(jié)果列出不等式組，然后求解即可．【解答】解：由題意得，，解不等式①得，解不等式②得，，，故選：．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解運行程序并列出不等式組是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?南通期末）若關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】利用整體的思想可得，從而可得，然后根據(jù)已知，可得，最后進行計算即可解答．【解答】解：，①②得：，解得：，，，，，故選：．【點評】本題考查了解一元一次不等式，二元一次方程組的解，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?虎丘區(qū)校級期中）關(guān)于的不等式組只有4個整數(shù)解，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于的不等式，從而求出的范圍．【解答】解：不等式組的解集是，因為不等式組只有4個整數(shù)解，則這4個解是20，19，18，17．所以可以得到，解得．故選：．【點評】正確解出不等式組的解集，正確確定的范圍，是解決本題的關(guān)鍵．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．二．填空題（共5小題）5．（2023春?如東縣校級期中）關(guān)于，的方程組的解中與的和不小于5，則的取值范圍為．【分析】兩個方程相減可得出，根據(jù)列出關(guān)于的不等式，解之可得答案．【解答】解：，①②，得，根據(jù)題意得：，解得．所以的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的性質(zhì)等知識點．6．（2023春?泰興市期末）若關(guān)于的不等式組的解集是，則的取值范圍是．【分析】先分別求解兩個不等式，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”，即可得出結(jié)論．【解答】解：，由①可得：，原不等式組的解集為，，故答案為：．【點評】本題考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握求不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”．7．（2023春?海安市校級期中）商店為了對某種商品促銷，將定價為5元的商品，以下列方式優(yōu)惠銷售：若購買不超過五件，按原價付款；若一次性購買五件以上超過部分打八折，現(xiàn)有48元，最多可以購買該商品的件數(shù)為13件．【分析】由購買該商品的總費用不能超過48元，列出不等式，即可求解．【解答】解：，最多購買該商品的件數(shù)大于5，設(shè)購買件，由題意可得：，解得：，為正整數(shù)，最多可以購買該商品的件數(shù)為10件，故答案為：10．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?清江浦區(qū)校級期中）已知二元一次方程，當(dāng)時，的取值范圍是．【分析】由可得，再利用，可得，從而可得答案．【解答】解：，，，，，解得：．故答案為：．【點評】本題考查的是二元一次方程的解的含義，一元一次不等式的解法，利用建立不等式是解本題的關(guān)鍵．9．（2023春?昆山市月考）關(guān)于的不等式組恰有四個整數(shù)解，那么的取值范圍為．【分析】可先用表示出不等式組的解集，再根據(jù)有三個整數(shù)解可得到關(guān)于的不等式組，可求得的取值范圍．【解答】解：在中，解不等式①可得，解不等式②可得，由題意可知原不等式組有解，原不等式組的解集為，該不等式組恰好有四個整數(shù)解，整數(shù)解為0，1，2，3，故答案為：．【點評】此題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題關(guān)鍵在于算出的解集．三．解答題（共7小題）10．（2023春?姜堰區(qū)校級期中）解下列不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來：（1）；（2）．【分析】（1）先去括號，再移項、合并同類項，把的系數(shù)化為1，再把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可；（2）不等式兩邊都乘6去分母后，去括號，移項合并，將系數(shù)化為1，求出解集，表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：（1），去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化1，得，將不等式的解集在數(shù)軸上表示為：（2），去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，將不等式的解集在數(shù)軸上表示為：．【點評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵．11．（2023春?泰興市期末）某商店分別以標(biāo)價的8折和9折賣了、兩種不同品牌的襯衫各一件，共收款364元，已知、兩種襯衫標(biāo)價的和是420元．（1）這兩件襯衫的標(biāo)價各多少元？（2）若該商店老板準(zhǔn)備用不多于4200元的金額，以標(biāo)價的6折再購進這兩款襯衫共30件，則款襯衫最少需購進多少件？【分析】（1）設(shè)品牌襯衫的標(biāo)價為元，襯衫標(biāo)價元件，根據(jù)“、兩種襯衫標(biāo)價的和是420元”和“該商店分別以標(biāo)價的8折和9折銷售、兩種品牌的襯衫各1件，共收款364元”，即可得列出方程組，求解即可；（2）設(shè)襯衫最少需購件，設(shè)襯衫最少需購件，則襯衫最多需購件，根據(jù)總金額不多于4200元列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)襯衫標(biāo)價元件，襯衫標(biāo)價元件；解得；答：襯衫標(biāo)價140元件，襯衫標(biāo)價280元件；（2）設(shè)襯衫最少需購件，則襯衫最多需購件，根據(jù)題意，得：，解得．答：襯衫最少需購進10件．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．12．（2023春?淮安區(qū)校級期末）閱讀材料：如果是一個有理數(shù)，我們把不超過的最大整數(shù)記作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．請你解決下列問題：（1）4，；（2）如果，那么的取值范圍是；（3）如果，求的值；（4）如果，其中，且，直接寫出的值．【分析】（1）根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)的定義及例子直接求解即可；（2）根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)的定義及例子直接求解即可；（3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根據(jù)為整數(shù)，即可計算出具體的值；（4）由材料中的條件可得，由，可求得的范圍，根據(jù)為整數(shù)，分情況討論即可求得的值．【解答】解：（1），．故答案為：4，．（2），的取值范圍是．故答案為：．（3），．解得：，是整數(shù)．或2.5故答案為：2或2.5．（4），其中，，，．，，，，2．當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；或．【點評】本題考查了新定義下的不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解題中的意義，列出不等式求解；最后一問要注意不要漏了情況．13．（2023春?江都區(qū)期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱此一元一次方程為該不等式組的子集方程．（1）給出下列方程：①；②；③．其中為不等式組的子集方程的是②③（填序號）；（2）已知關(guān)于的不等式組．①若方程是該不等式組的子集方程，求的取值范圍；②若方程，都不是該不等式組的子集方程，則的取值范圍是．【分析】（1）分別求出每個方程的解和不等式組的解集，根據(jù)新定義求解即可得出答案；（2）①解不等式組及一元一次方程，根據(jù)子集方程的概念列出關(guān)于的不等式