專題03 平方差公式五種壓軸題型全攻略（解析版） 四川成都七年級數(shù)學下冊-

專題03平方差公式五種壓軸題型全攻略【知識點梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數(shù)的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b僅是一個代數(shù)式，即可以表示一個數(shù)字、一個字母，也可以表示單項式、多項式。=2\*GB3②在套用平方差公式時，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。類型一、公式的變形與逆運用例1．（2022下·四川成都·七年級四川省成都市石室聯(lián)合中學?？计谥校┰谙铝懈魇街?，不能運用平方差公式進行運算的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構特征即可判斷．【詳解】A．原式=9y2－4x2，故選項A能用平方差公式進行運算；B．原式=x2－4y2，故選項B能用平方差公式進行運算；C．，不能用平方差公式進行運算；D．原式=4x2－9y2，故選項D能用平方差公式進行運算，故選C．【點睛】此題考查平方差公式，解題的關鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎題型．例2．（2022·四川成都·七年級統(tǒng)考期中）計算．【答案】【詳解】（）原式．點睛：本題考查了平方差公式，表達式：(a+b)(a－b)=a2－b2，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積，等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式.【變式訓練1】．，則．【答案】【分析】先設，然后根據(jù)平方差公式即可求解．【詳解】解：設則，∴，∵，∴，即，故答案為：．【點睛】此題考查了根據(jù)平方差公式求解，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式：．【變式訓練2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【詳解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=，故答案為(1)m，(2)n+p+q.點睛：本題主要考查了平方差公式，平方差公式是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差，多項式與多項相乘時，要注意觀察能否將其中符號相同的項結(jié)合成為一項后，再運用平方差公式運算.【變式訓練3】．計算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】【詳解】解：原式

類型二、簡便運算例．（2023下·四川成都·七年級成都嘉祥外國語學校?？计谥校┯嬎悖海?）；（2）．【答案】10000【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計算即可求解；（2）先將14499變形為，14501變形為，再根據(jù)完全平方公式展開，約分即可求解．【詳解】解：（1）．（2）．故答案為：10000；．【點睛】本題考查了運用完全平方公式進行有理數(shù)的混合運算，根據(jù)特點運用完全平方公式是關鍵．【變式訓練1】．（2022下·四川成都·七年級成都外國語學校校考期中）=．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一個因數(shù)化為兩個因數(shù)的積，約分后可得余下的因數(shù)，再計算乘法，從而可得答案．【詳解】解：====故答案為：．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法運算，運用平方差公式對有理數(shù)進行簡便運算，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式訓練2】．（2021上·四川成都·八年級樹德中學校考開學考試）計算：＝．【答案】【分析】根據(jù)式子的特點，將分母用平方差公式展開，再進行計算即可．【詳解】．故答案為：【點睛】本題考查了平方差公式的計算，掌握平方差公式是解題的關鍵．類型三、與幾何綜合例．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的小正方形紙片，把剩余的部分拼成一個長方形紙片．

(1)通過計算兩個紙片中陰影部分的面積，可得等式______（填選項前面的字母）；A．B．C．D．(2)請利用（1）中所選的結(jié)論，解答以下問題：①如圖，大正方形ABCD的面積為，小正方形的面積為，且，求不規(guī)則四邊形的面積；

②計算：．【答案】(1)C(2)①；②【分析】（1）分別表示出兩幅圖陰影部分的面積，再根據(jù)兩幅圖陰影部分面積相等即可得到結(jié)論；（2）①設正方形的邊長為a，正方形的面積為b，則，再根據(jù)進行求解即可；②利用平方差公式進行裂項求解即可．【詳解】（1）解：第一幅圖陰影部分面積為，第二幅圖的陰影部分面積為，∵兩幅圖表示的陰影部分面積相等，∴，故選：C；（2）解：①設大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，，，又，即，，；②原式，==．【點睛】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應用、用平方差公式進行計算等知識點，熟知平方差公式以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵．【變式訓練1】．如圖所示，兩個長方形用不同形式拼成圖1和圖2兩個圖形．

(1)若圖1中的陰影部分面積為；則圖2中的陰影部分面積為______．（用含字母、的代數(shù)式且不同于圖1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根據(jù)你所得到的等式解決下面的問題：計算：①；②．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）圖2中的陰影部分為長方形，用長乘寬表示面積即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得答案；（3）①利用（2）中結(jié)論，將變形為，從而進行簡便運算；②利用（2）中結(jié)論，將變形為，即可求解．【詳解】（1）解：圖2中的陰影部分面積為．故答案為：．（2）解：由（1）可得．（3）解：①．②．【點睛】本題考查的是平方差公式的幾何背景，掌握是解題的關鍵．【變式訓練2】．乘法公式的探究及應用．

(1)如圖1，可以求出陰影部分的面積是______；(2)如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個梯形．通過計算圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到一個乘法公式，運用你所得到的公式，計算下列各題：①；②．【答案】(1)；(2),【分析】（1）利用正方形的面積公式就可求出；（2）比較圖1、圖2中陰影部分的面積，可以得到公式：，利用平方差公式就可方便簡單的計算．【詳解】（1）；解：利用正方形的面積公式可知：陰影部分的面積；故答案為：；（2）解：根據(jù)圖1、圖2的面積，可以得出，①原式；②原式.【點睛】本題考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推導，結(jié)合題干中的條件，利用圖形的面積相等，得出平方差公式，然后再進行計算即可，計算時要細心.【變式訓練3】．如圖，邊長為的大正方形中有一個邊長為的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個長方形（如圖②所示）(1)上述操作能驗證的等式是（

）．（請選擇正確的一個）．；．；．(2)請應用（1）中的等式完成下列各題：①己知，則______；②計算：．③計算：．【答案】(1)(2)①，②，③．【分析】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構特征是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)題意，圖①中的陰影部分面積為，圖②中的陰影部分面積為，由此選出答案．（2）①根據(jù)題意，，，得到，進而得到答案．②根據(jù)題意，得，，，，由此得到原式，得到答案．③由題意，利用平方差公式，將原式展開，找到規(guī)律，將整式整理之后得到：原式．【詳解】（1）解：圖①中的陰影部分面積為兩個正方形的面積差，即，圖②中的陰影部分是長為，寬為的長方形，面積為，，故答案為：．（2）①，，又，，即，故答案為：．②，，，原式．③．類型四、平方差規(guī)律性問題例．觀察下列兩個數(shù)的積(這兩個數(shù)的十位上的數(shù)相同，個位上的數(shù)的和等于)，你發(fā)現(xiàn)結(jié)果有什么規(guī)律?；；；；（1）設這兩個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字分別為和，請用含和的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）請驗證你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下列算式的答案．；；；．【答案】（1）（10x+y）（10x+10-y）=100x（x+1）+y（10-y）；（2）見解析；（3）3016；4221；5625；9025．【分析】（1）由題意得出每個數(shù)的積的規(guī)律是：十位數(shù)字乘以十位數(shù)字加一的積作為結(jié)果的千位和百位，兩個個位數(shù)字相乘的積作為結(jié)果的十位和個位，據(jù)此可得出結(jié)果；（2）利用整式的運算法則化簡等式的左右兩邊，化簡結(jié)果相等即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論計算即可．【詳解】解：（1）由已知等式知，每兩個數(shù)的積的規(guī)律是：十位數(shù)字乘以十位數(shù)字加一的積作為結(jié)果的千位和百位，兩個個位數(shù)字相乘的積作為結(jié)果的十位和個位，∴（10x+y）（10x+10-y）=100x（x+1）+y（10-y）；（2）∵等式左邊=（10x+y）（10x+10-y）=（10x+y）[（10x-y）+10]=（10x+y）（10x-y）+10（10x+y）=100x2-y2+100x+10y;等式右邊=100x（x+1）+y（10-y）=100x2+100x+10y-y2=100x2-y2+100x+10y，∴（10x+y）（10x+10-y）=100x（x+1）+y（10-y）；（3）根據(jù)（1）中的規(guī)律可知，3016；4221；5625；9025．故答案為：3016；4221；5625；9025．【點睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)兩數(shù)乘積的變化找出變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式訓練1】．觀察下列等式：①；②；③；④．(1)請按以上規(guī)律寫出第⑥個等式：___________；(2)猜想并寫出第n個等式：___________；并證明猜想的正確性．(3)利用上述規(guī)律，直接寫出下列算式的結(jié)果：___________．【答案】(1)(2)，見解析(3)4850【分析】（1）根據(jù)分母不變，分子是兩個數(shù)的平方差可得答案；（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第個等式并計算可進行驗證；（3）根據(jù)，，可得原式，進而可得答案．【詳解】（1）解：第⑥個式子為：；故答案為：；（2）猜想第個等式為：，證明：左邊右邊，故答案為：；（3）原式．故答案為：4850．【點睛】本題考查對規(guī)律型問題的理解和有理數(shù)的運算能力，找到規(guī)律是解題關鍵．【變式訓練2】．已知，如圖1，我們在2018年某月的日歷中標出一個十字星，并計算它的“十字差”（將十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”)該十字星的十字差為，再選擇其它位置的十字星，可以發(fā)現(xiàn)“十字差”仍為48．（1）如圖2，將正整數(shù)依次填入5列的長方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發(fā)現(xiàn)相應的“十字差”也是一個定值，則這個定值為．（2）若將正整數(shù)依次填入6列的長方形數(shù)表中，不同位置十字星的“十字差”是一個定值嗎?如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（3）若將正整數(shù)依次填入k列的長方形數(shù)表中(k≥3)，繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應“十字差”為與列數(shù)有關的定值，請用表示出這個定值，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）24；（2）是，這個定值是35，理由見解析；（3）定值為，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意求出相應的“十字差”，即可確定出所求定值；（2）設十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x-1，x+1，上下兩數(shù)分別為x-6，x+6，進而表示出十字差，化簡即可得證；（3）設十字星中心的數(shù)為y，表示出十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)，進而表示出十字差，化簡即可得證．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：，故答案為：24；（2）是，這個定值是35．理由如下：設十字星中心的數(shù)為，則十字星左右兩數(shù)分別為，，上下兩數(shù)分別為，，十字差為：．故不同位置十字星的“十字差”是一個定值，這個定值為35；(3)定值為，證明如下：設設十字星中心的數(shù)為y，則十字星左右兩數(shù)分別為，，上下兩數(shù)分別為，，十字差為：，故這個定值為．【點睛】此題考查了整式運算的實際應用，正確理解題意以及熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．類型五、多次運用平方差公式例．（2022下·四川成都·七年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮?050【分析】先分別計算相鄰的兩個數(shù)的平方差，化簡，再計算有理數(shù)的加法．【詳解】解：，故答案為：5050．【點睛】此題考查了平方差公式的應用，正確理解式子的構成特點掌握平方差公式是解題的關鍵．【變式訓練1】．（2022下·四川成都·七年級校考期中）計算：．【答案】【分析】首先將原式乘以，利用平方差公式求解，即可求得，繼而求得答案．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式的應用，本題技巧性較強，所用到的方法是代數(shù)式的湊項變形，即根據(jù)待求式的結(jié)構，通過適當?shù)牟?、并、湊等手段，將其轉(zhuǎn)化成所需要的形式．根據(jù)本題的特征，嘗試將原式的系數(shù)1變形為，從而可應用平方差公式將原式變形為，為解決問題創(chuàng)造了良好的條件．【變式訓練2】．（2022上·四川涼山·八年級統(tǒng)考期末）的計算結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式化為，根據(jù)平方差公式進行求解即可．【詳解】解：故選D．【點睛】本題考查了平方差公式的應用．解題的關鍵與難點在于應用平方差公式．【課后訓練】1．（2022下·四川成都·七年級成都七中校考期中）下列各式中，不能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構特征逐項進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)的結(jié)構特征可得，選項A中的運算可以利用平方差公式，選項B中的運算可以利用平方差公式，選項C中的運算可以利用平方差公式，選項D中的運算不能利用平方差公式，故選：D．【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構特征是正確判斷的關鍵．2．設m＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（264＋1），則m的個位數(shù)字是．【答案】5【分析】連續(xù)利用平方差公式可求得以冪表示的m，再根據(jù)2為底且指數(shù)分別從1開始的正整數(shù)指數(shù)冪的個位數(shù)字規(guī)律，即可求得m的個位數(shù)字．【詳解】…∵，，，，，，…∴以2為底且指數(shù)分別從1開始的正整數(shù)指數(shù)冪的個位數(shù)字按2、4、8、6的順序循環(huán)∵128÷4=32∴的個位數(shù)字為6∴的個位數(shù)字為6-1=5故答案為：5【點睛】本題考查了平方差公式的