微積分：六個不定積分計算步驟及其答案D5

微積分：六個數(shù)學不定積分計算步驟1.計算eq\i(,,\f(10x-17,5x2-17x+4))dx。解：觀察積分函數(shù)特征，對于積分函數(shù)的分母有(5x2-17x+4)'=10x-17，剛好是分母表達式，故本題可以用積分公式eq\i(,,\f(dx,x))=lnx+c來變形計算。eq\i(,,\f(10x-17,5x2-17x+4))dx=eq\i(,,\f(d(5x2-17x),5x2-17x+4))=eq\i(,,\f(d(5x2-17x+4),5x2-17x+4))=ln|5x2-17x+4|+C。2.計算eq\i(,,(25x2-33)2)dx.解：對此類型總體思路是降次積分，有兩種思路，思路一是將積分函數(shù)2次冪展開，再分別計算不定積分，即：eq\i(,,(25x2-33)2)dx=eq\i(,,(252x?-1650x2+332))dx,=eq\i(,,252x?dx)-eq\i(,,1650x2dx)+eq\i(,,332dx),=eq\f(1,5)*252x?-eq\f(1,3)*1650x3+332x+C.思路二：通過分部積分進行計算，有：eq\i(,,(25x2-33)2)dx=(25x2-33)2x-eq\i(,,xd(25x2-33)2)，=(25x2-33)2x-4*25eq\i(,,x2(25x2-33))dx，=(25x2-33)2x-4*25eq\i(,,(25x?-33x2)dx)，=(25x2-33)2x-4*252eq\i(,,x?dx)+4*25*33eq\i(,,x2dx),=(25x2-33)2x-eq\f(4,5)*252x?+eq\f(2,3)*1650x3+C。3.積分eq\i(,,\f(dx,(x2-16x+87)))的計算。解：根據(jù)積分函數(shù)的特點，分母看作成二次函數(shù)，則判別式△=162-4*87＜0,即與x軸沒有交點，故分母函數(shù)可以通過配方得到形如(x-a)2+c的形式，再根據(jù)不定積分公式eq\i(,,\f(dx,1+x2))=arctanx+C變形計算即可，有：eq\i(,,\f(dx,(x2-16x+87)))=eq\i(,,\f(dx,x2-16x+64+23))=eq\i(,,\f(dx,(x-8)2+23))=eq\f(1,23)eq\i(,,\f(dx,1+\f((x-8)2,23)))=eq\f(1,eq\r(23))eq\i(,,\f(deq\f(x,\r(23)),1+\f((x-8)2,23))),=eq\f(1,eq\r(23))arctaneq\f(x-8,eq\r(23))+C。4.計算eq\i(,,(\f(83,70x)+\f(56x,35))2dx).解：本題主要采用將積分函數(shù)通過平方展開后，再分別進行積分，有：eq\i(,,(\f(83,70x)+\f(56x,35))2dx)=eq\i(,,[(eq\f(83,70x))2+2*eq\f(83,70)*eq\f(56,35)+(eq\f(56x,35))2]dx),=(eq\f(83,70))2eq\i(,,\f(dx,x2))+eq\f(664,175)eq\i(,,dx)+(eq\f(56,35))2eq\i(,,x2dx),=-eq\f((\f(83,70))2,x)+eq\f(664x,175)+eq\f(1,3)*(eq\f(56,35))2x3+C。5.計算eq\i(,,(8x3-20x2+46)78(24x2-40x)dx)不定積分計算解:本積分函數(shù)的特征是變形指數(shù)低的部分，即后一項，又因為(8x3-20x2+46)'=24x2-40x,所以可以使用湊分法進行不定積分計算，則：eq\i(,,(8x3-20x2+46)78(24x2-40x)dx)=eq\i(,,(8x3-20x2+46)78d(8x3-20x2+46)),=eq\f(1,79)(8x3-20x2+46)79+C.6.計算eq\i(,,xln(5x-42))dx。解:本積分出現(xiàn)自然對數(shù)與一次函數(shù)x的乘積形式，思路是將x湊分到積分單元中，再進行分部積分法，有：eq\i(,,xln(5x-42))dx=eq\f(1,2)eq\i(,,ln(5x-42)dx2)，=eq\f(1,2)x2ln(5x-42)-eq\f(1,2)eq\i(,,x2dln(5x-42)),=eq\f(1,2)x2ln(5x-42)-eq\f(5,2)eq\i(,,\f(x2dx,5x-42)),=eq\f(1,2)x2ln(5x-42)-eq\i(,,(x+\f(42,5)))dx-(eq\f(42,5))