備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用突破2利用導(dǎo)數(shù)研究恒能成立問(wèn)題命題點(diǎn)3雙變量的恒能成立問(wèn)題

命題點(diǎn)3雙變量的恒（能）成立問(wèn)題例3[2024廣東七校聯(lián)考]設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝x3－3x2＋a，g（x）＝xlnx.（1）求f（x）的極值；（2）若?x1∈[1，3]，?x2∈[1e，e]，都有f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析（1）函數(shù)f（x）＝x3－3x2＋a的定義域?yàn)镽，f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），令f'（x）＝0，可得x＝0或x＝2，當(dāng)x變更時(shí)，f'（x），f（x）的變更狀況如下表：x（－∞，0）0（0，2）2（2，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）↗極大值↘微小值↗故函數(shù)f（x）的極大值為f（0）＝a，微小值為f（2）＝a－4.（2）若?x1∈[1，3]，?x2∈[1e，e]，都有f（x1）≥g（x2），則f（x1）min≥g（x2）max由（1）可知，函數(shù)f（x）在[1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）min＝f（2）＝a－4.因?yàn)間（x）＝xlnx，當(dāng)x∈[1e，e]時(shí)，g'（x）＝1＋lnx≥0且g'（x）不恒為零，所以函數(shù)g（x）在[1e，e]上單調(diào)遞增，故g（x）max＝g（e）＝由題意可得a－4≥e，故a≥e＋4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e＋4，＋∞）.方法技巧解決雙變量“存在性或隨意性”問(wèn)題的關(guān)鍵就是將含有全稱量詞或存在量詞的條件“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系（或兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系）.訓(xùn)練3[2024浙江杭州二中4月階段測(cè)試]f（x）＝ax＋xlnx，g（x）＝x3－x2－（1）假如存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求滿意上述條件的最大整數(shù)M；（2）假如對(duì)于隨意的s，t∈[12，2]，f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析（1）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）－g（x2）≥M成立，即存在x1，x2∈[0，2]，使得[g（x1）－g（x2)]max≥M，即g（x）max－g（x）由g（x）＝x3－x2－3，得g'（x）＝3x2－2x＝3x（x－23當(dāng)23＜x＜2時(shí)，g'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜23時(shí)，g'（x）＜0x（0，232（23，2g'（x）－0＋g（x）↘微小值↗又g（0）＝－3，g（2）＝1，所以當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，g（x）max＝g（2）＝1，g（x）min＝g（23）＝－85所以g（x）max－g（x）min＝11227≥M，所以滿意條件的最大整數(shù)M為（2）對(duì)于隨意的s，t∈[12，2]，f（s）≥g（t）成立，則f（s）min≥g（t）max由（1）易得當(dāng)x∈[12，2]時(shí)，g（x）max＝g（2）＝1所以對(duì)于隨意的x∈[12，2]，ax＋xlnx≥1成立，即a≥x－x2lnx令h（x）＝x－x2lnx（12≤x≤2），則a≥h（x）max求導(dǎo)得h'（x）＝1－2xlnx－x，令m（x）＝1－2xlnx－x（12≤x≤2），則m'（x）＝－3－2lnx＜0所以h'（x）在[12，2]上單調(diào)遞減，又h'（1）＝0，故列表如下x（12，11（1，2）h'（x）＋0－h(huán)（x）↗極大值↘所以a≥h（x）max＝h（1）＝1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞）.思維幫·提升思維快速解題洛必達(dá)法則例4已知函數(shù)f（x）＝lnxx+1＋1x，若f（x）＞lnxx－1＋kx恒成立，則解析解法一（分別參數(shù)＋洛必達(dá)法則）由題意知x＞0且x≠1，f（x）＞lnxx－1＋kx恒成立等價(jià)于k＜xlnxx+1＋1記g（x）＝2xlnx1－x2＋1，則g'（x）＝2（x2記h（x）＝lnx＋1－x2x2+1，則h'（x）＝1x所以h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，且h（1）＝0，因此，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＜0，當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，h（x）＞0，即當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則得limx→1g（x）＝limx→12xlnx1－x2＋即當(dāng)x→1時(shí)，g（x）→0.所以當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，g（x）＞0，所以k≤0.故k的取值范圍是（－∞，0].解法二f（x）－（lnxx－1＋kx）＝11－設(shè)h（x）＝2lnx＋（k－1)(x則h'（x）＝（k①當(dāng)k≤0時(shí)，由h'（x）＝k（x2+1)－（x－1）2x2知，當(dāng)x≠1時(shí)，而h（1）＝0，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0，可得11－x2h（x當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，h（x）＜0，可得11－x2h（從而當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）－（lnxx－1＋即f（x）＞lnxx－②當(dāng)0＜k＜1時(shí)，y＝（k－1）（x2＋1）＋2x＝（k－1）x2＋2x＋k－1，其圖象開(kāi)口向下，且Δ＝4－4（k－1）2＞0，對(duì)稱軸為直線x＝11－k，1所以當(dāng)x∈（1，11－k）時(shí)，（k－1）（x2＋1）＋2x＞0，故h'（x）＞0，而h（1）＝0，故當(dāng)x∈（1，11－k）時(shí)，h可得11－x2h（x）＜③當(dāng)k≥1時(shí)，此時(shí)h'（x）＞0，而h（1）＝0，故當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，h（x）＞0，可得11－x2·h（x）＜綜上所述，k的取值范圍為（－∞，0].方法技巧洛必達(dá)法則法則1若函數(shù)f（x）和g（x）滿意下列條件：（1）limx→af（x）＝0及l(fā)imx→ag（2）在點(diǎn)a的旁邊，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g'（x）≠0；（3）limx→af'(x那么limx→af（法則2若函數(shù)f（x）和g（x）滿意下列條件：（1）limx→af（x）＝∞及l(fā)imx→ag（2）在點(diǎn)a的旁邊，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g'（x）≠0；（3）limx→af'(x那么limx→af（訓(xùn)練4已知函數(shù)f（x）＝x（ex－1）－ax2（a∈R）.（1）若f（x）在x＝－1處有極值，求a的值；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析（1）f'（x）＝ex－1＋xex－2ax＝（x＋1）ex－2ax－1，依題意知f'（－1）＝2a－1＝0，∴a＝12（2）解法一當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0，即x（ex－1）－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，令φ（x）＝ex－1－ax（x＞0），則φ（x）min≥0，φ'（x）＝ex－a.①當(dāng)a≤1時(shí)，φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，∴φ（x）＞e0－1－0＝0，∴a≤1滿意條件.②當(dāng)a＞1時(shí)，若0＜x＜lna，則φ'（x）＜0，若x＞lna，則φ'（x）＞0.∴φ（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，＋∞）上單調(diào)遞增，∴φ（x）min＝φ（lna）＝a－1－alna≥0.令g（a）＝a－1－alna（a＞1），則g'（a）＝1－（1＋lna）＝－lna＜0，∴g（a）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.∴g（a）＜1－1－ln1＝0與g（a）≥0沖突，故a＞1不滿意條件.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，1].解法二當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0，即x（ex－1）－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，即ax≤ex－1，即a≤ex令h（x）＝ex－1x（x＞