2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)函數(shù)模型及其應(yīng)用

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)函數(shù)模型及其應(yīng)用01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】理解幾類(lèi)常見(jiàn)的函數(shù)模型，并能利用給定的函數(shù)模型或

建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.【考情概述】函數(shù)模型的應(yīng)用是新高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，常以選

擇題或解答題的形式進(jìn)行考查，通常源于實(shí)際問(wèn)題，著重考查數(shù)學(xué)建模

思想，難度中等，屬于高頻考點(diǎn).1.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型

f

（

x

）＝

ax

＋

b

（

a

，

b

為常數(shù)，

a

≠0）二次函數(shù)模型

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

，

b

，

c

為常數(shù)，

a

≠0）與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型

f

（

x

）＝

bax

＋

c

（

a

，

b

，

c

為常數(shù)，

a

＞0且

a

≠1，

b

≠0）與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型

f

（

x

）＝

blogax

＋

c

（

a

，

b

，

c

為常數(shù)，

a

＞0

且

a

≠1，

b

≠0）知識(shí)梳理函數(shù)模型函數(shù)解析式與冪函數(shù)相關(guān)的模型

f

（

x

）＝

ax

α＋

b

（

a

，

b

，α為常數(shù)，

a

≠0）“對(duì)勾”函數(shù)模型2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)比較

y

＝

ax

（

a

＞1）

y

＝

logax

（

a

＞1）

y

＝

x

α（α＞0）在區(qū)間（0，＋

∞）上的增減

性單調(diào)

?單調(diào)

?單調(diào)

?增長(zhǎng)速度越來(lái)越

?越來(lái)越

?相對(duì)平穩(wěn)遞增遞增遞增快慢

y

＝

ax

（

a

＞1）

y

＝

logax

（

a

＞1）

y

＝

x

α（α＞0）圖象的變化隨

x

的增大逐漸

表現(xiàn)為與

?

?平行隨

x

的增大逐漸

表現(xiàn)為與

?

?平行隨α值的變化而

各有不同值的比較存在一個(gè)

x

0，當(dāng)

x

＞

x

0時(shí)，有

logax

＜

x

α＜

ax

y

軸x

軸常用結(jié)論1.一般地，在描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律時(shí)，常用“指數(shù)爆炸”“直

線(xiàn)上升”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”等術(shù)語(yǔ)表示指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

的增長(zhǎng)方式.2.易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必

須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果相對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.3.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.回歸課本1.判斷：（1）

（RA一P102復(fù)習(xí)參考題3第14題改編）某件商品的進(jìn)價(jià)為每件100

元，按進(jìn)價(jià)上調(diào)10％后出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按9折出售，每件仍

能獲利.

（

?

）（2）

（RA一P136探究改編）函數(shù)

y

＝2

x

的函數(shù)值始終比

y

＝

x

2的函數(shù)

值大.

（

?

）

（4）

（RA一P136探究改編）函數(shù)

y

＝

ax

（

a

＞1）的增長(zhǎng)速度最終會(huì)超

過(guò)

y

＝

kx

（

k

＞0）的增長(zhǎng)速度.

（

√

）???√2.（RA一P155習(xí)題4.5第2題改編）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)運(yùn)用圖形

計(jì)算器采集到一組數(shù)據(jù)如下表：

x

－2－10123

y

0.240.5112.023.988.02在下列四個(gè)函數(shù)模型（

a

，

b

為待定系數(shù)）中，最能反映

x

，

y

的函數(shù)關(guān)

系的是（

B

）A.

y

＝

a

＋

bx

B.

y

＝

a

＋

bx

C.

y

＝

a

＋log

bx

B3.（RA一P96習(xí)題3.4第3題改編）某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，給出了

以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過(guò)10m3的，按每立方米

a

元收費(fèi)；用

水超過(guò)10m3的，超出的部分加倍收費(fèi).某職工某月繳水費(fèi)16

a

元，則該職

工這個(gè)月的實(shí)際用水量為（

A

）A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3A4.（多選）（RA一P155習(xí)題4.5第9題改編）如圖，某池塘里浮萍的面積

y

（單位：m2）與時(shí)間

t

（單位：月）的關(guān)系為

y

＝

at

，則下列說(shuō)法正確

的是（

ABD

）A.浮萍面積每月的增長(zhǎng)率為100％B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)30m2C.浮萍每月增加的面積都相等D.若浮萍面積蔓延到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是

t

1，

t

2，

t

3，

則

t

1＋

t

2＝

t

3ABD5.（RA一P102復(fù)習(xí)參考題3第13題改編）如圖，△

OAB

是邊長(zhǎng)為2的正

三角形.記△

OAB

位于直線(xiàn)

x

＝

t

（

t

＞0）左側(cè)的圖形的面積為

f

（

t

），

則函數(shù)

f

（

t

）的解析式為

.

f

（

t

）＝

考點(diǎn)一

利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題例1（1）

如圖所示為一魚(yú)缸的軸截面圖.已知該魚(yú)缸裝滿(mǎn)水時(shí)的水量

為

V

，缸高為

H

，其底部破了一個(gè)小洞，滿(mǎn)缸水從小洞中流出.若魚(yú)缸水

深為

h

時(shí)的水的體積為

v

，則函數(shù)

v

＝

f

（

h

）的大致圖象是（

B

）ABCDB

給出下列結(jié)論：①

在[

t

1，

t

2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙

企業(yè)強(qiáng)；②

在

t

2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③

在

t

3時(shí)

刻，甲、乙兩個(gè)企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④

在[0，

t

1]，[

t

1，

t

2]，[

t

2，

t

3]這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在[0，

t

1]這段時(shí)間內(nèi)的污水治理能力最強(qiáng).

其中，正確的是

（填序號(hào)）.①②③

總結(jié)提煉

判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題中兩變量變化過(guò)程相吻合的兩種方法（1）

構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易建立函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)

模型，再結(jié)合模型選圖象.（2）

驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩

變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不

符合實(shí)際的函數(shù)模型，選擇出符合實(shí)際情況的函數(shù)模型.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

1.某家電制造集團(tuán)為盡快實(shí)現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出了四種運(yùn)輸方案，據(jù)預(yù)測(cè)，

這四種方案均能在規(guī)定時(shí)間

T

內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)

Qo

，下列各種方案

的運(yùn)輸總量

Q

與時(shí)間

t

的函數(shù)關(guān)系中，運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸

量）逐步提高的是（

B

）ABCDB

BA.戰(zhàn)國(guó)B.漢C.唐D.宋參考數(shù)據(jù)：log20.79≈－0.34.參考時(shí)間軸：

CA.30minB.40minC.60minD.90min總結(jié)提煉

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)（1）

認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為自變量，并設(shè)出待定系數(shù).（2）

根據(jù)已知，利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).（3）

利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢

驗(yàn).[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

7.5

A.6B.5C.4D.3C（2）

某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，了解到某合作社為了實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)

元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)6

萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金

y

（單位：萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)

x

（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不能超

過(guò)利潤(rùn)的20％.同學(xué)們利用函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下函數(shù)模型，其中符合

該合作社要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.015100≈4.432）（

D

）A.

y

＝0.04

x

B.

y

＝1.015

x

－1D.

y

＝log11（3

x

－10）D

①

若欲將這杯茶水的溫度繼續(xù)降至35℃，則大約還需要多少分鐘（結(jié)

果精確到1min，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48）？

總結(jié)提煉

建立函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題的步驟（1）

審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，初步選擇

函數(shù)模型.（2）

建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)

言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.（3）

解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.（4）

還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

時(shí)間x/min012345水溫y/℃857975716865（1）

請(qǐng)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述

y

與

x

之間的關(guān)系，并求出

k

，

a

的值（結(jié)果精確到0.01）；

對(duì)接高考1.（2022·北京卷）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用的高

效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如

圖所示為在一定條件下，二氧化碳所處的狀態(tài)與

T

和lg

P

的關(guān)系，其中

T

表示溫度，單位是K；

P

表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論正確的是

（

D

）A.當(dāng)

T

＝220，

P

＝1026時(shí)，二氧化碳處于