高中數(shù)學(xué)必修2第2課時 直觀圖與中心投影、平行投影

第2課時直觀圖與中心投影、平行投影

h預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)i挑戰(zhàn)自我，點點落實

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.

2.用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖.

3.了解中心投影和平行投影.

［知識鏈接］

1.一般地，在一個幾何體的三視圖中，左視圖與正視圖高一樣；俯視圖與正視

圖是一樣；左視圖與俯視圖寬一樣.

2.梯形的面積S=/土她(其中m。為兩底長，。為高).

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

⑴畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點。.畫直觀圖時，

把它們分別畫成對應(yīng)的V軸與y軸，其交點為。，且使/尤'?！?=成。(或135。),

它們確定的平面表示水平面.

(2)畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于止

軸或y'軸的線段.

(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變,平行

于y軸的線段，長度為原來的一半.

2.立體圖形直觀圖的畫法

畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面垂直的軸O'z',且平

行于ON的線段長度保持原長度不變,其他同平面圖形的畫法.

3.投影

(1)投影的定義

由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子,這種現(xiàn)象

叫作投影.其中，我們把光線叫作投影線,把留下物體影子的屏幕叫作投影面.

(2)投影的分類

①中心投影：光由一點向外散射形成的投影.

②平行投影：在一束壬任光線照射下形成的投影.

當(dāng)投影線正對著投影面時,叫做正投影，否則叫做斜投影.

事課堂講義:重點難點，個個擊破___________________________________________________________

要點一畫水平放置的平面圖形的直觀圖

例1畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.

￡3

AB

解畫法：（1）如圖所示，取A8所在直線為x軸，A3中點。為原點，建立直角

坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系voy,使/voy=45。.

⑵以。為中點在V軸上取A'B'=AB,在y軸上取O'E'=^OE,以￡為中點畫

〃/軸，并使CD=CD

（3）連結(jié)朋C,D'A',所得的四邊形就是水平放置的等腰梯形A8CO的直

觀圖.

規(guī)律方法1.本題巧借等腰梯形的對稱性建系使''定點”、“畫圖”簡便易行.

2.在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般

要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標(biāo)

軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來完成.

跟蹤演練1用斜二測畫法畫如

A

圖所示邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖.

解（1）如圖①所示，以8C邊所在的直線為x軸，以邊上的高線A。所在的

直線為y軸.

⑵畫對應(yīng)的v軸、y軸，使N/oy=45。.

在V軸上截取0'B'=0'C'=0B=0C=2cm,在軸上取O'A'=^OA,連結(jié)A'B',

A'C',則三角形4夕C即為正三角形45c的直觀圖，如圖②所示.

要點二由直觀圖還原平面圖形

例2如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為。的正方形，則

原平面圖形的面積為（）

B.2也展

C.a2D.2/

答案B

解析

由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S=a-2啦a=2啦

規(guī)律方法由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點：

（1）平行V軸的線段長度不變，平行y，軸線段擴大為原來的2倍；

（2）對于相鄰兩邊不與v,y軸平行的頂點可通過作v軸、y軸的平行線變換確定

其在X。），中的位置.

跟蹤演練2一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形0ABe的面

積為小,則原梯形的面積為（

A.2B.S

C.2y/2D.4

答案D

解析如圖，由斜二測畫法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是

一樣的，不一樣的是兩個梯形的高，

原梯形的高0C是直觀圖中OC長度的2倍，的長度是直觀圖中梯形的高的

也倍，

由此知原梯形的高0C的長度是直觀圖中梯形高的2啦倍，故其面積是梯形

ONEC面積的2色倍，梯形02EC的面積為啦，所以原梯形的面積是4.

要點三空間幾何體的直觀圖

例3如圖所示，由下列幾何體的三視圖畫出直觀圖.

解(1)畫軸.畫一軸、y軸和Z，軸,使Nx，oy=45。(或135。)，Zx'O'z'=90°,如

圖①所示.

(2)畫底面.以。，為中心，在￡0y平面內(nèi)畫正五邊形的直觀圖A8CQE.

⑶畫側(cè)棱.過點A,B,C,D,E分別作/軸的平行線，并在這些平行線上分別

截取4V,BB',CC,DD',EE都等于正視圖的高.

(4)成圖，順次連結(jié)4,B',C,D',E',A',去掉輔助線，改被擋部分為虛線，

如圖②所示.

規(guī)律方法1.畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖

形，再畫Z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點，最后連點成圖便可.

2.直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關(guān)系

不變.”

跟蹤演練3畫出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖.

解畫法：(1)畫軸.

畫Ox軸、Oy軸、Oz軸，NxOy=45。(或135。)，ZxOz=90°,如圖(1).

(2)畫底面.

以。為中心在平面內(nèi)，畫出正方形水平放置的直觀圖ABCD.

(3)畫頂點：在Oz軸上截取。P,使。尸的長度是原四棱錐的高.

(4)成圖：順次連結(jié)PA,PB,PC,PD,并擦去輔助線，得四棱錐的直觀圖如圖

(2).

要點四中心投影與平行投影

例4下列說法中：①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一

點；②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但平行線可能變成了相交的直

線；③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線.其中正確的個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析由平行投影和中心投影的定義可知①正確；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直

線可能變成直線，也可能變成一個點，如當(dāng)投影中心在直線上時，投影為點；平

行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠物體之間的距離越來越近，最后相交

于一點，②不正確；兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線，③不

正確.

規(guī)律方法判斷一個幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投

影，投影面的位置如何，再根據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來判斷.

跟蹤演練4下列命題中，正確的是（）

A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.兩條相交直線的投影可能平行

D.如果一條線段的平行投影仍是一條線段，那么這條線段中點的投影必是這條

線段投影的中點

答案D

解析平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的形

狀，因而A,B不正確.兩條相交直線的投影不可能平行，即C錯.兩條線段平

行投影的比等于這兩條線段的比，因而D正確.故選D.

尹當(dāng)堂檢測當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功

1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是

（）

A.原來相交的仍相交B.原來垂直的仍垂直

C.原來平行的仍平行D.原來共點的仍共點

答案B

解析根據(jù)斜二測畫法，原來垂直的未必垂直.

2.關(guān)于用斜二測畫法得到的直觀圖，下列說法正確的是（）

A.等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形

B.正方形的直觀圖為平行四邊形

C.梯形的直觀圖可能不是梯形

D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形

答案B

3.如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的實際形狀四邊形ABCD為（）

D'/,「

/A.'B'x'

A.平行四邊形B.梯形

C,菱形D.矩形

答案D

解析因為N0Ab=45。，由斜二測畫法規(guī)則知Nr>A8=90。，又因四邊形

A，EC。為平行四邊形，所以原四邊形ABC。為矩形.

4.一圖形的投影是一條線段，這個圖形不可能是.

①線段；②直線；③圓；④梯形；⑤長方體.

答案②⑤

解析線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內(nèi)，投影都可能為線段；長

方體是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點.

5.如圖所示的直觀圖△4。斤，其平面圖形的面積為.

答案6

解析由直觀圖可知其對應(yīng)的平面圖形△AOB中，NAOB=90。，08=3,0A=

4,.,.S^AOB=^OAOB=6.

課堂小結(jié)

1.斜二測畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找

它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時，可根據(jù)斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定

其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形.

2.在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等

于它的真實長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實夾角大小.

3.理解平行投影和中心投影的概念時，可以從一束光線去照射一個物體所形成

的影子，研究兩者的不同之處.另應(yīng)注意平行投影的性質(zhì)，尤其注意圖形中的直

線或線段不平行于投影線的情況.

尹課時精練(解疑糾偏，訓(xùn)練檢測

一、基礎(chǔ)達標(biāo)

1.用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若NA的兩邊分別平行于x軸、y軸,

且NA=90。，則在直觀圖中N4=()

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

答案C

解析在畫直觀圖時，NA，的兩邊依然分別平行于V軸、V軸，而

或135。，故選C.

2.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，軸，則原圖中△ABC是（）

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.任意三角形

答案B

解析'：A'B'//y',所以由斜二測畫法可知在原圖形中BALAC,故△ABC是直

角三角形.

3.利用斜二測畫法畫一個水平放置的平行四邊形的直觀圖，得到的直觀圖是一個

邊長為1的正方形（如圖所示），則原圖形的形狀是（）

答案A

解析直觀圖中正方形的對角線為色，故在平面圖形中平行四邊形的高為2啦,

只有A項滿足條件，故A正確.

4.如圖所示，△從，9C是水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中

線AD中，最長的線段是（）

A/，’

（oy//

ZB'D'C'_x'

A.ABB.AD

C.BCD.AC

答案D

解析還原△ABC,即可看出△ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長.

5.四個直立在地面上的字母廣告牌在不同情況下，在地面上的投影（陰影部分）

效果如圖，則在字母3K,。的投影中，與字母N屬同一種投影的有（）

漢人k0

A.L,KB.C

C.KD.L,K,C

答案A

解析N和L,K屬中心投影，C屬平行投影.

6.水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知AfC=3,B'C'=2,則AB

邊上的中線的實際長度為.

答案1

解析將直觀圖復(fù)原，其平面圖形為RtaABC,且AC=3,BC=4,故

斜邊AB=5,所以AB邊上的中線長為方.

7.畫出水平放置的四邊形。3C0（如圖所示）的直觀圖.

解（1）過點C作CELx軸，垂足為E,如圖⑴所示，畫出對應(yīng)的V軸、y軸,

使Nvoy=45。，如圖（2）所示.

一點O',使得077=g。。；過E作EC〃V軸，使￡C=；EC.

(3)連結(jié)QC,CD',并擦去"軸與y軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形

OECD，就是所求的直觀圖.

二'能力提升

8.如圖所示，△40b表示水平放置的△AOB的直觀圖，夕在V軸上，40和V

軸垂直，且40=2,則△AOB的邊QB上的高為()

A.2B.4

C.2^2D.472

答案D

解析由直觀圖與原圖形中邊0B長度不變，得S煉因彩=2\[is直觀圖，得]。3力=

2啦X；X2.。0,

,：OB=O'B',；.h=4小.

9.一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABC。,如圖所示，N4BC

=45°,AB=AD=1,DCLBC,則原平面圖形的面積為.

答案2+乎

解析過A作AEL8C,垂足為E,

又8c且AO〃8C,...四邊形AOCE是矩形，：.EC=AD=l,由NABC=

45°,AB=AD=1知8E=y-,...原平面圖形是梯形且上、下兩底邊長分別為1

和1+乎，高為2,.?.原平面圖形的面積為￡*（1+1+坐）x2=2+乎.

10.已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4,則此正方

形的面積是.

答案16或64

解析在直觀圖中邊長為4的邊若與V軸平行，則原圖中正方形的邊長為4,此

時面積為16；若與其軸平行，則正方形的邊長為8,此時面積為64.

11.用斜二測畫法畫棱長為2cm的正方體ABC。一49的直觀圖.

解畫法：（1）畫軸.如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點0,使NxOy

=45°,ZxOz=90°.

（2）畫底面.以點。為中點，在x軸上取線段MN,使MN=2cm；在y軸上取線

段PQ,使PQ=1cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點尸