2024屆河北省保定部分高中高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定部分高中2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，，與之間沒有包含關(guān)系.故選：C.2.函數(shù)的圖象在處切線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，故選：B.3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)榕c方向相同的單位向量為，所以在上的投影向量為．故選：C4.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（）A. B. C.27 D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)的公比為，則，，．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以．因?yàn)?，所以．故選：D.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得，即或3，（經(jīng)檢驗(yàn)均為原分式方程的解），所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋屎瘮?shù)為偶函數(shù)，排除A，C．又，排除B.故選：D．7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.1 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以的周期為4，則．故選：C.8.已知四個(gè)城市坐落在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，正方形邊長為，現(xiàn)要修建高鐵連迎這四個(gè)城市，設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)了圖中的連接路線（路線由五條實(shí)線線段組成，且路線上、下對稱，左、右也對稱），則路線總長（單位：）的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，則，，路線總長為．令函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以的最小值是，則路線總長（單位：）的最小值為，故選：D.二、選擇題9.已知表示集合的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)?，，所以，，，，故選：BC.10.若函數(shù)，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)周期公式，的最小正周期為，B選項(xiàng)正確．，又，而有一條對稱軸，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項(xiàng)正確．由，得，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確．故選：BCD11.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（）A.B.有可能是的重心C.若為的外心，則D.若為的內(nèi)心，則為直角三角形〖答案〗AD〖解析〗對于A，由奔馳定理可得，，因?yàn)?，，不共線，所以，故A正確；對于B，若是的重心，，因?yàn)?，所以，即共線，故B錯(cuò)誤．對于C，當(dāng)為的外心時(shí)，，所以，即，故C錯(cuò)誤．對于D，當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，（為內(nèi)切圓半徑），所以，所以，故D正確.故選：AD.12.已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.最大值為D.若，則的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗由，得，而，則，對于A，，A正確；對于B，，則，顯然均為正數(shù)，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，B正確；對于C，顯然，由，得，因此，C錯(cuò)誤；對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，由，得，則最小值為，D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知命題，則的否定為________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槊}，所以.故〖答案〗為：14.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則________，________．〖答案〗5〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，且．故〖答案〗為：5，.15.已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為________．〖答案〗3〖解析〗由題可得，由，且在上單調(diào)，得的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對稱，結(jié)合的圖像對稱性，所以在上單調(diào)，得，又，所以，故的最大值為3．故〖答案〗為：3.16.已知函數(shù)的最大值為，則函數(shù)的最小值為________（結(jié)果用表示）〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則，當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，所以的最小值為．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．解：（1）根據(jù)函數(shù)的周期性與誘導(dǎo)公式，，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，所以．因?yàn)?，所以，則，所以在上的值域?yàn)椋?8.滇池久負(fù)盛名，位于春城昆明，是我國西南地區(qū)最大的淡水湖，被譽(yù)為“高原明珠”．如圖，為計(jì)算滇池岸邊與兩點(diǎn)之間的距離，在岸邊選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，．（1）求的長；（2）求的長．解：（1）在中，有，，．由余弦定理，可得，即，整理可得，解得或（舍去），故的長為．（2）中，有，，，則．由正弦定理，可得，即的長為．19.已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．（1）求，，的值；（2）判斷的奇偶性，并證明．解：（1）令，得，因?yàn)?，所以．令，得，因?yàn)?，所以．令，得，即，因?yàn)?，所以，所以．?）為偶函數(shù)．證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)．20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）是否存在直線，使得該直線與曲線切于兩點(diǎn)？若存在，求，的值；若不存在，請說明理由．解：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為．作出的大致圖象，如圖所示．由，得．當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．（2）假設(shè)存在直線，使得該直線與曲線切于，兩點(diǎn)，方法一：聯(lián)立與，得，則．聯(lián)立與，得，則．聯(lián)立方程組，解得或，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，，則切點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，這與矛盾，不符合題意，綜上，存在直線滿足題意，且，．方法二：設(shè)函數(shù)，則，則曲線在處的切線方程為，即，設(shè)函數(shù)，則，則曲線在處的切線方程為，即．依題意可得，消去，得，因?yàn)?，所以，，所以，，即存在直線滿足題意，且，．21.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以．?）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，所以（時(shí)也成立）．因，所以，所以，故．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，比較與的大??；（2）若函數(shù)，且，證明：．（1）解：設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，從而，即；（2）證明：設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則恒成立，則由，得，又，所以,因?yàn)?，所以，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以,要證，只需證，即證．因?yàn)?，所以．設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，從而得證．河北省保定部分高中2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，，與之間沒有包含關(guān)系.故選：C.2.函數(shù)的圖象在處切線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，故選：B.3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)榕c方向相同的單位向量為，所以在上的投影向量為．故選：C4.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（）A. B. C.27 D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)的公比為，則，，．因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以．因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以．因?yàn)?，所以．故選：D.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得，即或3，（經(jīng)檢驗(yàn)均為原分式方程的解），所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，故函?shù)為偶函數(shù)，排除A，C．又，排除B.故選：D．7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.1 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以的周期為4，則．故選：C.8.已知四個(gè)城市坐落在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，正方形邊長為，現(xiàn)要修建高鐵連迎這四個(gè)城市，設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)了圖中的連接路線（路線由五條實(shí)線線段組成，且路線上、下對稱，左、右也對稱），則路線總長（單位：）的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，則，，路線總長為．令函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以的最小值是，則路線總長（單位：）的最小值為，故選：D.二、選擇題9.已知表示集合的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)?，，所以，，，，故選：BC.10.若函數(shù)，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)周期公式，的最小正周期為，B選項(xiàng)正確．，又，而有一條對稱軸，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項(xiàng)正確．由，得，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確．故選：BCD11.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（）A.B.有可能是的重心C.若為的外心，則D.若為的內(nèi)心，則為直角三角形〖答案〗AD〖解析〗對于A，由奔馳定理可得，，因?yàn)?，，不共線，所以，故A正確；對于B，若是的重心，，因?yàn)?，所以，即共線，故B錯(cuò)誤．對于C，當(dāng)為的外心時(shí)，，所以，即，故C錯(cuò)誤．對于D，當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，（為內(nèi)切圓半徑），所以，所以，故D正確.故選：AD.12.已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.最大值為D.若，則的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗由，得，而，則，對于A，，A正確；對于B，，則，顯然均為正數(shù)，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，B正確；對于C，顯然，由，得，因此，C錯(cuò)誤；對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，由，得，則最小值為，D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知命題，則的否定為________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槊}，所以.故〖答案〗為：14.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則________，________．〖答案〗5〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，且．故〖答案〗為：5，.15.已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為________．〖答案〗3〖解析〗由題可得，由，且在上單調(diào)，得的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對稱，結(jié)合的圖像對稱性，所以在上單調(diào)，得，又，所以，故的最大值為3．故〖答案〗為：3.16.已知函數(shù)的最大值為，則函數(shù)的最小值為________（結(jié)果用表示）〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則，當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，所以的最小值為．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．解：（1）根據(jù)函數(shù)的周期性與誘導(dǎo)公式，，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到的圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，所以．因?yàn)?，所以，則，所以在上的值域?yàn)椋?8.滇池久負(fù)盛名，位于春城昆明，是我國西南地區(qū)最大的淡水湖，被譽(yù)為“高原明珠”．如圖，為計(jì)算滇池岸邊與兩點(diǎn)之間的距離，在岸邊選取和兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，．（1）求的長；（2）求的長．解：（1）在中，有，，．由余弦定理，可得，即，整理可得，解得或（舍去），故的長為．（2）中，有，，，則．由正弦定理，可得，即的長為．19.已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．（1）求，，的值；（2）判斷的奇偶性，并證明．解：（1）令，得，因?yàn)?，所以．令，得，因?yàn)?，所以．令，得，即，因?yàn)?，所以，所以．?）為偶函數(shù)．證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)．20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）是否存在直線，使得該直線與曲線切于兩點(diǎn)？若存在，求，的值；若不存在，請說明理由．解：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為．作出的大致圖象，如圖所示．由，得．當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．（2）假設(shè)存在直線，使得該直線與曲線切于，兩點(diǎn)，方法一：聯(lián)立與，得，則．聯(lián)立與，得，則．聯(lián)立方程組，解得或，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，，則切點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，這與矛盾，不符合題意，綜上，存在直線滿足題意，且，．方法二：設(shè)函數(shù)，則，則曲線在處的切線方程為，即，設(shè)函數(shù)，則，則曲線在處的切線方程為，即．依題意可得，消去，得，因?yàn)?，所以，，所以，，?/p>