2024屆黑龍江省齊齊哈爾市地區(qū)普高聯(lián)誼校高三上學期9月月考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市地區(qū)普高聯(lián)誼校2024屆高三上學期9月月考數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則集合的子集的個數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗由題知，因為，所以，∴集合的子集個數(shù)為個.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗，故“”是“”的充要條件.故選：C.3.曲線在處的切線斜率為（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，，故選：B.4.設，，，為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，令，，，故A錯誤；對于B，令，，故B錯誤；對于C，因為，則，故C正確；對于D，令，則，故D錯誤.故選：C.5.函數(shù)的圖象為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為，∵，∴該函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；又當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，故B，C錯誤；時，時，且時取等號，故D正確.故選：D6.若函數(shù)，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，定義域，，令，解得，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故選：C.7.已知三個函數(shù)，，的零點依次為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，在R上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以由題知函數(shù)，，在各自定義域上都為增函數(shù)，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故選：D.8.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，當時，.若，則（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，，即，所以函數(shù)的周期為4，由，令，易得，，解得，當時，.故選：A.二、選擇題9.下列命題中是真命題的是（）A.， B.，C，使 D.，〖答案〗ABC〖解析〗對于A，，A正確；對于B，當時，，B正確；對于C，當，滿足，C正確；對于D，當時，，D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)可以為（）A.0 B.1 C. D.2〖答案〗BC〖解析〗由題意知，在上有變號零點，又易知在上單調遞減，故，可得解得.故選：BC.11.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯誤的是（）A.在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的值域是 D.的值域是〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意知，，在定義域上單調遞增，且，在上單調遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯誤，D正確.故選：BC.12.已知函數(shù)，，則（）A時，有極小值 B.有極小值C.若，則 D.的零點最多有1個〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：若時，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以有極小值，故A正確；對于選項B：因，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以有極大值，無極小值，故B錯誤；對于選項C：若，即，可得，設，則，設，可知，因為，當時，，為減函數(shù)，注意到，可知當時，，不合題意；當時，則，當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；所以，設，則，當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；則，所以只有當時，才能成立，綜上所述：，故C正確；對于選項D：由C可知：，，則，所以為增函數(shù)；又因為當時，，當無限趨近于0時，無限趨近于，且，即此時有兩個零點，因為為增函數(shù)且，則此時有兩個零點，同理可得，當時，有兩個零點；當時，，此時有一個零點1，所以有一個零點；當時，為減函數(shù)，，此時有一個零點1，所以此時有一個零點，故D錯誤；故選：AC.三、填空題13.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標為______.〖答案〗〖解析〗令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點.故〖答案〗為：.14.已知，，且，則的最小值為______.〖答案〗8〖解析〗∵，，，，，∴，當且僅當時等號成立，故的最小值為8.故〖答案〗為：8.15.已知函數(shù)，對，有，則實數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗因為對，，有，可得函數(shù)是上的單調遞減函數(shù)，由，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為______.〖答案〗〖解析〗依題意，，所以在上單調遞增，因為，所以為奇函數(shù)，于是由，令，求導得，函數(shù)在上單調遞增，當時，有，于是，當時，顯然成立，因此，即，令，，求導得，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，因此當時，，則，而，有，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知集合，．（1）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），，由“”是“”的充分不必要條件，即是的真子集，所以（等號不能同時成立），則.（2）由知：或，則或.18.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，所以，，則曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，，所以在上單調遞增.因為，所以當時，，所以.故實數(shù)的取值范圍為.19.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.（1）求的〖解析〗式；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)為冪函數(shù)得，解得或，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式為，設函數(shù)，則函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上單調遞減，所以解得，所以實數(shù)的取值范圍是.20.某商場為回饋客戶，開展了為期10天的促銷活動，經統(tǒng)計，在這10天中，第x天進入該商場的人次（單位：百人）近似滿足，而人均消費（單位：元）是關于時間x的一次函數(shù)，且第3天的人均消費為560元，第6天的人均消費為620元.（1）求該商場的日收入（單位：元）與時間x的函數(shù)關系式；（2）求該商場第幾天的日收入最少及日收入的最小值.解：（1）設，依題意，解得，所以.所以.（2）由（1）得，由基本不等式得，當且僅當時等號成立，所以第天日收入最少，且最小值為元.21.已知函數(shù)的定義域為.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，函數(shù)在上的最大值與最小值的和為，求實數(shù)的值.解：（1）由的定義域為，得對任意的恒成立，當時，恒成立，則；當時，，解得，則，所以實數(shù)的取值范圍是，即.（2）令，顯然函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，而函數(shù)在上單調遞增，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，于是，而，則，依題意，，即，解得或，所以實數(shù)的值是或.22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若存在，使得，求的取值范圍.解：（1）時，，.令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域為，，由已知可知，∴.①當時，則，則當時，，∴函數(shù)在單調遞增，∴存在，使得的充要條件是，即，解得；②當時，則，則當時，，函數(shù)在上單調遞減；當時，，函數(shù)在上單調遞增.∴存在，使得的充要條件是，而，不符合題意，應舍去.③當時，，函數(shù)在上單調遞減，又，成立.綜上可得：的取值范圍是.黑龍江省齊齊哈爾市地區(qū)普高聯(lián)誼校2024屆高三上學期9月月考數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則集合的子集的個數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗由題知，因為，所以，∴集合的子集個數(shù)為個.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗，故“”是“”的充要條件.故選：C.3.曲線在處的切線斜率為（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，，故選：B.4.設，，，為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，令，，，故A錯誤；對于B，令，，故B錯誤；對于C，因為，則，故C正確；對于D，令，則，故D錯誤.故選：C.5.函數(shù)的圖象為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為，∵，∴該函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；又當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，故B，C錯誤；時，時，且時取等號，故D正確.故選：D6.若函數(shù)，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，定義域，，令，解得，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故選：C.7.已知三個函數(shù)，，的零點依次為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，在R上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以由題知函數(shù)，，在各自定義域上都為增函數(shù)，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故選：D.8.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，當時，.若，則（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，，即，所以函數(shù)的周期為4，由，令，易得，，解得，當時，.故選：A.二、選擇題9.下列命題中是真命題的是（）A.， B.，C，使 D.，〖答案〗ABC〖解析〗對于A，，A正確；對于B，當時，，B正確；對于C，當，滿足，C正確；對于D，當時，，D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)可以為（）A.0 B.1 C. D.2〖答案〗BC〖解析〗由題意知，在上有變號零點，又易知在上單調遞減，故，可得解得.故選：BC.11.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯誤的是（）A.在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的值域是 D.的值域是〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意知，，在定義域上單調遞增，且，在上單調遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯誤，D正確.故選：BC.12.已知函數(shù)，，則（）A時，有極小值 B.有極小值C.若，則 D.的零點最多有1個〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：若時，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以有極小值，故A正確；對于選項B：因，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以有極大值，無極小值，故B錯誤；對于選項C：若，即，可得，設，則，設，可知，因為，當時，，為減函數(shù)，注意到，可知當時，，不合題意；當時，則，當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；所以，設，則，當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；則，所以只有當時，才能成立，綜上所述：，故C正確；對于選項D：由C可知：，，則，所以為增函數(shù)；又因為當時，，當無限趨近于0時，無限趨近于，且，即此時有兩個零點，因為為增函數(shù)且，則此時有兩個零點，同理可得，當時，有兩個零點；當時，，此時有一個零點1，所以有一個零點；當時，為減函數(shù)，，此時有一個零點1，所以此時有一個零點，故D錯誤；故選：AC.三、填空題13.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標為______.〖答案〗〖解析〗令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點.故〖答案〗為：.14.已知，，且，則的最小值為______.〖答案〗8〖解析〗∵，，，，，∴，當且僅當時等號成立，故的最小值為8.故〖答案〗為：8.15.已知函數(shù)，對，有，則實數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗因為對，，有，可得函數(shù)是上的單調遞減函數(shù)，由，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為______.〖答案〗〖解析〗依題意，，所以在上單調遞增，因為，所以為奇函數(shù)，于是由，令，求導得，函數(shù)在上單調遞增，當時，有，于是，當時，顯然成立，因此，即，令，，求導得，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，因此當時，，則，而，有，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知集合，．（1）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），，由“”是“”的充分不必要條件，即是的真子集，所以（等號不能同時成立），則.（2）由知：或，則或.18.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，所以，，則曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，，所以在上單調遞增.因為，所以當時，，所以.故實數(shù)的取值范圍為.19.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.（1）求的〖解析〗式；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)為冪函數(shù)得，解得或，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式為，設函數(shù)，則函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上單調遞減，所以解得，所以實數(shù)的取值范圍是.20.某商場為回饋客戶，開展了為期10天的促銷活動，經統(tǒng)計，在這1