高中數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)筆記

高中數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)筆記

高中數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)（完整本）

作者靳永輝

班級—姓名為了自己的夢想請好好努力吧!

目錄

預(yù)備部分初中知識(shí)復(fù)習(xí)-----------6

第一部分集合及其運(yùn)算-----------7

第二部分方程與不等式-----------8

（絕對值方程與不等式;一次,二次方程與不等式）

第三部分函數(shù)--------------------11

（常數(shù)函數(shù),一次函數(shù)，二次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函

數(shù),簡諧振動(dòng)）

第四部分函數(shù)性質(zhì)---------------18

（單調(diào)性,奇偶性,反函數(shù),周期性,圖像的平移與伸縮，可導(dǎo)性,

定積分）

第五部分?jǐn)?shù)列-------------------23

（等差數(shù)列，等比數(shù)列）

第六部分命題與簡易邏輯--------25

（原命題,否命題,逆命題,逆否命題,或，月非,全稱量詞,存

在量詞）

第七部分幾何和向量------------26

（點(diǎn)，線,面,垂直，平行，二維向量,三維向量）

第八部分直線和圓的方程--------32

（點(diǎn)斜式,斜截式,兩點(diǎn)式,截距式,一般式，點(diǎn)到線距離公式，

定比分點(diǎn)公式）

第九部分圓錐曲線--------------34

（橢圓，雙曲線，拋物線,弦長公式）

第十部分統(tǒng)計(jì)------------------37

（隨機(jī)抽樣,線性回歸,獨(dú)立性檢驗(yàn)）

第十一部分概率------------------41

（排列與組合,古典概型,幾何概型,兩點(diǎn)分布,超幾何分布，二項(xiàng)

分布,正態(tài)分布,期望,方差）

第十二部分復(fù)數(shù)及其運(yùn)算----------44

（實(shí)部，虛部，虛數(shù)單位i,加法，減法，乘法，除法）第十三部分推理與證明

—46

1作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

數(shù)學(xué)（必修1）人教A版

第?章集合與函數(shù)的概念

1.1集合

1.2函數(shù)及其表示

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)

第二章基本初等函數(shù)（I）

2.1指數(shù)函數(shù)

2.2對數(shù)函數(shù)

2.3基函數(shù)

第三章函數(shù)的應(yīng)用

3.1函數(shù)與方程

3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用

（必修2）人教A版

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

第二章點(diǎn)，直線，平面之間的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn),直線,平面之間的位置關(guān)系

2.2直線,平面平行的判定及其性質(zhì)

2.3直線,平面垂直的判定及其性質(zhì)

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角與斜率

3.2直線的方程

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

第四章圓與方程

4.1圓的方程

4.2直線，圓的位置關(guān)系

4.3空間直角坐標(biāo)系

（必修3）人教A版

第一章算法初步

1.1算法與程序框圖

1.2基本算法語句

1.3算法案例

第二章統(tǒng)計(jì)

2.1隨機(jī)抽樣

2.2用樣本估計(jì)總體

2.3變量間的相關(guān)關(guān)系

第三章概率3.1隨機(jī)事件的概率3.2古典概型3.3作者棗莊市靳永輝2兒何概型

為了自己的夢想請好好努力吧！

（必修4）人教A版

第?章三角函數(shù)

1.1任意角和弧度制

1.2任意角的三角函數(shù)

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.5函數(shù)yAsinx的圖像

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

第二章平面向量

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

2.2平面向量的線性運(yùn)算

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

2.4平面向量的數(shù)量積

2.5平面向量應(yīng)用舉例

第三章三角恒等變形

3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

3.2簡單的三角恒等變形

（必修5）人教A版

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.2應(yīng)用舉例

第二章數(shù)列

2.1數(shù)列的概念與簡單表示法

2.2等差數(shù)列

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

2.4等比數(shù)列

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

第三章不等式

3.1不等關(guān)系與不等式

3.2一元二次不等式及其解法

3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性

3.4基本不等式:ab

3作者棗莊市靳永輝ab2

4作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧!

理（選修2-3）人教版

第一章計(jì)數(shù)原理

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1.2排列與組合

1.3二項(xiàng)式定理

第二章隨機(jī)變量及其分布

2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列

2.2二項(xiàng)式及其應(yīng)用

2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

2.4正態(tài)分布

第三章統(tǒng)計(jì)案例

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用

理（選修4-5）人教版

第一章不等式和絕對值不等式

1.1不等式

1.2絕對值不等式

第二章證明不等式的基本方法

2.1比較法

2.2綜合法與分析法

2.3反證法與放縮法

第三章柯西不等式與排序不等式

3.1二維形式的柯西不等式

3.2一般形式的柯西不等式

3.3排序不等式

第四章數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

4.1數(shù)序歸納法

4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

5作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

初中知識(shí)復(fù)習(xí)

1.實(shí)數(shù)軸：-8

2.完全平方公式：8

ab

ab2ab2abab2ab22222

3.平方差公式：

ab(ab)(ab)22

4.運(yùn)算：

5.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：

Axl,yl6.

b

xxyy中點(diǎn)(,)22勾股數(shù)組：3,4,5;6,8,10;5,12,13abc222

6作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

第一部分集合及其運(yùn)算(必修1)

1.集合定義:若干個(gè)指定的對象集在一起.

2.表示法：

a.如：｛0,1,-2｝是列舉法.

b.如：｛x|x>2｝是描述法.

c.如：是文氏圖法

d.特殊符號(hào)如：

是空集；

N是自然數(shù)集；N或N是正整數(shù)集.(自然數(shù)集合中去掉零)

Z是整數(shù)集；Q是有理數(shù)集.

R是實(shí)數(shù)集；C是復(fù)數(shù)集.

3.集合中元素具有的性質(zhì)：

1（1,0,2,31體現(xiàn)確定性；①2{1,0,2,3}

②[1,0,1,2,5}是錯(cuò)誤書寫體現(xiàn)互異性；

2,5}{5,0,2}體現(xiàn)無序性.③{0,

4.關(guān)系

a.集合和元素的關(guān)系.（是否是屬于關(guān)系）（以A,B代表集合，以m代表元素）當(dāng)m在A

中時(shí)，記作"m讀作"m屬于A〃.m和A的關(guān)系：當(dāng)m不在A中時(shí)，記作A〃.讀

作"m不屬于A”.

b.集合和集合的關(guān)系（是否是包含關(guān)系）

A擁有的元素，B都有時(shí)，記作AB

A和B的關(guān)系：A擁有的元素,B不都有時(shí)，記作ABA擁有的元素,B,記作〃

定理1：空集是任意一個(gè)集合的子集,是任意一個(gè)非空集合的真子集.

n子集個(gè)數(shù)為2個(gè).定理2：當(dāng)集合A中的元素個(gè)數(shù)為n個(gè)時(shí)，那么A有n真

子集個(gè)數(shù)為2T個(gè).

7作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

5.運(yùn)算

1.方程定義:含有未知量的等式.（初中）

2.①絕對值方程（初中）

x-a|”表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a的距離

例L

求解x5

分析：如圖所示

解：xx05x5,x5

例2.求解|x213

分析：如圖所示

解：x23x1,x5

②絕對值不等式（必修5）

形態(tài)Lxab,（b0）

bxab圖⑴abxabxab,（b0）形態(tài)2.

xaborxab圖⑵xaborxab

8作者棗莊市靳永輝

第二部分方程與不等式為了自己的夢想請好好努力吧！

3.①一元一次方程（初中）

形如:axb0,（a0）叫一元一次方程.

例1.2x302x33

x2

②一元一次不等式（必修5）

定理:不等式的兩側(cè)同時(shí)加上或者減去一個(gè)數(shù),不等式不改變符號(hào).但若同

時(shí)乘以或者除以一個(gè)負(fù)數(shù)要改變不等式符號(hào).（如是正數(shù)不變號(hào)）

4.①一元二次方程（初中）

形如：axbxc0,（a0）叫一元二次方程.

解法一.（公式法）

2（第一步:首先計(jì)算）判別式b4ac2

（第二步:確定屬于下面哪一類型）：

b0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)解.x2ab0,方程有兩個(gè)相等的

實(shí)解.x2a

<0,方程無實(shí)解.

解法二.（十字交叉法）

例.2xx30

分析：2bx2a

（錯(cuò)）（對）

解：2x2x3（x1）（2x3）0

3x1,x

注:此法的關(guān)鍵是將系數(shù)a與c拆分成兩個(gè)數(shù)的乘積并且拆分所得數(shù)交叉相乘

的和必須等于系數(shù)b.并不是所有的一元二次方程都可拆分.

9作者棗莊市靳永輝2為了自己的夢想請好好努力吧！

定理：（韋達(dá)定理）（又名根與系數(shù)關(guān)系）

在一元二次方程axbxc0,（a0）有解xl,x2的情況下：2

bxlx2;,xlx2a

②一元二次不等式（必修5）

形態(tài)1.求解xx60

解:令x2x60

2ca（x2）（x3）0x2,x3

不等式解集為，23,

形態(tài)2.求解2x2x30

解：令-2x2x30

(x1)(-2x3)03x1,x2

3不等式解集為1,.2

步驟總結(jié)：1.要解不定式先解等式.2.畫草圖看大小號(hào).

x30形態(tài)3.求解x4

解：x3（x3）（x4）00x4x40

4x34x3

x40

所以解集為x|4x3

5.基本不等式（必修5）

1）來源22222①a2abb（ab）0ab2ab.②ab2220

10

棗莊市靳永輝abaO.b0）為了自己的夢想請好好努力吧！

2）基本不等式使用注意事項(xiàng)

口訣：1正2定3相等

①1正是指參加運(yùn)算的量必須是正數(shù).

②2定是指參加運(yùn)算的量,要么和是定值,要么積是定值.

③3相等是指參加運(yùn)算的量相等時(shí),均值不等式才能取等號(hào).

第三部分函數(shù)

1.定義:在集合A中的每一個(gè)元素x經(jīng)過對應(yīng)法則f在集合B中都有唯一

的元素y與之對應(yīng),那么我們就稱這個(gè)整體叫函數(shù).（必修1）

記作：f：AB

2.函數(shù)的三要素（必修1）

①定義域和值域

定義域一般情況下會(huì)給出，當(dāng)題目沒有給出時(shí),定義域默認(rèn)使函

數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值范圍.

常見陷阱有以下幾處

①.分母不能為零.②.偶次根號(hào)下的量要大于或等于零.

③.底數(shù)位置上的量要大于零且不等于1.

④.真數(shù)位置上的量要大于零.

0⑤.不能有雙零結(jié)構(gòu),即“0”.

1Iog3(x1)x0的定義域.例.

求f(x)x2

解：由

x30x20f(x)的定義域?yàn)閤|x>1且x0x10

x0

11作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧!

②對應(yīng)法則

所謂對應(yīng)法則就是指運(yùn)算的混合物，要掌握的運(yùn)算有四對共八個(gè)：加->減乘除

乘方開方指數(shù)->對數(shù)常見函數(shù)主要有

a.常熟函數(shù)，如y3

b.一次函數(shù)，如y2x1

c.二次函數(shù)，如yx22x3

lx

3

e.對數(shù)函數(shù)，如ylog2x,yloglxd.指數(shù)函數(shù)，如y2,y()x

3

f.三角函數(shù)，如ysinx,ycosx,ytanx

具體如下：（注意：學(xué)函數(shù)核心點(diǎn)就是學(xué)系數(shù)）a.常數(shù)函數(shù)：圖像是平行于x軸的一條

直線.（必修2）b.一次函數(shù)（必修2）

通式：yaxb,（a0）

例如：ll:yx3;12:yx1

圖像:直線（兩點(diǎn)確定一條直線

）

①系數(shù)a

a0時(shí)，圖像上坡，增函數(shù).

a0時(shí)，圖像下坡，減函數(shù).

②系數(shù)b決定圖像在y軸上的截距.

12作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

c.二次函數(shù)2通式：yaxbxc,（a0）

例如：yx22xl;yx22x3

圖像:拋物線

系數(shù)a

a0時(shí)，圖像開口向上.

a0時(shí)，圖像開口向下.

bb4acb2

）.系數(shù)b和a共同決定對稱軸：x，頂點(diǎn)坐標(biāo)p（,2a2a4a

系數(shù)c決定圖像在y軸的截距.

表達(dá)式的另外形式：

（一般式）yax2bxcb24acb2（頂點(diǎn)式）a（x）2a4a（雙根式）

a（xx）（xx）12

d.和e.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（必修1）

運(yùn)算法則指數(shù)運(yùn)算對數(shù)運(yùn)算

arasarslogaMlogaNloga（MN）

rsrsMaaalogaMlogaNloga（）Nrsrsaaloga（MN）NlogaMrlogcb

logab,（c0且c1）aslogca指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算的關(guān)系

當(dāng)a>0且aI時(shí)，

axNxlogaN

3283log28如：

13作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

f.三角函數(shù)（必修4）

1.角：共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形。

（如圖所示）

a.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x正半軸為出發(fā)處，

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得角為正角，（如角1）

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得角為負(fù)角.（如角2）

b.角有兩種單位制.

角度制，如：450（特點(diǎn)是頭上有個(gè)小圓圈.）

弧度制，如：3,

3（弧度制中表示的角不需要有的身影.）

c.與角終邊相同的角組成的集合為：x|x2k,kz.

與角終邊在同一條直線上的角組成的集合為：

XXk,kZ

14作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧!

3.a.三角函數(shù)定義:設(shè)角終邊上任意一點(diǎn)px,y（不能是原點(diǎn)）,

（opr）則

y;sinrxcos;r

tanx

b.同角三角函數(shù)關(guān)系式sin22sincos1;tancosc.誘導(dǎo)公式

口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限.”

（注:奇偶是指奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,符號(hào)是指將看做銳角原來函數(shù)在相應(yīng)2

象限內(nèi)的符號(hào).）

d.常用三角函數(shù)值

e.圖像（五點(diǎn)作圖法）ycosxysinx

15作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

f.和差公式y(tǒng)tanx

sinsincoscossin；

coscoscossinsin;

tantantan1tantan

g.輔助角公式

asinxbcosxx)由tan及a（其中角,b的符號(hào)確定）ah.倍角公式

sin22sincos

2222cos2cossin2cos112sin

1cos22sin2（降幕公式）

cos21cos22

i.正弦型函數(shù)（簡諧振動(dòng)）

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,常會(huì)碰到一種周期運(yùn)動(dòng)，它們是簡諧運(yùn)動(dòng),可用正

弦型函數(shù)

y

Asin（x）2T來表示.其中A為振幅，為角頻率，為初相角,最小正周期

16作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

j.解三角形題目

兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊.ABabsinAsinB.內(nèi)

角和1800,ABC.

面積公式：

IS底高2

111absinCacsinBbcsinA222

正弦定理和余弦定理：（必修5）

正弦定理：

abc2R（外接圓半徑）sinAsinBsinC

余弦定理：

222bcaa2b2c22bccosAcosA2bc

222acbb2a2c22accosBcosB2ac

222abcc2

a2b22abcosccosC2ab

17作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

第四部分函數(shù)性質(zhì)

例如：已知函數(shù)

f(x)ax3bx1,(a,b0)若f(2)=7,求f(-2)的值.

分析：.

解:令g(x)ax3bx由g(-x)g(x)可知g(x)為奇函數(shù)

f(x)g(x)1f(x)g(x)1g(x)1

f(2)g(2)17g(2)6

f(2)g(2)1g(2)15

18作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

2.反函數(shù)

.什么樣的函數(shù)有反函數(shù)？

答:滿足一一對應(yīng)的函數(shù)有反函數(shù).

.如果函數(shù)有反函數(shù),那么如何求？

答:步驟：1.求原函數(shù)的值域.2.由原函數(shù)的表達(dá)式,求反函數(shù)表達(dá)式.

3.互換x,y并寫出結(jié)論.

例:求函數(shù)y2x3,x3的反函數(shù)

解-------此步利用了一次函數(shù)單調(diào)性

y3又y2x3x2

互換x,y得yx3y9x32

x3,(x9)2所求反函數(shù)為:y

原函數(shù)和反函數(shù)有什么聯(lián)系？

答：L二者的定義域與值域相互交錯(cuò).

2.在同一坐標(biāo)系下，兩函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

3.周期性

判定:若函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+T),(T0)

則f(x)是周期函數(shù)，且T是此函數(shù)的一個(gè)周期.

定理:若函數(shù)yf(x),(xR)關(guān)于xa和xb兩條直線對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且

“2|b-a|”是它的一個(gè)周期.

例：已知f(x)是以3為其一個(gè)周期的奇函數(shù),且f(-1)=7,求f(4)=?解：由f(x)是奇函數(shù)

且f(T)=7得f(l)=-7.

又是f(x)的一介周期.

；.f(4)=f(l+3)=f⑴=-7.

19作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

4.函數(shù)圖象的平移和伸縮.

前y=f(x)后y=f(ax+b)

圖像已知圖像未知

注：1.“加減法”決定平移，“乘除法”決定伸縮.

2.“(順序方面)錄U洋蔥，(手法方面)反向操作”.

3.此處雖僅以變量x為例，但對于變量y此上法則同樣適用.例：已知(前)要求(后)

y=f(x)y=f(2x-3)

y=f[2(x-3/2)]

得到的手法：

1.)y坐標(biāo)不變，圖像水平向右平移3個(gè)單位.

2.)y坐標(biāo)不變,x坐標(biāo)壓縮為原來的1/2倍.

得到的手法：

1.)y坐標(biāo)不變,x坐標(biāo)壓縮為原來的1/2倍.

2.)y坐標(biāo)不變，圖像水平向右平移3/2個(gè)單位.

5.可導(dǎo)性(選修1-1或2-2)

L)常用的導(dǎo)數(shù)公式.

①常數(shù)函數(shù):f

(x)cf(x)0事函數(shù):f(x)xnf(x)nxn1指數(shù)函

數(shù):f(x)axf(x)axlna(f(x)exf(x)ex)對數(shù)函

數(shù)：f(x)logaxf(x)lxlna(f(x)Inxf(x)l)x正弦函

數(shù)：f(x)sinxf(x)cosx

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算式余弦函數(shù)：f(x)cosxf(x)sinx

[f(x)g(x)]f(x)g(x)

[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[]g(x)(g(x))2

20作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)fx在xxO處的導(dǎo)數(shù)值f(x0)就是函數(shù)在此處切線的斜率值K.

即f(xO)=K

導(dǎo)數(shù)所出題目

A.求切線

B.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

C.求函數(shù)的極值和最值

1例:求f(x)x34x4的極值及在［0,3］上的最值，313解：f(x)x4x43

2f(x)x4x2x2

令f(x)0x2,x2

從而

六乂)在*2處有極大值f(2)28.3

4f(x)在x2處有極小值f(2).3

4又f(0)4；f(2)；f(3)13

f(x)在［0,3］上的最大值為f(0)4,最小值為f(2)

D.定積分(選修2-2)

⑴“a4.3bf(x)dx”表示曲邊梯

形(陰影)的面積.

21

作者棗莊市靳永輝

為了自己的夢想請好好努力吧！

(2)定積分性質(zhì)

bbkf(x)dxkf(x)dxaabbbfl(x)f2(x)dxfl(x)dxf2(x)dxaaa

bcbf(x)dxf(x)dxf(x)dx,(其中acb)aac

(3)牛萊公式(微枳分基本定理)

若Fxf(x),則.fxdxFbFaab

Fx是f(x)的原函數(shù)，￡6)是尸x的導(dǎo)函數(shù).

例.一汽車的速度一時(shí)間曲線如圖所示,求汽車在這1分鐘的路程

解：由有速度一時(shí)間曲線可知3tvt303t902

從而行駛路程是：

1040,0t10,10t40,40t60603s3tdt30dtt90dtOl

0402

3326040t21030tt90t0104024

1350m

答:汽車在一分鐘的路程為1350m.

22作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

第五部分?jǐn)?shù)列

可拆分型

IS例.數(shù)列an,annn1,求n

111an解:nnInn1

23作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧!

Snala2an1an

111111111223nlnnn1

11n1

混合型

例.數(shù)列an和bn,其中an3n2,bn2

中cn

解：Snn1.若數(shù)列cnanbn.求cn的前n項(xiàng)和Sn.

clc2c3cn1cnalbla2b2a3b3anIbn1anbn1204

217223n52n23n22n12Sn121422723

3n52n13n22n2

012nIn123232323n22由此得Sn2SnSn

Sn

1203(21222n1)3n22n13212n2121

612n23n22n,nN3n22n1612n23n

22n,nN

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第六部分命題與簡易邏輯（選修1T或2-1）

1.定義:能夠判斷真假的陳述句叫命題.

2.關(guān)系如下

例：

原命題:若a2貝ija3.逆命題:若a3貝I」a2.

否命題:若a2則a3.逆否命題:若a3則a2.

定理:如果兩個(gè)命題具有互為逆否關(guān)系，那么它們同真假.

3.充分條件和必要條件

判斷原則：

限制條件強(qiáng)的======>限制條件弱的

（限制條件越強(qiáng),對應(yīng)的區(qū)間或人數(shù)就越小和越少）

4.真值表

5.全稱量詞和存在量詞

例如:原命題：xR,有x20.

否命題：xR,有x20.

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作者棗莊市靳永輝

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第七部分幾何（必修2）和向量

（平面向量（必修4）空間向量選修（2-1））

等角定理:略

12圖：

（如果不考慮方向就有可能兩角互補(bǔ)）

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3.空間線面位置關(guān)系

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4.三垂線定理

點(diǎn)0為垂足,點(diǎn)A為斜足.

已知:斜線PA在面a

原命題:如果m0A,

逆命題:如果mPA,5.

29作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

6.向量

l.）a.平面向量基本定理：

如果el,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,那么對于這個(gè)平面內(nèi)

的任一向量a有且只有一對實(shí)數(shù)1,2使

b.空間向量基本定理：alei2e2

如果el,e2,e3是一空間中不共面的三個(gè)向量,那么對于這一空間內(nèi)的

任一向量a有且只有一組實(shí)數(shù)1,2,3使

alei2e23e3

2.）向量是一既有大小又有方向的量（不同與數(shù)量），不能比較大小.且B（x2,y2）

（圖示）A（xl,yl）

向量坐標(biāo)=（有向線段終點(diǎn)坐標(biāo)）-（有向線段始點(diǎn)坐標(biāo)）

3.）平移公式

點(diǎn)Px,y按ah,k方向平移后得到一個(gè)新點(diǎn)px,y那么

xxhyykpx,y

4.）兩點(diǎn)距離公式

設(shè)Axl,yl,Bx2,y2為平面上兩點(diǎn)，則

AB設(shè)A(xl,yl,zl),B(x2,y2,z2)為空間中兩點(diǎn),則

AB30作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

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第八部分直線和圓的方程(必修2)

1.直線

2.Iy2yl已知直線L上兩點(diǎn)px,y,px,y，則kx2xl

已知直線L的傾斜角為，則ktan11222

利用求導(dǎo)(適用于求曲線的切線)kfx0.

1.當(dāng)斜率為大于零，直線上坡；2.當(dāng)斜率為等于零，直線水平；備注:①斜率分類3.

當(dāng)斜率為小于零,直線下坡；4.當(dāng)斜率為不存在,直線豎直；

②已知直線11,12的斜率分別為kl,k2,則有

11//12klk21112klk21

32作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

3.圓

點(diǎn)px0

,y0到線L:AxByC0的距離為d,則

d

定比分點(diǎn)公式設(shè)px,y分plxl,yl,p2x2,y2的比為，則

xyxlx21yly2

1

（此公式的特殊情況為中點(diǎn)坐標(biāo)公式）

5.直線和圓的位置關(guān)系

討論直線和圓的位置關(guān)系時(shí),首先要求出圓心到此直線的距離0A.

若OA〉r,則相離若OA=r,則相切若OA<r,則相割

33作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

第九部分圓錐曲線（選修1T或選修2-1）

1.橢圓

圖像（焦點(diǎn)在X軸）

橢圓上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn),所有的點(diǎn)具有一個(gè)共性.

設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)MxO,yO則

MFIMF22a（長軸長）

或者記成：

點(diǎn)M到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離比上點(diǎn)M到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離,所得比值為常熟e（離心

率）.

x2y2

圖像方程：221abce,e0,1a

222abc:a,b,c三系數(shù)關(guān)系：

2.雙曲線

圖像（焦點(diǎn)在X軸）

雙曲線上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)，

所有的點(diǎn)具有一個(gè)共性

設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)MxO,y0

則

MFIMF22a（實(shí)軸長）

34作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

或者記成：

點(diǎn)M到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離比上點(diǎn)M到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離,所得比值為

c常數(shù)e（離心率）.e,e1,.a

x2y2

圖像方程：221ab

222caba,b,c三系數(shù)關(guān)系：

3.拋物線

注：所有點(diǎn)具有的共性:拋物線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比上點(diǎn)M到定直線的距離，所

得比值為常數(shù)e（離心率）.（e=l）

35作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

4.弦長公式

一直線L：ykxb和圓錐曲線C（橢圓，雙曲線，拋物線皆可）的交點(diǎn)，為

Axl.yl和Bx2,y2,則ABxlx22yly22

xlx224x1x2

2k2ka

x2y2

1和直線y2x1交于A,B兩點(diǎn),求AB?例1：已知42

解：x2y2

19x28x2024y2x1

AB3

例2.

21:yky2Px已知，PQxP,M是RS的中點(diǎn)，PFa,QFb,則

2MFRFSyly2

P；

22

36作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧!

第十部分統(tǒng)計(jì)

1統(tǒng)計(jì)的核心思想就是:用局部代表整體.（必修3）

利用局部的性質(zhì)或特征來代表整體的性質(zhì)或特征.從理論上講是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?甚至可以說是

錯(cuò)誤的,而現(xiàn)實(shí)中有時(shí)卻不得不這樣做,那么就應(yīng)該使“局部代表整體的這種手法能夠在理

論上盡可能的滿足嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，或者說能夠說服別人承認(rèn)這種手法.2.收集數(shù)據(jù)的手法

第一種問題：變量間的相互關(guān)系----------回歸分析

例：如果想知道高三男學(xué)生的身高和體重有什么關(guān)系,應(yīng)如何做？

數(shù)據(jù)的選取,根據(jù)抽樣方法,我們適用分層抽樣或者簡單隨機(jī)抽樣來獲得數(shù)據(jù).得到數(shù)

據(jù)如下表（身高是解釋變量,體重是預(yù)測變量）：

計(jì)算體重的平均值為

yy2y84857505464614359154.5（kg）

88

如果身高和體重沒有關(guān)系,那么不同身高的人體重應(yīng)為54.5kg,而事實(shí)并不是這樣.所以

應(yīng)該有某種關(guān)系,表格給的直觀太少.因此可以通過畫圖來增強(qiáng)直觀性.

37作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

做散點(diǎn)圖

從圖可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系（這只是用眼睛

觀察得到的粗略判斷）.我們可用定量的計(jì)算來判斷,這要用到“相關(guān)系數(shù)r”的知識(shí).r的

有關(guān)知識(shí)如下：

兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：

r(x)y

ii

n

注：

稱為‘西格瑪'，n為數(shù)據(jù)組的個(gè)數(shù)

判斷標(biāo)準(zhǔn)

本例中r=0.798,這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.因此可以用線性回歸方程來

近似刻畫它們之間的關(guān)系.

為斜率,a為截距a,b設(shè)兩個(gè)變量的線性回歸方程為：ybx

其中

i1bn(xi)2i1a(xni)yi

38作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

根據(jù)上面的公式計(jì)算得

0.849,a85.712b

y0.849x85.712于是得到回歸方程

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果

l.e2,,en來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否種方法:通過殘差e

iy有可以數(shù)據(jù).其中eyi(即實(shí)際值減去預(yù)測值

)i

從上圖可以看出，第一個(gè)樣本點(diǎn)和第六個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大,需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣

本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯(cuò)誤.

另外,我們還可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果(R2越大擬合效果越好)，其公式如下

n

R12(yi1

n

iliyi)21)2(y

殘差平方和總偏差平方和

i39作者棗莊市靳永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

第二種問題:檢驗(yàn)兩個(gè)“分類變量”是否有關(guān)系-----------獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)有兩個(gè)分

類變量X和Y,它們的樣本頻數(shù)列聯(lián)表如下

若要推斷的論述為“II：X與Y有關(guān)系.”方法有兩種：

第一種:通過三維柱形圖或二維條形圖,可粗略地判斷兩變量是否有關(guān)系.

在三維柱形圖中，主對角線兩數(shù)值的乘積與次對角線兩數(shù)值的乘積相差越

大，結(jié)論H成立的可能性就越大.ac

在二維條形圖中，和兩比值相差越大,結(jié)論H成立的可能性就越

abed

大.

第二種:定量計(jì)算法

步驟：假設(shè)兩個(gè)變量沒關(guān)系.

計(jì)算K2,推出小概率事件.其中

nadbe2

k其中nabcd

abedacbd2

例.某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂，而另有772名不是

因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.求.能否以99%的把握認(rèn)為禿頂與患心臟

病有關(guān)系嗎?為什么？

2

14372145971754512

從而K3891048665772

16.3736.635因此有99%的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”.40作者棗莊市靳

永輝為了自己的夢想請好好努力吧！

第十一部分概率（必修3）

1.排列與組合（選修2-3）

2.

3.兒何概形（如等車,染色等）

4.注意事項(xiàng)：

任何事件的概率都要在區(qū)間91］內(nèi).

當(dāng)事件A與事件B滿足AB時(shí)，稱A和B互斥,此時(shí)有

PABPAPB------加法公式

若再加上一個(gè)限制條件AB1（全集）則有

PABPAPB1PA1PB

在已知事件A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的可能性為條件概率.（理科）

PB|A

PAB

P