高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)完全總結(jié)

高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)

函數(shù)

1、若集合A中有n(〃eN)個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為第，所有非空真子集的個(gè)數(shù)是2"-2。

卜(Aac_、

二次函數(shù)>=以2+歷;+。的圖象的對(duì)稱軸方程是*=———，頂點(diǎn)坐標(biāo)是——,；。用待定系數(shù)法

2aI2。4。,

求二次函數(shù)的解析式時(shí)，解析式的設(shè)法有三種形式，即/(x)=ax2+bx+c(一般式)，

f(x)-a(x-X1)?(x-X2)(零點(diǎn)式)和/(x)=a(x-m)2+〃(頂點(diǎn)式)。

塞函數(shù)y=x",當(dāng)n為正奇數(shù)，m為正偶數(shù)，m<n時(shí)，其大致圖象是

函數(shù)y=,2-5x+6］的大致圖象是

由圖象知，函數(shù)的值域是［0,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是［2,2.5］和［3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(—8,2］和［2.5,3］。

二、三角函數(shù)

1、以角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角a的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)

yxyxrr

P(x,y),點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為「，貝ijsina=—,cosa=—,tgcr=—,ctga=—,seccr=—,csca=—。

2、同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：sin2?+cos2a=1,\+tg-a=sec2a,\+dg2a=esc2a；

倒數(shù)關(guān)系是：tgee-etga=1,sinacsca=1,cosa-seccr=1；

L人wkEsincrcosa

相It除r關(guān)系是：tga=-------,etga=-------

cosasiner

3、誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限“如：sin（^--cif）=-COS6Z,cfg（j——a）=tga,

tg(37r-a)=-tgao

27r

4、函數(shù)y=4sin（姐+0+8（其中A>0,0>0）的最大值是A+8,最小值是8—A,周期是7=——，頻

CD

率是/=色，相位是郎+夕，初相是尹；其圖象的對(duì)稱軸是直線如+夕=左乃+王（女€2）,凡是該圖象與

2萬(wàn)-------——2

直線y=B的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。

5、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

r

JiJi77j'ji

y=sinx的遞增區(qū)間是2k萬(wàn)一,,2k；T+耳（keZ）,遞減區(qū)間是2k萬(wàn)+萬(wàn),2%乃+《-（keZ）；y=cosx

的遞增區(qū)間是［2%萬(wàn)一乃,2%萬(wàn)］伏wZ）,遞減區(qū)間是［2人乃,2&乃+乃］（keZ）,y=tgx的遞增區(qū)間是

kre----，%乃+—（&EZ）,y=c，gx的遞減區(qū)間是（k乃，上萬(wàn)+萬(wàn)）（kwZ）。

6、sin(a±夕)=sinercos0±cosasin0

cos(a±4)=cosacos夕干sinasin(3

tga土tg。

tg(a+p)

\+tgatg/3

7、二倍角公式是：sin2a=2sina-cosa

COS2￡Z=COS2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2dz

2tga

tg2a

1-fg2a

8、三倍角公式是：sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa

a1-cosa1+coser

9、半角公式是：sin-=±cos-=±

2222

al-cosa1-cosasina

tgy=±

v1+cosasina1+cosa

0a.△?2a

10、升幕公式是：1+cosa=2cos——1-cosez=2sin一。

22

、降累公式是：《1+cos2a

11sir?aJos2acos2a=-------------。

22

-ai2a-a

2tg317g—2fg5

12>萬(wàn)能公式：sin。二--------costz=-------tga=.........-

1oa￡

1+%一,1+為2iTg—

2

13、sin(a+J3)sin(a-J3)=sin2a-sin2ft,

cos(ex+yff)cos(a-y^)=cos2a—sin2/=cos2/—sinaa。

14>4sinasin(60?！猘)sin(60°+a)=sin3a；

4cosacos(60°-a)cos(60"+a)=cos3a；

火afg(60。-a)氏(60"+。)=火3a。

15、ctga-tga=2ctg2a。

0V5-1

16>sinl8=--------o

4

17、特殊角的三角函數(shù)值:

7171717T34

a0兀

6~4T7T

]_五73

sina010-1

2VV

百722

cosa10-10

~T~T2

君

tg。01匹不存在0不存在

T

V3

ctga不存在炳10不存在0

T

cihc

18、正弦定理是(其中R表示三角形的外接圓半徑)：--=--=--=2R

sinAsinBsinC

由余弦定理第一形式，b~=cr+c~-2accosB

+cz—b

由余弦定理第二形式，cosB=^—-―-

20、ZiABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表示，半周長(zhǎng)用p表示則:

=—a=—besinA=…；

22

(§)5=2R2sinAsinBsinC；@S=-----；

⑤S='p(p-a)(p-b)(p-c)；⑥S=pr

21、三角學(xué)中的射影定理：在4ABC中，b=a-cosC+c?cosA,…

22在ZkABC中，A<B<^>sinA<sinB,…

23>在4ABC中：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

fgA+tgB+tgC=tgA-tgBtgC

24、積化和差公式：

①sina?cos(3=—[sin(a+/)+sin(a--)],

③cosa?cos/3=3[cos(a+/)+cos(a-夕)],

④sina?sin/?=—g[cos(a+/)—cos(a-夕)]。

25、和差化積公式：

.x+yx-y

①sinx+siny=2sin—廣?cos—廣

小.△x+y.x-y

@sinx-siny=2cos--------sin-------

22

cX+yx-y

③cosx+cosy=2cos--------cos-------

@cosx-cosy=-2sin/；：?sin~~~

反三角函數(shù)

1、y=arcsinx的定義域是［-1,1］,值域是［-七,王］,奇函數(shù)，增函數(shù);

22

y=arccosx的定義域是［-1,1］,值域是［0,萬(wàn)］,非奇非偶，減函數(shù);

y=的定義域是R,值域是(一','),奇函數(shù)，增函數(shù)；

y=〃nx￡gx的定義域是R,值域是(0,乃)，非奇非偶，減函數(shù)。

2、當(dāng)x￡[—1,1]時(shí)，sin(arcsin%)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=Jl-cos(arcsinx)=Jl--

arcsin(-x)=一arcsinx,arccos(-x)=兀-arccosx

兀

arcsinx+arccosx=—

2

對(duì)任意的XE/?,有：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx,arcctg(-x)=冗一arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

當(dāng)龍。0時(shí)，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=-

xxo

3、最簡(jiǎn)三角方程的解集：

\a\>1時(shí),sinx=。的解集為。；

|?|<1時(shí),sinx=a的解集為卜卜=〃乃+(-1)"?arcsina,nGz}

同〉1時(shí),cosx=〃的解集為。；

|?|<1時(shí),cosx=a的解集為卜=2/?arccosneZ/

asR,方程吆x=〃的解集為卜,=n7i+arctga,zzGZ)；

aeR,方程cfgx=a的解集為{x|x=〃)+arcctga,nGZ}O

四、不等式

1、若n為正奇數(shù)，山可推出a"<6"嗎？(能)

若n為正偶數(shù)呢？(僅當(dāng)a、b均為非負(fù)數(shù)時(shí)才能)

2、同向不等式能相減，相除嗎(不能)

能相加嗎？(能)

能相乘嗎？(能，但有條件)

3、兩個(gè)正數(shù)的均值不等式是：—

2

三個(gè)正數(shù)的均值不等式是：叱…之痂

3

n個(gè)正數(shù)的均值不等式是：-2"之可/&2…a.

n

4、兩個(gè)正數(shù)a、力的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是

6、雙向不等式是：|。一網(wǎng)歸,土耳《同+網(wǎng)

左邊在ab<0(>0)時(shí)取得等號(hào)，右邊在ab20(<0)時(shí)取得等號(hào)。

五、數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是%=%+("—l)d,前n項(xiàng)和公式是：S"="回+偌)="/+；〃(〃—1)1。

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是%

叫(q=1)

前n項(xiàng)和公式是：Sn=b,(l-^"),八

—：-----(qwi)

Ii-q

3、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛%｝的公比q滿足時(shí)<1時(shí)，limS“=S=2。一般地，如果無(wú)窮數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和的極限limS“

281-q

存在，就把這個(gè)極限稱為這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和(或所有項(xiàng)的和)，用S表示，即S=limS“。

M->00

4、若m、n、p、qWN,且加+〃=p+q,那么：當(dāng)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列時(shí)，Wam+an=ap+a(1；當(dāng)數(shù)列｛a.｝

是等比數(shù)列時(shí)，有=%q。

5、等差數(shù)列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,貝”3傳的；

6、等比數(shù)列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,則S3n=22；

六、復(fù)數(shù)

1、i"怎樣計(jì)算？(先求n被4除所得的余數(shù)，嚴(yán)”=廠)

2、(0——■-+ico.,——■是1的兩個(gè)虛立方根，并且：

12222

3312211

CO｝=0)2=1Ct)]=3必=COX---=①、---=CDX

用_0)2

a)x=3?CD2=coxq+g=-1

3、復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是：同-㈤歸憶±44憶|+憶其中左邊在復(fù)數(shù)zi、zz對(duì)應(yīng)的向量共線且反向

(同向)時(shí)取等號(hào),右邊在復(fù)數(shù)Z1、zz對(duì)應(yīng)的向量共線且同向(反向)時(shí)取等號(hào)。

4、棣莫佛定理是：［r（cos^+zsin^）］H=r"（cosnO+isinn0）（neZ）

5、若非零復(fù)數(shù)z="cosa+isina）,則z的n次方根有n_個(gè),即:

八廠,24乃+a..2k兀+a、/］八1、

z=vr（cos-----------+zsm-----------）（女=0,1,2,…，n-1）

knn

它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在分布上有什么特殊關(guān)系？

都位于圓心在原點(diǎn)，半徑為〃的圓上，并且把這個(gè)圓n等分。

6、若|zj=2,z2=3（cos-y+zsiny）-z,,復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B,則AAOB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積

x2x6xsin—=36。

23

7、Z-Z=|z|2o

8、復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的幾個(gè)基本軌跡：

①argz=為實(shí)常數(shù)）c軌跡為一條射線。

②arg（z-Z。）=，（z0是復(fù)常數(shù)，，是實(shí)常數(shù)）—軌跡為一條射線。

③|z—z0|=是正的常數(shù)）6軌跡是一個(gè)圓。

@|z-z||Tz—ZzKZi、Z2是復(fù)常數(shù)）0軌跡是一條直線。

⑤|z-zJ+|z-Z2|=2a（Z］、Z2是復(fù)常數(shù)，4是正的常數(shù)）3軌跡有三種可能情形：a）當(dāng)2a>匕-z?|時(shí)，

軌跡為橢圓；b）當(dāng)2。=憶—Zz|時(shí)，軌跡為?條線段；c）當(dāng)2a〈匕—4時(shí)，軌跡不存在。

⑥|z—zj—|z-Z2||=2a（a是正的常數(shù)）一軌跡有三種可能情形：a）當(dāng)2a<%—Z2］時(shí)，軌跡為雙曲線；b）

當(dāng)2a=憶—Z2I時(shí)，軌跡為兩條射線；c）當(dāng)2a>匕—Z21時(shí)，軌跡不存在。

七、排列組合、二項(xiàng)式定理

1、加法原理、乘法原理各適用于什么情形？有什么特點(diǎn)？

加法分類，類類獨(dú)立；乘法分步，步步相關(guān)。

2、排列數(shù)公式是：P,；"=/?（?-1）???（?-m+1）=

（n-my.;

排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：P；：'=m!-C；

組合數(shù)公式是：c：=〃（”1）一?（"〃?+1）=——>11——.

1x2x???x加他!?（〃一m）!

組合數(shù)性質(zhì)：-C：+C：；I=C3

yC；n=2"rC；n=nC；n-—；l

r=0

c；+c3+c；+2+-+c；y

3、二項(xiàng)式定理：(a+b)"^C°a"+C\an-'b+C；,an-2b2+…+C；a"方+…+C?”二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:

(?S=0，l，2…，?)

八、解析幾何

1沙爾公式：|4川=4一4

2、數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：|4同=瓦—“

22

3、直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：|P,P21=A/(xl-x2)+(yl-y2)

----PP

4、若點(diǎn)P分有向線段＜只成定比入，則入=」一

■PP2

5、若點(diǎn)片(王，%)，P,(x2,y2),P(x,y),點(diǎn)P分有向線段而成定比入，貝不入=二』=2二2k；

-x乃一y

、,=%+加2

-1+/L

若A(X”M),B{x2,y2),C(x3,y3),則ZXABC的重心G的坐標(biāo)是1+?，%+乃+)’3

6、求直線斜率的定義式為k=fga,兩點(diǎn)式為k=2二2。

7、直線方程的幾種形式：

點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0),斜截式：y=kx+b

兩點(diǎn)式：之二=截距式：土+工=1

y2-y}x2-xxab

一般式：Ax+6y+C=0

經(jīng)過(guò)兩條直線卜Ax+^y+G=0和/A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程是：

4x+5]y+G+x+B-yy4-)—0

8,直線ky=&x+如/：y^kx+h,則從直線人到直線4的角。滿足：火，=」一L

2221+k、k2

k-k

直線L與乙的夾角?滿足：次。==L

1+k、k)

直線/,：4工+用y+G=0,Z2：A2x+B2y+C2=0,則從直線乙到直線4的角。滿足：

Aj52—A-)B1

tge=

AA,+B]B、

4冬—4月

直線L與4的夾角o滿足:tg9=

4A,+B]

9、點(diǎn)P(%,y。)到直線/：Ax+8y+C=0的距離：

_\Axn+By()+C\

‘U2+B2

10、兩條平行直線4：Ax+By+C,=0,/2：Ax+By+g=0距離是

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：(x-a)2+(y-b)2=r2

圓的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F^Q(D2+E2-4F>0)

Jn2F2-4/r(DE

其中，半徑是r="+—,圓心坐標(biāo)是-上與

2I22

思考：方程X2+>2+Dr+Ey+F=0在。2+七2-4/=0和￡>?+七2一4口<0時(shí)各表示怎樣的圖形？

12、若A(x”yJ,B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是

(?一一)(一一%2)+(—-—)(一--2)=0

經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓

2222

x+y+Dtx+E|>+K=0,x+y+D2x+E2y+F2=0

的交點(diǎn)的圓系方程是：

x~+y~+DyX+E]y+G+%(x~+)'~+D-,x+￡12,+尸2)=0

經(jīng)過(guò)直線/：Ax+By+C^0與圓x2+y2+Dx+Ey+F的交點(diǎn)的圓系方程是：

x2+y2+Dx+Ey+F+"Ax+By+C)=0

13、圓/+/=/的以p（x0,yo）為切點(diǎn)的切線方程是

2

xox+yoy=r

一般地，曲線4/+。2一。;1+￡,+歹=0的以點(diǎn)尸（項(xiàng)），%）為切點(diǎn)的切線方程是：

AtoX+Cvoy—。?王尹+E?上署+尸=0。例如，拋物線V=4x的以點(diǎn)P（1⑵為切點(diǎn)的切線方程是:

注意：這個(gè)結(jié)論只能用來(lái)做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的常規(guī)過(guò)程去做。

14、研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種，即：

①判別式法：△>（）,=0,<0,等價(jià)于直線與圓相交、相切、相離；

②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系：距離大了半徑、等于半徑、小于半徑，等價(jià)于直線與圓相離、

相切、相交。

15、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：y2=2px,y2=-2px,

22

x=2py,x=-2pyQ

16、拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：],o],準(zhǔn)線方程是：x=—g

若點(diǎn)P（x0,yo）是拋物線V=2px上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是：Xo+5，過(guò)該

拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦（稱為通徑）的長(zhǎng)是：2〃。

2222

17、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：0+q=1和鼻+與=1

a2b2a2b-

（6f>Z?>0）o

222

18、橢圓三+與=1（a>6>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（土c,0）,準(zhǔn)線方程是x=±J,離心率是e=￡,通徑的長(zhǎng)是

19、若點(diǎn)「（/，九）是橢圓三+27=1（。>匕>°）上一點(diǎn)，K、B是其左、右焦點(diǎn)，則點(diǎn)P的焦半徑的長(zhǎng)是

a~b

仔耳|二〃+exG和|PF2|=a-exG

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：「一「=1和4—土

a2b2a2h

(a>0,/?>0)o

222c2b2

21、雙曲線5=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(士c,0),準(zhǔn)線方程是x=±—，離心率是e=￡,通徑的長(zhǎng)是吆漸近

ab--------caa

線方程是《一工=0。其中c2=a2+/。

a2b----------------

22222

與雙曲線二?一與=1共漸近線的雙曲線系方程是與-二=2(20)ov

22、與雙曲線=l共焦點(diǎn)的雙

ab~ab~a2b2

x1y2

曲線系方程是=1o

a2+kh2-k

\AB\^^\+k2)(-xy；

23、若直線y=fcx+b與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(X],y。,B(X2,yz)，則弦長(zhǎng)為Xi2

\^B\=,(1+加2)(必一九)2o

若直線x=+f與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(X],yD，B(x2,y2)，則弦長(zhǎng)為

J2

24、圓錐曲線的焦參數(shù)P的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,對(duì)于橢圓和雙曲線都有：p=L

C

25、平移坐標(biāo)軸，使新坐標(biāo)系的原點(diǎn)。'在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是(h,k),若點(diǎn)P在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是(x,y),在

新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是(x',y')，則x'=x-/?,y'-y-ko

九、極坐標(biāo)、參數(shù)方程

JQ-JQ+at

1、經(jīng)過(guò)點(diǎn)鳥(niǎo)(公,>0)的直線參數(shù)方程的一般形式是：一°'”是參數(shù))。

y=y<)+bt

,八、(X+/COS6Z-4、“，

2、若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)用(乙，汽)，傾斜角1為,a，則直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：\X-°n,。是參數(shù))。

y=汽+fsina

其中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的幾何意義是：有向線段解的數(shù)量。

若點(diǎn)巴、P2、P是直線/上的點(diǎn)，它們?cè)谏鲜鰠?shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是小G和3則：%舄=工一修|；當(dāng)

點(diǎn)p分有向線段而成定比％時(shí)，當(dāng)點(diǎn)p是線段PF2的中點(diǎn)時(shí)，殳。

1+22

x=Q+、cosa

,.(a是參數(shù))o

{y=Z?+rsina

3、若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(夕&),直角坐標(biāo)為(x,y),

則x=/9cos。，y=psin。，p=Jx2+y2,tg0=-o

4、經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程是：6=二或，=乃+&,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,0）,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：pcosO=a,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a,工）且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：psinO=a,

2----------

經(jīng)過(guò)點(diǎn)So，%）且傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程是：Psin（6-a）=Asin（4—a）。

5、圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是p=r；

圓心在點(diǎn)（a,0）,半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是夕=2acos6；

圓心在點(diǎn)（a,10，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是夕=2asin

圓心在點(diǎn)（Po，%）,半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是22+0；-2/?°oCOS（6-，0）=非。

6、若點(diǎn)M（0,4）、N（p2,%），則MM=J/?；+夕；-Zp、p【cos?-%）。

十、立體幾何

1、求二面角的射影公式是cos6=幺，其中各個(gè)符號(hào)的含義是：S是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積，S'是圖

S

形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影，6是二面角的大小。

2、若直線/在平面a內(nèi)的射影是直線直線m是平面a內(nèi)經(jīng)過(guò)/的斜足的—條直線，/與/'所成的角為用，廠與

m所成的角為。2，/與m所成的角為0,則這三個(gè)角之間的關(guān)系是cos。=cosg-cos/。

3、體積公式：

柱體：V-S-h,圓柱體：V=兀產(chǎn)?h。

斜棱柱體積：V^S'-l（其中，S'是直截面面積，/是側(cè)棱長(zhǎng)）;

11,

錐體：V^-S-h,圓錐體：V=上兀戶

33

臺(tái)體：V=g./z（S+JSS+W）,圓臺(tái)體：V=1^(/?2+/?r+r2)

3

球體：V--nro

3

4、側(cè)面積：

直棱柱側(cè)面積：S=ch,斜棱柱側(cè)面積：S=，'?/；

正棱錐側(cè)面積：S=-c^h\正棱臺(tái)側(cè)面積：S=-（c+c>,；