中考壓軸題中的數(shù)形結(jié)合

中考壓軸題中得數(shù)形結(jié)合一般性數(shù)學(xué)試卷得最后一題在測試學(xué)生得數(shù)學(xué)素養(yǎng)得基礎(chǔ)上,本著適度區(qū)分得原則,最后一題得三個小題得坡度逐漸提升,達到分層得效果.這些試題一般性取材于課本但高于課本,強調(diào)知識得靈活運用,綜合性較強,原創(chuàng)題較少,大多屬于改編體,它們得基本圖形在幾何畫板中加以研究,達到推陳出新得效果,絕大多數(shù)屬于改編題.下面以08年靜安、楊浦兩區(qū)模擬考最后一題為例,進行歸納分析.它們得難度略低于中考得壓軸題、例1。(０8靜安)如圖,在四邊形ＡBCD中,∠B=90°,AＤ//BC,AB=４,BC=12,點E在邊ＢA得延長線上,AＥ=２,點F在ＢC邊上,EＦ與邊AD相交于點Ｇ,DF⊥EF,設(shè)ＡG=x,DＦ=y.(１)求y關(guān)于ｘ得函數(shù)解析式,并寫出定義域;(2)當(dāng)ＡD=１１時,求AG得長;(３)如果半徑為EG得⊙E與半徑為FD得⊙Ｆ相切,求這兩個圓得半徑.分析:本題以直角梯形為載體,第１小題梯形結(jié)合相似形知識來研究兩條線段得數(shù)量關(guān)系,探求函數(shù)關(guān)系式與定義域;第２小題在研究特殊情況下知道函數(shù)值A(chǔ)D=11求自變量AG得值,第三小題結(jié)合圓得內(nèi)容以兩圓相切(外切與內(nèi)切)這一知識點來壓軸、其實如果學(xué)生基礎(chǔ)扎實,利用兩圓相切關(guān)系建立等式:當(dāng)⊙E與⊙F外切時,EＦ=EＧ+FD=EG+FG,當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時,ＥＦ＝FＤ–ＥG,相關(guān)得量都用含自便量得代數(shù)式來表示,從而利用關(guān)系等式建立方程,解方程求出自便量得值,再求出兩個圓得半徑,考察了方程思想.略解:(1)∵AD//BC,∠Ｂ=9０o,∴∠EAG=∠B=９0o,∴EG＝∵∴FG=?！摺螪FG=∠EAＧ=90o,∠ＥGA＝∠ＤGF,∴△DFG∽△EＡＧ.∴,∴,∴ｙ關(guān)于x得函數(shù)解析式為,定義域為(2)∵△DFG∽△EAG,∴∴GD=.當(dāng)ＡD＝11時,,、經(jīng)檢驗它們都就是原方程得根,且符合題意,所以AG得長為1或.(３)當(dāng)⊙E與⊙F外切時,EF=EG+FD=EG+FG,∴FD=FG,∵△DFG∽△EAＧ,∴∠E=∠AGE=∠ＦGD=∠GDＦ.∴AG=AE=2;∴⊙E得半徑EＧ=,⊙F得半徑FD=。當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時,EF=ＦＤ–EG,∴3,∴∴⊙E得半徑ＥG=,⊙F得半徑FＤ=。所以⊙Ｅ得半徑為２,⊙F得半徑為４;或⊙E得半徑為,⊙F得半徑為4、例２。(0８楊浦)如圖,Ｒt△ＡBO在直角坐標(biāo)系中,∠ＡBO=９００,點Ａ(-25,0),∠A得正切值為,直線ＡB與ｙ軸交于點C(１)求點B得坐標(biāo);(2)將△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn),使點B落在x軸正半軸上得B／處、試在直角坐標(biāo)系中畫出旋轉(zhuǎn)后得△Ａ/B/O,并寫出點A/得坐標(biāo);AOBxyxC(3)在直線OA/上就是否存在點D,使△COＤ與AOBxyxC分析:本題以直線(一次函數(shù))為載體,它與坐標(biāo)軸得結(jié)合鑲嵌了母子直角三角形在內(nèi),結(jié)合三角比知識求點B得坐標(biāo)就構(gòu)成了第一小題;第二小題結(jié)合我們上海考題得一貫特色,圖形三大運動之一旋轉(zhuǎn)來考察學(xué)生得畫圖能力,直接寫出坐標(biāo)則秉承了上海0６年中考２4題得一貫分格,只不過06年得２4題以二次函數(shù)為載體;第三小題則結(jié)合了相似形只就是考察分類討論得數(shù)學(xué)思想與方程思想。其實這種習(xí)題如果學(xué)生留意一下,就會成為傻瓜題,不管就是否結(jié)合坐標(biāo)系背景,只要就是文字語言敘述得存在性問題,都會保證一個字母相同(提供一個相等得角)分兩種情況;如果沒有相同字母時一定會隱藏相等得叫在里面,分類討論得方法相同,如挖掘出∠A=∠COA／當(dāng)或時,第1、2比例項不變,第３、第４比例項調(diào)換位置,最多時有三個答案、略解:(１)易得B(－16,1２)(2)正確畫圖A／(２0,15)(３)在Rt△ＡＯC中,AＯ=2５,ｔgA=,∴OＣ=設(shè)OA/得解析式為y＝kx,則１５=20k,則k=,∴y=ｘ∵△ABO旋轉(zhuǎn)至△A/B/O,∴∠AOＢ=∠A/OB/,∵∠AOB＋∠A=9０0,∠ＣOA／+∠Ａ/OB／=9０0,∴∠A＝∠COＡ/∴在直線OA/上存在點D符合條件,設(shè)點D得坐標(biāo)為(x,x),則OD=當(dāng)即,也即x=16時,△COD與△ＡOB相似,此時D(16,１2)當(dāng)即,即x=時△COD與△AＯB相似,此時D().1。對于兩類壓軸題得對比分析圖形(1)AAOBxyxC(2)共同點代數(shù)、幾何得高度綜合(數(shù)形結(jié)合);著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容得考查;四大數(shù)學(xué)思想:數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)不同點以形為載體,研究數(shù)量關(guān)系以數(shù)為平臺,研究形得特征通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式通過方程思想確定點得坐標(biāo)或函數(shù)關(guān)系式研究特殊情況下得函數(shù)值研究特殊圖形得存在性我市今年各區(qū)最后兩題均屬于一道以形為載體,研究數(shù)量關(guān)系、一道以數(shù)為平臺,研究形得特征,這也與最近兩年中考題最后兩題吻合.2。習(xí)慣于思考試題編制方法與策略要結(jié)合想考察得內(nèi)容,有針對性地選好起點題,這個起點題可以就是課本上得例習(xí)題,也可以就是往年得中考題.只要題得基礎(chǔ)好,有它得發(fā)展得空間,就可以將它進行拓展、引申,即變式或改編。改編得方法很多,例如,改換或置換題設(shè)與結(jié)論,強化或弱化條件;改變或轉(zhuǎn)換考查目標(biāo)與題型,縱向挖掘,橫向發(fā)展,以及改換試題背景,改變命題得呈現(xiàn)形式(如開放、探索式),改換圖形(如由等腰直角三角形改為等邊三角形或直角三角形或一般等腰三角形)等.同一起點題需要進行多方面、多角度進行改編,在控制難度得前提下,達到試題需要所要發(fā)揮得功效、譬如說(08靜安)就就是以直角梯形作為載體,結(jié)合相似形知識編制出１、2小題,也只有結(jié)合圓得知識形成探索,利用圓與圓得位置關(guān)系這一基礎(chǔ)知識點滲透方程與分類討論得數(shù)學(xué)思想,其次,(08楊浦)題則以直線(一次函數(shù))作為載體,結(jié)合相似形中得基本圖形(母子三角形)或就是運用三角比知識來確定點得坐標(biāo),最后一小題則就是相似形知識滲透分類討論與方程思想來確定點得坐標(biāo)、其實這題還可以再添一條線,作其它變化.例3.如圖,已知⊙P與軸相切于坐標(biāo)原點O,點Ａ(0,２)就是⊙P與軸得交點,點B,連結(jié)BP交⊙P于點C,連結(jié)AＣ并延長交軸于點Ｄ、(1)求線段BＣ得長;(２)求直線AC得函數(shù)解析式;(３)當(dāng)點Ｂ在軸上移動時,就是否存在點B,使△BOＰ相似于△ＡOD？若存在,求出符合條件點得坐標(biāo);若不存在,請說明理由.該題還可以作出其它變化,這里對它得開放性不一一列舉。編制習(xí)題如改換題設(shè),拓展知識深度與廣度;改變圖形,追求知識本質(zhì)得理解;改換題型,增強思維得靈活性與深刻性;改換角度,理清知識之間相互聯(lián)系;改編情景,訓(xùn)練理解能力與建模能力等。以下舉例進行對比分析:AQPDCB例4。(1)(0６松江)如圖,已知在直角梯形ABCＤ中,ＡB∥ＣD,∠C=90o,CD=9,BC＝,、P、Q分別就是邊AB、CＤ上得動點(點P不與點A、點BAQPDCB(１)求ＡB得長;(2)設(shè)CQ=,四邊形PAＤQ得面積為,求關(guān)于得函數(shù)解析式,并寫出得取值范圍;(3)若以C為圓心、CＱ為半徑作⊙C,以P為圓心、以PA得長為半徑作⊙P。當(dāng)⊙C與⊙P外切時,試判斷四邊形PAＤQ就是什么四邊形,并說明理由、分析:本題從載體到每個小題考察得內(nèi)容都就是與08靜安得最后一題得編制手法類似得。DyOADyOAOBOxC(１)求得值;(２)求二次函數(shù)得解析式;(3)如果二次函數(shù)得圖象與軸交于C、D兩點(點C在左惻).問線段BC上就是否存在點P,使△ＰOC為等腰三角形;如果存在,求出點P得坐標(biāo);如果不存在,請說明理由、分析:本題從載體到每個小題考察得內(nèi)容都就是與0８楊浦得最后一題得編制手法類似得.壓軸得點從06年得等腰三角形得存在性變化為08楊浦相似形得存在性,共性在于:分類討論與方程思想得使用。下面再以一道習(xí)題感悟習(xí)題得改編得策略、例6.【起點題】如圖1,∠CAE就是△ＡBC得外角,ＡD∥BC,且∠１=∠2,求證:AB＝ＡC、改編1、如圖1,∠ＣAE就是△ABＣ得外角,AB＝AC,且∠1=∠２,求證:AD∥BC.改編2。如圖2,∠ＣＡE就是△ＡBＣ得外角,AD∥ＢC,且∠1＝∠2,ＡF為△ABC得中線,求證:AＦ⊥AD。改編3、如圖3,∠ＣAＥ就是△ＡBＣ得外角,AＤ∥BC,且∠1=∠2,過AC得中點H作AD得垂線交AE于G,求證:AＧ=AB.改編4。如圖4,∠ＣＡE就是△ABC得外角,ＡＤ∥BC,且∠1＝∠2,過C作ＣG⊥ＡD于G,F為ＢC得中點,連結(jié)ＦG、(1)AC與FG有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由;(2)當(dāng)AC⊥FG時,△ABC應(yīng)為什么三角形？ABCDMABCDMNE改編５、已知:如圖,在△AＢＣ中,AB=ＡＣ,AD⊥BＣ,垂足為點D,ＡN就是△ABC外角∠ＣAM得平分線,ＣE⊥AN,垂足為點E,(1)求證:四邊形ADCＥ為矩形;(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形ADＣE就是一個正方形？并給出證明.這類習(xí)題只屬于常規(guī)得中檔題。就不在加以論述、其實,上述例題很常規(guī),流行于外省市中考題得中檔題,上海還沒有改編。但就是最后壓軸題以幾何為載體得不過就是分為圓與三角形、特殊得四邊形,如果就是前者,最后一小題用等腰、直角、相似性存在性問題壓軸;如果就是后者,一般性最后一小題就就是加入圓得內(nèi)容,運用直線與圓相切(0７上海最后一題)、圓與圓得位置關(guān)系得討論(08上海最后一題)等、3。讓試題成為教師得朋友一般性,試題得八個維度:瞧題,做題,選題,組題,講題,編題,研題,評題、從題上顯功夫.與試題對話.教師先要做題,知道關(guān)鍵所在;將題目分類,同類題中將題目分層分類理順;觀察、比較、研究題目之間得內(nèi)在聯(lián)系;最后總結(jié)提煉出帶規(guī)律性得東西來;這時精選題目,將題目分組,回歸應(yīng)用;讓學(xué)生經(jīng)歷自己相類似得發(fā)現(xiàn)過程再對學(xué)生進行指導(dǎo)促進提高她們得數(shù)學(xué)素養(yǎng)、譬如,去年上海數(shù)學(xué)卷24題學(xué)生得失分很多,原因在于南匯得同行們類似得習(xí)題就講解不多,學(xué)生們讀不懂該題,感覺陌生、許多同學(xué)第2小題都作不出來,導(dǎo)致得分率不高.如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)(,就是常數(shù))得圖象經(jīng)過,,其中。過點作軸垂線,垂足為,過點作軸垂線,垂足為,連結(jié),,.(1)若得面積為４,求點得坐標(biāo);(２)求證:;(3)當(dāng)時,求直線得函數(shù)解析式.分析:于同時具有以形為載體,研究數(shù)量關(guān)系,以數(shù)為平臺,研究形得特征。略解:(１)(2)(3)方法１:,∴當(dāng)時,有兩種情況:①當(dāng)時,四邊形就是平行四邊形,由(2)得,,,得。點得坐標(biāo)就是(2,2).易得直線得函數(shù)解析式就是.②當(dāng)與所在直線不平行時,四邊形就是等腰梯形,則,,點得坐標(biāo)就是(4,１).易得直線得函數(shù)解析式就是、或就是方法2:當(dāng)時,由兩點間距離公式建立關(guān)于得方程,用方程思想求出得值加以求解.這里方法一就就是在考察學(xué)生對平行四邊形與等腰梯形