平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)的幾何變換與應(yīng)用

平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)的幾何變換與應(yīng)用平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)的幾何變換與應(yīng)用1.平移的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移。2.平移的性質(zhì)：（1）平移不改變圖形的形狀和大小；（2）平移不改變圖形的位置；（3）平移過(guò)程中，圖形上的任意兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段都平行且相等。3.平移的應(yīng)用：（1）在實(shí)際生活中，如開(kāi)窗、拉抽屜等都是平移的應(yīng)用；（2）在數(shù)學(xué)中，解幾何問(wèn)題時(shí)，通過(guò)平移將問(wèn)題簡(jiǎn)化。1.旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)。2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大??；（2）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的位置；（3）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形上的任意兩點(diǎn)關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段都相等。3.旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用：（1）在實(shí)際生活中，如開(kāi)鎖、蕩秋千等都是旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用；（2）在數(shù)學(xué)中，解幾何問(wèn)題時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將問(wèn)題簡(jiǎn)化。1.翻轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著某一條直線或點(diǎn)進(jìn)行180度旋轉(zhuǎn)的圖形變換稱(chēng)為翻轉(zhuǎn)。2.翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）翻轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大??；（2）翻轉(zhuǎn)不改變圖形的位置；（3）翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形上的任意兩點(diǎn)關(guān)于翻轉(zhuǎn)軸對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段都相等。3.翻轉(zhuǎn)的應(yīng)用：（1）在實(shí)際生活中，如鏡子、折紙等都是翻轉(zhuǎn)的應(yīng)用；（2）在數(shù)學(xué)中，解幾何問(wèn)題時(shí)，通過(guò)翻轉(zhuǎn)將問(wèn)題簡(jiǎn)化。四、綜合應(yīng)用1.平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：（1）建筑設(shè)計(jì)中的樓層布局；（2）機(jī)器人運(yùn)動(dòng)；（3）電影特效制作。2.平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：（1）解幾何問(wèn)題時(shí)，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)將問(wèn)題簡(jiǎn)化；（2）在坐標(biāo)系中，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)研究函數(shù)的性質(zhì)。3.平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)在藝術(shù)創(chuàng)作中的應(yīng)用：（1）繪畫(huà)中的構(gòu)圖；（2）舞蹈編排；（3）雕塑創(chuàng)作。通過(guò)以上知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以了解平移、旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，從而更好地解決實(shí)際問(wèn)題和幾何題目，提高空間想象力。習(xí)題及方法：習(xí)題1：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形沿x軸向右平移3cm，求平移后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：平移后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2)。解題思路：根據(jù)平移的性質(zhì)，圖形上的任意一點(diǎn)平移后的坐標(biāo)等于原坐標(biāo)加上平移向量。本題中，平移向量為(3,0)，所以平移后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2+3,2)=(5,2)。習(xí)題2：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形沿y軸向上平移4cm，求平移后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：平移后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6)。解題思路：根據(jù)平移的性質(zhì)，圖形上的任意一點(diǎn)平移后的坐標(biāo)等于原坐標(biāo)加上平移向量。本題中，平移向量為(0,4)，所以平移后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2+4)=(2,6)。習(xí)題3：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形繞著其中心點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，求旋轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：旋轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)。解題思路：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形上的任意一點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)等于原坐標(biāo)減去旋轉(zhuǎn)中心到原點(diǎn)的距離乘以旋轉(zhuǎn)矩陣的對(duì)應(yīng)元素。本題中，旋轉(zhuǎn)中心為正方形中心點(diǎn)(1,1)，旋轉(zhuǎn)矩陣為：所以旋轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為：2*1-2*1=02*1+2*1=4即(0,4)，但題目要求逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以實(shí)際答案為(2,-2)。習(xí)題4：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形繞著其中心點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度，求旋轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：旋轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2)。解題思路：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形上的任意一點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)等于原坐標(biāo)減去旋轉(zhuǎn)中心到原點(diǎn)的距離乘以旋轉(zhuǎn)矩陣的對(duì)應(yīng)元素。本題中，旋轉(zhuǎn)中心為正方形中心點(diǎn)(1,1)，旋轉(zhuǎn)矩陣為：所以旋轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為：2*(-1)-2*1=-42*(-1)+2*1=-2即(-4,-2)，但題目要求順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以實(shí)際答案為(-2,-2)。習(xí)題5：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形沿x軸翻轉(zhuǎn)，求翻轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：翻轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2)、(-2,-2)、(2,2)、(2,-2)。解題思路：根據(jù)翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形上的任意一點(diǎn)翻轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)等于原坐標(biāo)關(guān)于翻轉(zhuǎn)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。本題中，翻轉(zhuǎn)軸為x軸，所以正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為翻轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)。習(xí)題6：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形沿y軸翻轉(zhuǎn)，求翻轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：翻轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6)、(-2,6)、(2,-6)、(-2,-6)。解題思路：根據(jù)翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形上的任意一點(diǎn)翻轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)等于原坐標(biāo)關(guān)于翻轉(zhuǎn)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。本題中，翻轉(zhuǎn)軸為y軸，所以正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為翻轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)。習(xí)題7：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形繞著其中心點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，然后沿x軸翻轉(zhuǎn)，求翻轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：翻轉(zhuǎn)后的正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2)、(-2,2)、(2,-2)、(2,2)。解題思路：首先，將正方形繞中心點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)、(-2,-2)、其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：1.軸對(duì)稱(chēng)的定義：在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，對(duì)折后的兩部分能夠完全重合，這樣的圖形稱(chēng)為軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)軸。2.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圖形上；（2）對(duì)稱(chēng)軸是圖形的對(duì)稱(chēng)中心，將圖形分成兩個(gè)完全相同的部分。習(xí)題8：判斷一個(gè)等邊三角形是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形，并找出其對(duì)稱(chēng)軸。答案：等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸為三條高的交點(diǎn)。解題思路：等邊三角形的三條高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)即為對(duì)稱(chēng)中心，所以等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸為三條高的交點(diǎn)。習(xí)題9：判斷一個(gè)矩形是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形，并找出其對(duì)稱(chēng)軸。答案：矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸為連接對(duì)邊中點(diǎn)的直線。解題思路：矩形的對(duì)邊中點(diǎn)連線即為對(duì)稱(chēng)中心，所以矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸為連接對(duì)邊中點(diǎn)的直線。二、中心對(duì)稱(chēng)1.中心對(duì)稱(chēng)的定義：在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)還在圖形上，這樣的圖形稱(chēng)為中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)中心。2.中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：（1）中心對(duì)稱(chēng)圖形上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圖形上；（2）對(duì)稱(chēng)中心是圖形的對(duì)稱(chēng)中心，將圖形上的每個(gè)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心的連線平分。習(xí)題10：判斷一個(gè)圓是否為中心對(duì)稱(chēng)圖形，并找出其對(duì)稱(chēng)中心。答案：圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為圓心。解題思路：圓的每個(gè)點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓上，所以圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為圓心。習(xí)題11：判斷一個(gè)正方形是否為中心對(duì)稱(chēng)圖形，并找出其對(duì)稱(chēng)中心。答案：正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為正方形的中心點(diǎn)。解題思路：正方形的每個(gè)點(diǎn)關(guān)于中心點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在正方形上，所以正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為正方形的中心點(diǎn)。1.相似的定義：在平面內(nèi)，如果兩個(gè)圖形的形狀相同但大小不同，那么這兩個(gè)圖形稱(chēng)為相似圖形。2.相似的性質(zhì)：（1）相似圖形的對(duì)應(yīng)角度相等；（2）相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例。習(xí)題12：判斷兩個(gè)矩形是否相似。答案：如果兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)矩形相似。解題思路：根據(jù)相似的定義，判斷兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例，如果成比例，則這兩個(gè)矩形相似。習(xí)題13：判斷兩個(gè)等邊三角形是否相似。答案：兩個(gè)等邊三角形相似。解題思路：根據(jù)相似的定義，判斷兩個(gè)等邊三角形的對(duì)應(yīng)角度是否相等，對(duì)應(yīng)邊是否成比例，由于等邊三角形的所有角都相等，所以?xún)蓚€(gè)等邊三角形相似。四、坐標(biāo)系中的幾何變換1.坐標(biāo)系中的平移：在坐標(biāo)系中，將一個(gè)點(diǎn)(x,y)沿x軸平移a個(gè)單位，沿y軸平移b個(gè)單位，得到新的點(diǎn)坐標(biāo)為(x+a,y+b)。2.坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)：在坐標(biāo)系中，將一個(gè)點(diǎn)(x,y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ度，得到新的點(diǎn)坐標(biāo)為(x*cosθ-y*sinθ,x*sinθ+y*cosθ)。習(xí)題14：將點(diǎn)(2,3)沿x軸向右平移3個(gè)單位，沿y軸向上平移4個(gè)單位，求平移后的點(diǎn)坐