新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)15余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例新人教A版必修第二冊

課時分層作業(yè)(十五)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例一、選擇題1．已知海上A，B兩個小島相距10海里，C島接近陸地，若從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B島與C島之間的距離是()A．103海里 B．106C．52海里 D．56海里2．一艘船向正北方向航行，望見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，接著航行半小時后，望見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是()A．52海里/時 B．5海里/時C．102海里/時 D．10海里/時3．如圖，航空測量的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s．某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m4．(多選)如圖，某校測繪愛好小組為測量河對岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D(B，C，D不在同始終線上)，測得CD＝s．測繪愛好小組利用測角儀可測得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則依據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC二、填空題5．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長________千米．6．已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如圖)．若A船的航行速度為40nmile/h，1h后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時A，B兩船相距________nmile．三、解答題7．如圖，一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛，到A處時測得馬路北側(cè)遠處一山頂D在西偏北45°的方向上，仰角為30°，行駛4km后到達B處，測得此山頂在西偏北60°的方向上．(1)求此山的高度(單位：km)；(2)設(shè)汽車行駛過程中仰視山頂D的最大仰角為θ，求tanθ．8．如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走am到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h＝()A．22amB．a(chǎn)2mC．32amD9．一次機器人足球競賽中，甲隊1號機器人由點A起先做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)覺足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，如圖所示，已知AB＝42dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽視機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則該機器人最快可在距A點________dm的C處截住足球．10．某省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測量試點工作，用上了無人機．為了測量兩山頂M，N間的距離，無人機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖)，無人機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出須要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟．課時分層作業(yè)(十五)1．D[如圖所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里．由正弦定理，得10sin45°所以BC＝56(海里)．]2．D[如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以這艘船的速度是10海里/時．故選D．]3．B[如圖，設(shè)飛機的初始位置為點A，經(jīng)過420s后的位置為點B，山頂為點C，作CD⊥AB于點D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000，由正弦定理得ABsin∠ACB則BC＝2100012×sin15°＝10500(6-2)，因為所以CD＝BCsin45°＝10500(6-2)×22＝10500(3－1)所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10000－7350＝2650(m)．故選B．]4．ACD[解一個三角形，須要知道三個條件，且至少一個為邊長．對于A,在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解這個三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值；對于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，無法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，無法解出此三角形，也無法通過其他三角形求出它的其他幾何元素，所以它不能計算出塔AB的高度；對于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值；對于D，如圖，過點B作BE⊥CD，連接AE．由于cos∠ACB＝CBAC，cos∠BCD＝CEBC，cos∠ACE＝所以cos∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值．故選ACD．]5．2[如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．在△ABC中，ABsinC＝∴AC＝AB·sin∠ABCsinC＝1×6．202[由題意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，由正弦定理得ABsin∠BCAABsin30°＝40sin135°7．解(1)設(shè)此山高h(km)，則AC＝htan在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4．依據(jù)正弦定理得ACsin∠ABC＝ABsin∠BCA，即hsin120°(2)由題意可知，當(dāng)點C到馬路距離最小時，仰視山頂D的仰角達到最大，所以過C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE．則∠DEC＝θ，CE＝AC·sin45°，DC＝AC·tan30°，所以tanθ＝DCCE＝68．A[由題意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝am，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴asin30°＝PBsin15°，∴PB＝6-22am，∴h＝PC＋CQ＝6-229．7[設(shè)BC＝xdm，由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm．在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝373∴AC＝17－2x＝7(dm)或－233(dm)(舍去)∴該機器人最快可在線段AD上距A點7dm的點C處截住足球．]10．解方案一：①須要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角1，β1；B點到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d．②第一步：計算AM．由正弦定理得AM＝dsin其次步：計