8.5空間直線平面的平行5題型分類

8.5空間直線、平面的平行5題型分類一、平行線的傳遞性文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c作用證明兩條直線平行二、空間等角定理1.定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補(bǔ)2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.三、直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語言四、直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言五、平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))?α∥β圖形語言六、兩個平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言（一）平行線傳遞性的應(yīng)用空間直線平行的傳遞性，解題時首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.題型1：平行線傳遞性的應(yīng)用11．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點，且，求證：直線EH與直線FG平行．【答案】證明見詳解【分析】根據(jù)三角形中位線、平行線等分性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性分析證明,【詳解】∵E、H分別是AB、AD的中點，則，又∵F、G分別是BC、CD上的點，且，則，∴，故直線EH與直線FG平行．12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．【答案】證明見解析【分析】連接AC，利用正方體的性質(zhì)，得到四邊形AA′C′C為平行四邊形，再結(jié)合M，N分別是CD，AD的中點，得到MN∥A′C′且MN=A′C′證明.【詳解】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．13．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點，試判斷直線MN與直線EF是否平行．【答案】平行【分析】根據(jù)給定條件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判斷作答.【詳解】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，則有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．（二）直線與平面平行的判定利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行線的傳遞性等.題型2：直線與平面平行的判定21．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．求證：∥平面.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意先證∥平面，∥平面，可得平面∥平面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理分析證明.【詳解】由題意可得∥，且平面，平面，可得∥平面；因為∥且，可知四邊形為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面；且，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面．22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】取的中點，連接、、，易證四邊形為平行四邊形，得到，從而得到平面，同理得到平面，然后利用面面平行的判定定理得到平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理證明.【詳解】證明：如圖所示：

取的中點，連接、、，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以且，因為為的中點，所以且，因為、分別為、的中點，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為、分別為、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，、平面，所以平面平面，因為平面，故平面．23．（2024高三·遼寧大連·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點.(1)求三棱錐的體積；(2)證明：平面.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用條件可得，結(jié)合棱錐的體積公式即求；（2）取的中點，可證四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即證.【詳解】（1）證明：設(shè)與的交點為，因為底面是邊長為的菱形，所以，且，因為，所以，在中，，故，所以.因為平面，所以為三棱錐的高，所以三棱錐的體積.（2）取的中點，連接、，因為為的中點，所以且，又因為為的中點，四邊形為菱形，所以且.所以且.故四邊形為平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.（三）直線與平面平行的性質(zhì)線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得線線平行.題型3：直線與平面平行的性質(zhì)31．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，為線段的中點，平面與棱相交于點.求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理得出結(jié)果.【詳解】因為為線段的中點，所以．又因為，所以．在梯形中，，所以四邊形為平行四邊形．所以．又因為平面，且平面，所以平面．因為平面，平面平面，所以．32．（2024高一·全國·隨堂練習(xí)）木工小羅在處理如圖所示的一塊木料時，發(fā)現(xiàn)該木料表面內(nèi)有一裂紋，已知平行于平面AC．他打算經(jīng)過點M和棱將木料鋸開，卻不知如何畫線，你能幫助他解決這個問題嗎？

【答案】就是所要畫的線【分析】直接利用線面平行的性質(zhì)定理可得線線平行，從而可得結(jié)果.【詳解】

由于//平面平面，平面平面，所以，如圖，過平面上一點作，所以，所以四點共面，連接和，則就是所要畫的線.33．（2024高一·全國·課堂例題）如圖，點A，B分別位于異面直線a，b上，過AB中點O的平面與a，b都平行，M，N分別是a，b上異于A，B的另外兩點，MN與交于點P．求證：P是MN的中點．

【答案】證明見解析.【分析】利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線的判定推理即得.【詳解】連接AN，設(shè)它與平面交于點Q，連接OQ，PQ，因為OQ是平面與的交線，平面，，于是，同理，在中，O是AB的中點，，則Q是AN的中點，又因為，所以點P是MN的中點．34．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線面平行判定定理證明平面，然后再由線面平行的性質(zhì)定理可證.【詳解】證明：∵平面平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.（四）平面與平面平行的判定兩個平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法.解答問題時一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行.題型4：平面與平面平行的判定41．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，三條直線、、不共面，但交于一點，若，，，那么平面和平面的位置關(guān)系是．【答案】平行【分析】根據(jù)線線平行即可判斷面面平行.【詳解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,故答案為：平行42．（2024高一下·遼寧阜新·期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：(1)E、F、D、B四點共面(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意證明，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明.【詳解】（1）證明：分別是、的中點，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，.，即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.（2）（2）M、N分別是、的中點，.又平面，平面，平面.連接，如圖所示，則，.四邊形是平行四邊形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.43．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖平面，是矩形，，，點是的中點，點是邊上的任意一點．當(dāng)是的中點時，線段上是否存在點，使得平面平面，若存在指出點位置并證明，若不存在說明理由．【答案】存在為中點使面面，理由見解析【分析】取的中點，連接，由面面平行的判定定理即可證明平面平面．【詳解】存在為中點，使得平面平面，理由如下：當(dāng)為中點，連接，又是的中點，是的中點，所以，，而平面，平面，所以平面，同理可證面，又，即平面平面，綜上，為中點時平面平面．44．（2024高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點，是上一點且平面

(1)證明：為的中點；(2)在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，請給出點的位置，并證明，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為中點【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得為的中點.（2）通過證明面面平行的方法來確定點的位置.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又底面為平行四邊形，所以為的中點，所以為的中點．（2）存在，為中點時，平面平面，因為為中點，為的中點，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于，平面，所以平面平面.

（五）平面與平面平行的性質(zhì)利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條.(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出).(3)再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上.(4)由定理得出結(jié)論.題型5：平面與平面平行的性質(zhì)51．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)四棱柱性質(zhì)可證明平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明.【詳解】由四棱柱可知，，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，平面，平面；所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以.52．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，平面ADE，．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，先證明平面平面，進(jìn)而利用面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案.【詳解】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．53．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點共面，，．求證：.【答案】證明見解析【分析】由面面平行的性質(zhì)得到線線平行.【詳解】因為平面平面，四點共面，且平面平面，平面平面，所以．54．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.點在線段上，且平面，試確定點的位置.【答案】點為線段上靠近點的三等分點【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合面面平行、線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷證明即可.【詳解】點為線段上靠近點的三等分點，證明如下：在取點，連接，，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點為線段上靠近點的三等分點.一、單選題1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【答案】C【分析】連接AD1，CD1，AC，根據(jù)E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點，由三角形的中位線定理和平行關(guān)系的傳遞性判斷.【詳解】如圖，

連接AD1，CD1，AC，因為E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點，由三角形的中位線定理知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故選：C2．（2024高三上·寧夏·期中）若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關(guān)系是（

）A． B．與相交C． D．以上三種情況都有可能【答案】D【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系可判斷結(jié)果.【詳解】在長方體中，平面視為平面，直線為直線a，點E，F(xiàn)分別為棱的中點，如圖，顯然有平面，當(dāng)直線b為直線時，直線是異面直線，此時；因，平面，平面，則，當(dāng)直線b為直線時，直線是異面直線，此時；當(dāng)直線b為直線時，直線是異面直線，此時與相交，所以直線b與平面可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi).故選：D.3．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）如圖，四面體中，分別為的中點．則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B．C．平面 D．平面【答案】D【分析】是中點，利用中位線性質(zhì)平移相關(guān)線段，將、轉(zhuǎn)化為、，根據(jù)四面體側(cè)面形狀不定判斷A、B；利用線面平行的判定及平面的基本性質(zhì)判斷C、D.【詳解】由題設(shè)，若，即，由于四面體各側(cè)面形狀不定，不一定成立，故A錯；若是中點，連接，則，若，即，同上，各側(cè)面形狀不定，不一定成立，故B錯；

若是中點，連接，則，而面，面，所以面，顯然面與面不是同一平面，且面面，所以平面不成立，C錯；由題意，面，面，所以平面，D對.故選：D4．（2024高一上·陜西渭南·期末）下列選項中，能判定平面和平面平行的是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線都與平行 B．內(nèi)的任意一條直線都與平行C．與垂直于同一平面 D．與平行于同一直線【答案】B【分析】利用面面平行的判定直接判斷即可．【詳解】對于A中，當(dāng)內(nèi)有無數(shù)條直線都與平行，平面與平面可能平行，也可能時相交的，所以A不正確；對于B中，若平面內(nèi)的任何一條直線都與平行，則平面內(nèi)必存在兩條相交直線和平面平行，根據(jù)面面平行的判定定理，可得，所以B正確；對于C中，垂直于同一平面的兩個平面不一定平行，還可以相交，所以C不正確；對于D中，平行于同一條直線的兩個平面可能不平行，還可以相交.故選：B.5．（2024高一下·福建福州·期末）已知直線m，n和平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（

）A．，， B．，C．，，， D．，【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與平面，平面與平面的關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由直線和，若，，，則與相交或平行，故A不正確；若，，則與相交或平行，故B不正確，若，，，，由于不一定相交，所以與相交或平行，故C不正確；若，，則垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，即，故D正確；故選：D．6．（2024高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】連接CD，交PE于點G，連接FG，由線面平行性質(zhì)證明，再利用重心性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，連接CD，交PE于點G，連接FG，

因為平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，所以G是的重心，所以.故選：C.7．（2024高一下·遼寧錦州·階段練習(xí)）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，由線面平行的性質(zhì)定理可得，再借助比例式可得答案.【詳解】如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點，也是BD中點，而點Q是AD中點，于是得點N是重心，從而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于是得，所以.故選：C.

8．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知正方體的棱長為1，點是平面的中心，點是平面的對角線上一點，且平面，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理及三角形的中位線定理，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】連接，，則過點.如圖所示∵平面，平面平面，平面，∴，∵，∴.故選：B.9．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）在正六棱柱任意兩個頂點的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】作出幾何體的直觀圖觀察即可.【詳解】解：連接CF，C1F1，與棱AB平行的有，共有5條，故選：D.

10．（2024高二下·陜西榆林·期末）設(shè)是兩條直線，是兩個平面，若，，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C．是兩條異面直線 D．【答案】B【分析】ACD可舉出反例，D選項，可根據(jù)面面平行得到線面平行.【詳解】ACD選項，如圖1和圖2，，，則或是兩條異面直線，故ACD錯誤.B選項，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，故B正確；故選：B11．（2024高三上·山東濱州·期末）平面與平面平行的充要條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．內(nèi)有兩條相交直線都與平行【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的判定定理逐項判斷即可.【詳解】對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，可得與相交或；對于B，與垂直于同一個平面，可得與相交或；對于C，與平行于同一條直線，可得與相交或；對于D，內(nèi)有兩條相交直線平行于，結(jié)合面面平行的判定定理可得，故選：D．12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，空間四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，則四邊形是（

）

A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形【答案】B【分析】利用中位線定理和平行四邊形判定定理分析判斷【詳解】因為E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，所以∥，，∥，，所以∥且，可知四邊形為平行四邊形故選：B13．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知，，，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】根據(jù)等角定理，即可得到結(jié)論.【詳解】的兩邊與的兩邊分別平行，根據(jù)等角定理易知或.故選：B.【點睛】本題考查等角定理，屬基礎(chǔ)題.14．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知為所在平面外一點，平面平面，且交線段，，于點，若，則（

）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，，且，，進(jìn)而根據(jù)等角定理可得，，，即可得出答案.【詳解】由已知可得，平面平面，平面，平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，，且.同理可得，，.根據(jù)等角定理可得，，，，所以，.所以，.故選：D.15．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定【答案】A【分析】由平行直線的傳遞性可得答案.【詳解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故選：A.16．（2024高三上·河北衡水·期末）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】利用線面平行的判定方法逐個分析判斷即可．【詳解】對于A，如圖，連接，則，

因為，分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，所以，因為平面，平面，所以平面；對于B，如圖連接，

因為，分別為，的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面；對于C，如圖，連接，則，

因為，分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，所以，因為平面，平面，所以平面，對于D，如圖取底面中心，連接，

由于為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，因為與平面相交，所以與平面相交，故選：D．17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知在棱長均為的正三棱柱中，點為的中點，若在棱上存在一點，使得平面，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點為的中點，取的中點，連接，，然后證明平面即可.【詳解】如圖，設(shè)點為的中點，取的中點，連接，，

則，又平面，平面，∴平面，易知，故平面與平面是同一個平面，∴平面，此時，故選：B18．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）在空間中，直線平面的一個充要條件是（

）A．內(nèi)有一條直線與平行 B．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行C．任意一條與垂直的直線都垂直于 D．存在一個與平行的平面經(jīng)過【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可結(jié)合選項求解.【詳解】對于A，B，C，直線都可能在內(nèi)，故選:D．19．（2024高三上·湖南湘潭·開學(xué)考試）已知直三棱柱的側(cè)棱和底面邊長均為分別是棱上的點，且，當(dāng)平面時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作交于，利用線面平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形，，即得.【詳解】過作交于，連接，因為，∴，故共面,因為平面，平面平面，平面，所以，又,∴四邊形為平行四邊形，又，∴，所以.故選：B．20．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，上，，G在上且平面平面，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，F(xiàn)G，利用面面平行、線面平行的性質(zhì)證明線線平行，再結(jié)合平行線分線段成比例定理求解作答.【詳解】在四棱柱中，連接，F(xiàn)G，如圖，

因為平面平面，平面平面，平面平面，則，于是，平面平面，而平面，則平面，在平面內(nèi)存在與不重合的直線，又平面平面，平面，則平面AEF，在平面AEF內(nèi)存在與不重合直線，從而，平面AEF，平面AEF，則平面AEF，又平面，平面平面，因此，BG，AF可確定平面，因為平面平面，平面平面，平面平面，于是，即有，所以.故選：B二、多選題21．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，過EF的平面截三棱錐得到的截面為，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）

A． B．C．平面 D．平面【答案】ABC【分析】根據(jù)中位線得到，證得平面，再結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，可判定A，B一定成立；由，結(jié)合線面平行的判定定理，證得平面，可判定C一定成立；根據(jù)位置不確定，可判定D不一定成立.【詳解】對于A、B中，因為分別為的中點，所以是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，所以，所以，故A，B一定成立；對于C中，因為，平面ABD，平面，所以平面，故C一定成立；對于D中，因為的位置不確定，所以與平面有可能相交，所以D不一定成立.故選：ABC.22．（2024高一下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（

）

A． B．平面C． D．點B，D到平面的距離不相等．【答案】BC【分析】由平行線分線段成比例可判斷A；由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；由線線平行和垂直的性質(zhì)可判斷C；由線面平行性質(zhì)可判斷D.【詳解】在四面體中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面又平面，而平面平面,可得又平面,面，則平面,故B正確；同樣可得平面,所以點B，D到平面的距離相等，故D錯誤；由,可得,故C正確；由,且,但不一定與相等,故,不一定相等,故A錯誤.故選：BC23．（2024高一下·江蘇鹽城·期中）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點，則（

）

A．直線與直線AF異面 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面是平行四邊形 D．點C和點B到平面的距離相等【答案】ABD【分析】由圖可知直線與直線AF異面，利用面面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)可證明平面；將平面擴(kuò)大至與相交于點，即可得截面為等腰梯形，顯然平面將線段平分，所以C和B到平面的距離相等.【詳解】對于選項A，由圖可知AF與顯然不平行，且不相交，所以AF與異面，選項A正確；對于選項B，取的中點為M，連接、，如下圖所示：

易知，且平面，平面，所以平面，又易知，，因此，平面，平面，所以平面；，可得平面平面，又平面，從而平面，選項B正確；對于選項C，連接，，如下圖所示：

易知，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，選項C錯誤；對于選項D，平面過的中點E，即平面將線段平分，所以C與B到平面的距離相等，選項D正確.故選：ABD.24．（2024高三上·湖南衡陽·期末）若三個不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（

）A．重合 B．相交于一點 C．兩兩平行 D．恰有兩條交線平行【答案】ABC【分析】構(gòu)造長方體模型，選擇其中的若干平面作為平面，即可依次判斷即得.【詳解】如圖，作出一個長方體.對于A項，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項正確；對于B項，可把平面依次取為平面，此時，,,,而易得三條交線交于同一點D，故B項正確；對于C項，可把平面依次取為平面,此時，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；對于D項，可把平面依次取為平面,此時，,,,若只有,因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.故選：ABC.25．（2024高三上·江西南昌·開學(xué)考試）在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點或棱的中點，則MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A，B選項；假設(shè)平面面，利用線面平行的性質(zhì)定理結(jié)合平面內(nèi)過一點有且僅有一條直線和已知直線平行可判斷C，D選項.【詳解】對于A，設(shè)為的中點，底面為平行四邊形，連接，則，而，,故，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，A正確；對于B，設(shè)為的中點，底面為平行四邊形，連接，

則，而，,故，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，B正確；對于C，設(shè)為的中點，底面為平行四邊形，連接，

設(shè)交于，連接，則，而,故，即四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，平面平面，假設(shè)平面，則，即在平面內(nèi)過點有兩條直線和都平行，這是不可能的，故此時平面不成立，C錯誤；對于D，設(shè)底面為平行四邊形，連接交于點，交于，

則為的中點，連接，由于為的中點，故；又平面，平面，平面平面，假設(shè)平面，則，即在平面內(nèi)過點有兩條直線和都平行，這是不可能的，故此時平面不成立，D錯誤；故選：AB26．（2024高一下·重慶酉陽·階段練習(xí)）已知、是兩條互相平行的直線，是一個平面．若要使得，則需添加下列哪些條件（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由線面平行的判定定理即可得出答案.【詳解】由，所以需添加，.故選：AC.三、填空題27．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當(dāng)平面時，.

【答案】/【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，連結(jié)交于點，連結(jié).

因為，所以，因為平面，平面平面平面，所以，所以.故答案為：28．（2024高二上·上海閔行·期末）已知表示三個不同的平面，若，且，則直線，的位置關(guān)系是.【答案】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得答案.【詳解】由題意知，且，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，故答案為：29．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，寫出滿足條件的一個平面：（1）與平面平行的平面為；（2）與平面平行的平面為；（3）與平面平行的平面為．【答案】平面平面平面【分析】結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征和面面平行的判定定理即可判斷.【詳解】因為為長方體，所以平面∥平面，平面∥平面，同時∥，∥，又因為平面，平面，所以∥面，∥平面，因為，所以平面∥平面.故答案為：①平面；②平面；③平面.30．（2024高三上·上海浦東新·期中）如圖，四邊形是平行四邊形，是平面外一點，為上一點，若平面，則．

【答案】【分析】連接交于點，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明，即可得解.【詳解】連接交于點，連接，因為四邊形是平行四邊形，所以為的中點，因為平面，平面平面，平面，所以，所以為的中點，所以.故答案為：.31．（2024高一下·全國·單元測試）A是所在平面外一點，M是的重心，N是的中線AF上的點，并且平面BCD，當(dāng)時，．

【答案】4【分析】先根據(jù)線面平行性質(zhì)得出，再根據(jù)中位線從而求出，再由重心得到，計算求解即可.【詳解】因為平面，平面，平面平面.所以，M是的重心，N是的中線AF上的點，所以E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，N是的重心,所以，又因為M，N分別是和的重心，所以且,所以.故答案為：4.32．（2024高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，且，，，點為中點，若上存在一點使得平面，則長度為.【答案】【分析】連接，，，取中點，連接與交于，取中點，連接，則平面．證明，為的三等分點，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，連接，，，取中點，連接與交于，取中點，連接，則，平面，平面，平面．為中點，為中點，，為中點，為中點，，，四邊形是矩形，平面，，，故答案為：．【點睛】本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，還運用中位線性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)，確定，為的三等分點是關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．33．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知，，是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：①若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③若平面，平面，則，一定是異面直線；④若，與成等角，則．其中正確的說法是（填序號）．【答案】①【分析】根據(jù)平行公理可判斷①，在空間考慮兩直線都與第三條直線直線相交的所有可能情況可判斷②，考慮在兩個平面內(nèi)的兩條直線的所有位置關(guān)系可判斷③，兩條直線與第三條直線成等角，這兩條直線可相交可平行可異面判斷④.【詳解】由公理4知①正確；當(dāng)與相交，與相交時，與可能相交、平行，也可能異面，故②不正確；當(dāng)平面，平面時，與可能平行、相交或異面，故③不正確；當(dāng)，與成等角時，與可能相交、平行，也可能異面，故④不正確．故答案為：①【點睛】本題主要考查了空間中線與線的位置關(guān)系，考查了空間想象力，屬于中檔題.34．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是.【答案】平行【分析】由題設(shè)易知EF∥BC，根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征即可判斷EF與B1C1的位置關(guān)系.【詳解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，∴EF∥BC，三棱柱ABCA1B1C1中，有BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.故答案為：平行35．（2024高二·全國·課后作業(yè)）若直線，c，d為不重合的兩條直線，且，，則c與d的位置關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)平行線的傳遞性，排除重合情況即可得解.【詳解】因為且根據(jù)平行線的傳遞性知平行或重合，又因為，再次利用平行線的傳遞性知平行或重合，因為c，d為不重合的兩條直線所以.故答案為：.36．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊上的中點，則直線EG和FH的位置關(guān)系是．【答案】相交【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)結(jié)合線線位置關(guān)系分析判斷.【詳解】∵E、F、G、H分別是四邊上的中點，∴，即，同理可得：，故E、F、G、H四點共面，且為平行四邊形，則直線EG和FH的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.37．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱臺中，，E，F(xiàn)分別是的中點，點M在上，，若點N在平面內(nèi)，且平面，則點N的位置是．（寫出一種即可）【答案】N是線段上靠近點的三等分點（答案不唯一）【分析】當(dāng)時，連接，利用線面平行的判定定理可得答案.【詳解】當(dāng)時，連接，因為，所以，因為E，F(xiàn)分別為的中點，所以，從而，又平面平面，所以平面．故答案為：N是線段上靠近點的三等分點（答案不唯一）.38．（2024高一下·北京西城·期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點，點P在側(cè)面BCC1B1上運動，當(dāng)點P滿足條件時，A1P平面BCD(答案不唯一，填一個滿足題意的條件即可)【答案】P是CC1中點【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)，只需在側(cè)面BCC1B1上找到一點，A1P平面BCD上的任一條線即可，可以取A1PCD，此時P是CC1中點.【詳解】取CC1中點P，連結(jié)A1P，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點，點P在側(cè)面BCC1B1上運動，∴當(dāng)點P滿足條件P是CC1中點時，A1PCD，∵A1P?平面BCD，CD?平面BCD，∴當(dāng)點P滿足條件P是CC1中點時，A1P平面BCD故答案為：P是CC1中點.39．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為棱上的點，，且平面，則.【答案】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平行線分線段成比例等知識求得正確答案．【詳解】設(shè)，連接，由于平面，平面，平面平面，則，由于,,所以，所以．故答案為：．40．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）四棱錐中，底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為線段，上的點，，若平面，則.【答案】/【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平行線分線段成比例等知識求得正確答案.【詳解】設(shè)，連接交于，連接，，由于平面，平面，平面平面，則，由于是的中點，所以，過作，交于，則，由于，所以，所以.故答案為：

41．（2024高一下·湖北襄陽·階段練習(xí)）正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點，分別在和上，并且，平面，則線段的長為．【答案】/【分析】連接并延長與交于點，連接，證明，根據(jù)比例關(guān)系得到，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：連接并延長與交于點，連接，為中點，連接，，故，，平面，平面平面，平面，故，故，，故，，，故.故答案為：42．（2024高二下·河南·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是上底面內(nèi)一點（含邊界），若平面，則點的軌跡長為.【答案】【分析】由平行關(guān)系得出點軌跡后計算【詳解】如圖，取中點，中點，可知，，故平面平面，故點的軌跡為線段故答案為：43．（2024高二上·北京海淀·階段練習(xí)）在正方體中，，，分別是，，的中點.給出下列四個推斷：

①平面；②平面；③平面；④平面平面，其中推斷正確的序號是.【答案】①③【分析】由已知可得，由線面平行的判定定理可判斷①；由，與平面相交可判斷②；由，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③，由與平面相交可判斷④，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】對于①：因為在正方體中，，，分別是，，的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，故①正確；對于②：因為，與平面相交，所以與平面相交，故②錯誤；對于③：因為，，分別是，，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故③正確；對于④：與平面相交，所以平面與平面相交，故④錯誤.故答案為：①③.

44．（2024高二上·上海浦東新·期中）如圖，平面平面，所在的平面與，分別交于和，若，，，則.【答案】【分析】由面面平行的性質(zhì)定理得到，再利用相似比求AB的長度.【詳解】因為平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理得，所以，所以，即，解得，故答案為：.45．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α內(nèi)有不共線的三點到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判斷兩個平面α與β平行的條件有個．【答案】2【分析】舉反例否定①③，進(jìn)而得到可以判斷兩個平面α與β平行的條件為②④.【詳解】如圖取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α與β相交，不平行，故排除①；若存在平面γ，使α、β都平行于γ，則可以判斷兩個平面α與β平行.②是正確的；若α與β相交，如圖所示，,，且l與m，n兩直線等距離，則α內(nèi)不共線的三點A，B，C到β的距離相等.所以排除③；存在異面直線l，m，使得lα，lβ，mα，mβ.則可以判斷兩個平面α與β平行.④是正確的．故答案為：246．（2024高二上·上海黃浦·階段練習(xí)）下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形序號是．（寫出所有符合條件的序號）【答案】①②【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案.【詳解】對于①，如圖1.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.又，所以.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正確；對于②，如圖2，連結(jié).因為點M、P分別為其所在棱的中點，所以.又，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以平面，故②正確；對于③，如圖3，連結(jié)、、.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.顯然平面，平面，所以平面，且與平面不平行，所以與平面不平行，故③錯誤；對于④：如圖4，連接，因為為所在棱的中點，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，顯然不正確，故④錯誤.故答案為：①②.47．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是.【答案】平行【分析】根據(jù)線線平行，再證明線面平行，從而證明面面平行．【詳解】，，分別為，，的中點，

，，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又平面，平面，且，∴平面//平面DEF平面平面．故答案為：平行.48．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知S是等邊△ABC所在平面外一點，D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是．【答案】平行【分析】由題可得平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可得出結(jié)果.【詳解】∵分別是的中點，∴是的中位線，∴.又∵平面，平面，所以平面.同理平面.∵，所以平面平面.故答案為：平行.四、解答題49．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

【答案】證明見解析【分析】先證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理求解即可.【詳解】因為為菱形，所以平面平面，所以平面，又因為平面，且平面平面，所以．50．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，從平面外一點，引射線、、，在它們上面分別取點、、，使得．(1)畫出平面并判斷兩個平面的位置關(guān)系；(2)若點到平面的距離為2，求點到平面的距離．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線段對應(yīng)成比例可得線線平行，進(jìn)而可得面面平行，（2）根據(jù)比例即可求解.【詳解】（1）根據(jù)可知：平面，平面，則∥平面，同理可得∥平面，又，平面，則平面平面．（2）點到平面的距離為到平面的距離，即為．51．（2024高三上·江蘇連云港·期中）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)若平面平面，H為的中點，，，，求該幾何體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)用線面平行的性質(zhì)定理即可證得.(2)將體積分割，轉(zhuǎn)化為一個三棱柱和一個三棱錐求體積即可.【詳解】（1）證明：∵，而平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.（2）∵，，H為中點，∴.而，∴，∵平面平面.平面平面，平面，∴平面.過E分別作交于點I，交于點J，連接.∴.52．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

【答案】證明見解析【分析】先證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論.【詳解】因為在三棱柱中，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，.53．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點是的中點，點在上，平面與平面相交于直線，∥，證明：是的中點．【答案】證明見解析【分析】由線線平行證線面平行，再用性質(zhì)定理證明線線平行即可.【詳解】因為∥，平面，平面，所以∥平面.因為平面，平面平面，所以∥，又因為點是的中點，所以點是的中點.54．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知正方體，點E為中點，直線交平面于點F．求證：點F為中點．【答案】證明見解析【分析】先證明線面平行，然后利用線面平行的性質(zhì)得到，結(jié)合E為中點可證結(jié)論.【詳解】在正方體中，所以；因為平面，平面，所以平面；因為直線交平面于點F，所以平面，且平面平面，因為平面，平面，平面平面，所以，因為點E為中點，底面是正方形，所以F為中點.55．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱上的動點，點P在棱上，且，若平面PBD，求EF的長.

【答案】【分析】連接與交于點，連接，在棱上取，連接，，由平面PBD，證得四邊形QEFC是平行四邊形，在直角中，即可求解.【詳解】因為長方體的底面ABCD是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，所以，，如圖所示，連接與交于點，連接，在棱上取，連接，，則，且，因為平面PBD，且平面，平面平面，所以，所以，又因為，所以四邊形QEFC是平行四邊形，所以，在直角中，，，所以，所以.

56．（2024高二·全國·課后作業(yè)）如圖，是棱長為正方體的棱上的一點，且平面，求線段的長．【答案】【分析】連接，交于點，由線面平行的性質(zhì)可得，知為中點，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】連接，交于點，連接，則為的中點．平面，平面，平面平面，，又為中點，為中點，，則在中，.57．（2024高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．

(1)證明：直線平面；(2)若該四棱柱的體積為，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）計算出梯形的面積，利用柱體的體積可求得的長.【詳解】（1）證明：在直四棱柱中，，因為平面，平面，所以，平面，因為，平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，因此，平面.（2）解：因為，，，，，所以，，所以，，解得.58．（2024高一·浙江杭州·期末）如圖，點S是所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且．求證：平面．

【答案】證明過程見解析【分析】作出輔助線，得到線線平行，進(jìn)而證明出線面平行，面面平行，從而證明出線面平行.【詳解】在上取，使得，則，因為平面，平面，所以平面，因為，所以，則，又中，，故，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面，，所以平面平面，因為平面，所以平面.

59．（2024高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.(1)證明：平面；(2)設(shè)，，求點D到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助線面平行的判定定理即可得；（2）借助等體積法與體積公式計算即可得.【詳解】（1）連接，交于點O，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點，又∵E為的中點，∴是三角形的中位線，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四邊形中，，，，∴，則，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因為是的中點，所以，且，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由得：，解得.60．（2024高一下·福建寧德·期末）在四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E為線段PA的中點.(1)求證：平面BDE.(2)求三棱錐的體積【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明線面平行，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，即通過構(gòu)造中位線，即可證明；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解.【詳解】（1）如圖，連接交于點，連接.

∵四邊形是正方形，在中，為的中點，又∵為的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）如圖，取的中點，連接，

則且，∵平面，∴平面，∴就是三棱錐的高.∴.61．（2024高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，，，分別是，，的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，可得四邊形為平行四邊形，，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）設(shè)到平面的距離為，利用可得答案．【詳解】（1）證明：如圖取中點，連接，，因為為中點，所以，且，又因為四邊形為菱形，且為中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）設(shè)到平面的距離為，因為，平面，平面，所以平面，易得，，所以，所以，所以，所以，所以到平面的距離為．62．（2024高一·全國·課堂例題）如圖，在三棱柱中，M是的中點，平面平面，平面．求證：

(1)；(2)N為AC的中點．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)得到線線平行；（2）證明出四邊形為平行四邊形，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）因為平面平面，平面平面，平面平面，所以．（2）三棱柱中，，且，因為，，所以四邊形為平行四邊形，又M是的中點，所以，所以N為AC的中點．63．（2024高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；(2)設(shè)正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證，再用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）利用等體積法，求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因為在正方體中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為正方體的棱長是1，E是的中點，所以，三角形ABC的面積，三棱錐的體積.64．（2024高二上·天津靜?！るA段練習(xí)）如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，E、F分別是的中點．(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理、平行線的傳遞性及線面平行的判定定理即可得證；（2）由于面，故即為與平面的夾角，從而勾股定理求出的三條邊長，再根據(jù)即可得解.【詳解】（1）取中點為，連接，，如圖所示：因為F，M分別為PD，PC的中點，故可得，且；又因為且；故可得，，則四邊形為平行四邊形，故可得，又平面平面，故平面．（2）連接，如圖所示：因為面，故即為與平面的夾角，又面，故可得；在中，，，故可得，則，即與平面所成角的余弦值為．65．（2024高一下·廣東廣州·期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點E在線段上，平面.（1）求線段的長；（2）若平面平面，，直線與平面所成的角為，，求三棱錐的表面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）連接，交于點O，連接，證明，E是的中點，求出的值；（2）由題意得出四棱錐的側(cè)面都是直角三角形，計算各個面的面積，求和即可.【詳解】解：（1）連接，交于點O，連接，由四邊形為矩形，所以O(shè)為的中點，又平面，所以，所以E是的中點，所以；（2）由平面平面，，且平面，平面平面，所以平面，所以直線與平面所成的角為，又底面是矩形，所以，又，且，所以平面，所以，同理，所以四棱錐的側(cè)面都是直角三角形，且，；又，所以，所以，，，；計算三棱錐的表面積為：.【點睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征與表面積計算問題，也考查了線面平行的性質(zhì)定理，是中檔題.66．（2024高二上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，的各邊對應(yīng)平行于的各邊，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且，試判斷EF與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】EF與平行．理由見解析．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可證得.【詳解】，理由如下：在中，因為，即，所以，又因為，所以.67．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)和平面幾何知識可得證；（2）根據(jù)空間兩個角相等定理或三角形全等可得證.【詳解】解：(1)∵為正方體．∴，且，又，分別為棱，的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形．(2)法一：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．∵和方向相同，∴．法二：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．又∵，∴，∴．68．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果，，那么與之間具有什么關(guān)系？【答案】相等或互補(bǔ)【分析】按與在同一平面內(nèi)和不在同一平面內(nèi)分別推理判斷作答.【詳解】當(dāng)與在同一平面內(nèi)時，令OB交A1O1于點M，如圖：因，則，，又，則，因此，，，顯然C與A可換位，所以與之間相等或互補(bǔ)；當(dāng)與不在同一平面內(nèi)時，若射線OA與O1A1同方向，射線OB與O1B1同方向，在射線OA與O1A1上分別取點E，E1，使OE=O1E1，在射線OB與O1B1上分別取點D，D1，使OD=O1D1，連接OO1，DD1，EE1，ED，E1D1，如圖，因，則四邊形OEE1O1是平行四邊形，EE1//OO1，且EE1=OO1，同理DD1//OO1，且DD1=OO1，于是得EE1//DD1，且EE1=DD1，則四邊形DEE1D1是平行四邊形，即有ED=E1D1，從而有，則，即，射線OC是射線OA的反向延長線，則有，即，顯然C與A可換位，因此，與之間相等或互補(bǔ)，若射線OA與O1A1方向相反或射線OB與O1B1方向相反，則射線OA的反向延長線與O1A1同方向或射線OB的反向延長線與O1B1同方向，在其反向延長線上按上述同樣的方式進(jìn)行，可得與之間相等或互補(bǔ)，所以與之間相等或互補(bǔ)，綜上得：與之間相等或互補(bǔ).69．（2024高一·全國·隨堂練習(xí)）在長方體中，點P，R分別為BC，上的動點，當(dāng)點P，R滿足什么條件時，平面？【答案】（答案不唯一）【分析】當(dāng)時，滿足要求，結(jié)合棱柱的幾何特征和線面平行的判定定理，可證得結(jié)論.【詳解】

如圖，當(dāng)時，平面.理由如下：因為，所以因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，平面，平面，平面.70．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.求證：平面；【答案】