第二章平面向量教案 人教課標(biāo)版(正式完美版課件)

第二章平面向量

本章內(nèi)容介紹

向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念

之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、

相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形

的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.在本章中，學(xué)

生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語

言和方法表述和解決數(shù)學(xué)利物理中的一些問題.

本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹

了向量的一些基本概念.（讓學(xué)生對(duì)整章有個(gè)初步的、全面的了解.）

第課時(shí)

§平面向量的實(shí)際背景及基本概念

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、

單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共

線向量.

2.通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.

3.通過學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量.

教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

學(xué)法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物

理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.

教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)

授課類型：新授課

教學(xué)思路：

一、情景設(shè)置：

如圖，老鼠由向西北逃竄，貓?jiān)谔幭驏|追去，設(shè)問：貓能否追到老

鼠？（畫圖）

結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.

分析：老鼠逃竄的路線、貓追逐的路線實(shí)際上都是有方向、有長(zhǎng)短的量.

引言：請(qǐng)同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？

二、新課學(xué)習(xí)：

（-）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量

（-）請(qǐng)同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）

、數(shù)量與向量有何區(qū)別？

、如何表示向量？

、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

、長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為的向量叫什么向量？

、滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？

、如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)，這是它們是不是平行向量？這時(shí)各向量

的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系？

（三）探究學(xué)習(xí)

、數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；

向量有方向，大小，雙

.向量的表示方法：

①用有向線段表示；

②用字母a、b

（黑體，印刷用）等表示

③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；

④向量麗的大小一一長(zhǎng)度稱為向量的模，記作通.

.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

向量與有向線段的區(qū)別：

（）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量

就是相同的向量；

O有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不

同的有向線段.

、零向量、單位向量概念:

①長(zhǎng)度為的向量叫零向量，記作.的方向是任意的.

注意與的含義與書寫區(qū)別.\/

②長(zhǎng)度為個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.

說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小./I、

、平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定與任一向量平行.

說明：。綜合①、②才是平行向量的完整定義；。向量a、6、c平行，記作a〃方

//c.

、相等向量定義：

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.:

說明：（）向量a與6相等，記作a=6；（）零向量與零向量相等；，

（）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有/

向線段的起點(diǎn)無關(guān).

、共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的

起點(diǎn)無關(guān)）.

說明：（）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（）共線向量可

以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

（四）理解和鞏固：

例書本頁例.

例判斷：

（）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）

（）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同）

（）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

例下列命題正確的是（

.a與b共線，方與c共線，則a

.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的

.向量a與b不共線，則a與b

.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

解：由于零向量與任一向量都共線，所以不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以

兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四

邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān),

所以D不正確；對(duì)于，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與

b不都是非零向量，即a與b至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任--向量都共線，可有a

與b共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選.

例如圖，設(shè)是正六邊形的中心，分別寫出圖中與向量方、而、歷相等的向量.

變式一：與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（個(gè)）

變式二：是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）

變式三：與向量共線的向量有哪些？（而，灰5,無）

課堂練習(xí)：

.判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

①向量而與麗

④四邊形是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AB=DC

⑤一個(gè)向量

⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量

族、7不在同一直線上.

②不正確.單位向量模均相等且為，但方向并不確定.

③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不

_____.ABC

正確.如圖形與瑟共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.'---------'---------

.書本頁練習(xí)

三、小結(jié)：

1、描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向.

2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡(jiǎn)單類比.

3、向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn).

四、課后作業(yè)；

書本頁習(xí)題第、題

第課時(shí)

§2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義；

2、會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解

決問題的能力；

3、通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)

合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法：

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.

教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加法的定義.

學(xué)法：

數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移

的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法,

讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法

則.聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律.

教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)

授課類型：新授課

教學(xué)思路：

一、設(shè)置情景：

1、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念

強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長(zhǎng)度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研

究的向量是與起點(diǎn)無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下,

移到任何位置

2、情景設(shè)置：_________.___________.

()某人從到，再從按原方向到,

則兩次的位移和：AB+BC=AC

()若上題改為從到，再從按反方向到，

則兩次的位移和：AB+BC=AC

O某車從到，再從改變方向到，

_____________1

則兩次的位移和：AB+BC=AC

()船速為麗，水速為前，則兩速度和：AB+BC=AC

二、探索研究：

1、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

2、三角形法則(“首尾相接，首尾連”)

如圖，己知向量、b.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作而=,/?C=b,則向量獲叫做與b

的和，記作+b,即+b=Q+工=/,規(guī)定：

探究：()兩相向量的和仍是一個(gè)向量；

()當(dāng)向量Z與B不共線時(shí)，33的方向不同向,且aBV“晨

()當(dāng)a與［同向時(shí)，則“3、a、3同向，，

—?—?——>——>—?

且abab,當(dāng)。與。反向時(shí)，若,則的_

方向與。相同，且晨若〃<九則〃分的方

向與b相同，且aba.

（）“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到

個(gè)向量連加

3.例一、已知向量a、b,求作向量a5

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作0A=aAB=b,則OB=a+b.

4.加法的交換律和平行四邊形法則

問題：上題中的結(jié)果與是否相同？驗(yàn)證結(jié)果相同

從而得到：1）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）

2）向量加法的交換律：abba

5.向量加法的結(jié)合律：（a/?）ca（be）

證：如圖：使=BC=b,CD=c

貝U(ab)cAC+CD=AD,a(Ac)AB+BDAD

：.(ab)ca(bc)

從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.

三、應(yīng)用舉例:

例二（一）略

練習(xí):

四、小結(jié)

、向量加法的幾何意義;

2、交換律和結(jié)合律;

3、注意：abWab,當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)取等號(hào).

五、課后作業(yè):

第2、3題

六、板書設(shè)計(jì)（略）

七、備用習(xí)題

、一艘船從點(diǎn)出發(fā)以26后"〃7的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，船的實(shí)際航行的速度的

大小為4攵加/〃，求水流的速度.

、一艘船距對(duì)岸4&km,以26%祖//2的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，

船的實(shí)際航程為8km,求河水的流速.

、一艘船從點(diǎn)出發(fā)以q的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為V2,船的實(shí)

際航行的速度的大小為4Zm/〃，方向與水流間的夾角是60。，求\和V2.

、一艘船以5km/h的速度在行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h,則船的實(shí)際航行速度大小最

大是,最小是

5、已知兩個(gè)力，的夾角是直角，且已知它們的合力與的夾角是。，求和的大小.

6、用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

第課時(shí)

§2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解相反向量的概念；

2.掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；

3.通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)

化的辯證思想.

教學(xué)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法.

教學(xué)難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定.

學(xué)法：減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)

算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量.

教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)

授課類型：新授課

教學(xué)思路:

一、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則

向量加法的運(yùn)算定律：

例：在四邊形中，CB+BA+BA=./一

解：CB+BA+BA=CB+BA+AD=CD4

二、提出課題：向量的減法

1.用“相反向量”定義向量的減法

O“相反向量”的定義：與長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作-

()規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.

任一向量與它的相反向量的和是零向量(-)

如果、互為相反向量，則

()向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差.

即：-(-)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：

向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：

若，則叫做與的差，記作-

3.求作差向量：已知向量、，求作向量

,?,(-)(-)

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，7/

作OA,AB

則BA-

即-可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.

注意：OAB表示強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

。用“相反向量”定義法作差向量，-(-)

顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.

4.探究：

1）如果從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是二

2）若〃，如何作出-？

三、例題：

例一、（97例三）已知向量、、、，求作向量-、

解：在平面上取一點(diǎn)，作。4,OB,0C,0D,

例二、平行四邊形488中，

用、表示向量衣、DB.

解：由平行四邊形法則得：

AC,DBAB-AD-

變式一：當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，與-垂直？（）

變式二：當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，-?（,互相垂直）

變式三：與-可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，???對(duì)角龍方向不同）

練習(xí)：P

四、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法

五、作業(yè)：第、5題

六、板書設(shè)計(jì)（略）

七、備用習(xí)題：

.在△中，BC,CA,則族等于（）

0

為平行四邊形平面上的點(diǎn)，設(shè)豆，OB,0C,麗，則

3.如圖，在四邊形中，根據(jù)圖示填空:

4、如圖所示，是四邊形內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定、、、的方向（用箭頭

表示），使AB,DC,并畫出和.

第3題

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第課時(shí)

§2.3.1平面向量基本定理

教學(xué)目的：

()了解平面向量基本定理；

()理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決

實(shí)際問題的重要思想方法；

O能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.

授課類型：新授課

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量2的積是一個(gè)向量，記作：入五

oAaxa；o入＞時(shí)入方與2方向相同；入〈時(shí)入五與不方向相反；入時(shí)入26

?運(yùn)算定律

結(jié)合律：X(g5)(X；分配律：(入(1)不人2(12,\(ab)^a^b

.向量共線定理向量B與非零向量。共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使Bx

a.

二、講解新課：

平面向量基本定理：如果1是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)

的任一向量力，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入，人使。入61A,e2.

探究：

()我們把不共線向量e,、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

()基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

()由定理可將任一向量在給出基底e?、ez的條件下進(jìn)行分解；

()基底給定時(shí)，分解形式惟一.入，人是被M，,,02唯一確定的數(shù)量

三、講解范例：

例已知向量61,e2求作向量-C1e2.

例如圖帕訥條對(duì)角線交于點(diǎn)，且AB2

表示而，MBMD

例已知海兩條對(duì)角線與交于，是任意一點(diǎn)，求證：

OAOBOCODOE

例()如圖，OA,而不共線，~APAB(e)用而，OB

表示麗.

()設(shè)OA、OB不共線，點(diǎn)在、、所在的平面內(nèi)，且

OP=(\-t)OA+tOB(teR).求證：、、三點(diǎn)共線.

例已知，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)％、〃，使d=+與共線.

四、課堂練習(xí)：

.設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()

、一定平行

、的模相等

另一平面內(nèi)的任一向量都有兒〃(4、HG)

.若、不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有4(AG)

.已知矢量，，其中、不共線，則與的關(guān)系

?不共線.共線.相等.無法確定

.已知向量、不共線，實(shí)數(shù)、滿足()()，則的值等于()

.已知、不共線，且41a4(兒A￡),若與共線，則心

.已知力>,4>,、是一組基底，且兒兒，則與，與(填共線或不共線).

五、小結(jié)(略)

六、課后作業(yè)(略)：

七、板書設(shè)計(jì)(略)

八、課后記：

第課時(shí)

§2.3.2—§平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算

教學(xué)目的：

O理解平面向量的坐標(biāo)的概念；

()掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

()會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

授課類型：新授課

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.平面向量基本定理：如果［是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的

任一向量力，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入，入使不入61e2

()我們把不共線向量e,、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

()基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

()由定理可將任一向量a在給出基底e?、e2的條件下進(jìn)行分解；

()基底給定時(shí)，分解形式惟一.X,入是被2,［唯一確定的數(shù)量

二、講解新課：

.平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量入/作為基底.

任作一個(gè)向量。，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,

使得八

a=xi+yj........................................r!

我們把(x,y)叫做向量。的(直角)坐標(biāo)，記作

a=(x,y).......

其中x叫做。在x軸上的坐標(biāo)，y叫做。在y軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與。相等

的向量的坐標(biāo)也為(x,y).

特別地，i=(1,0),/=(0,1)，0=(0,0).、傘,)

—?」八V

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)作。4=4,則點(diǎn)A的位置由。>；

唯一確定.

設(shè)。A=xi+0，則向量的坐標(biāo)(尤,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)(尤,y)也

就是向量蘇的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一

表示.

.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

()若a=(x”y),6=。2，丁2)，則“+〃=&+x2,y1+必)，a~b=(x,-x2,yt-y2)

兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

設(shè)基底為i、j.則a+6=(x"+%1/)+。2?+為力=(演+%2)?+(%+%)/

即a+/>=(X]+x2,yt+y2),同理可得a—匕=(玉一々，口—當(dāng))

()若4%|,必)，B(x2,y2),則—不，%一M)

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

施OB-OA(.)-(,)(-,-)

()若a=(x,y)和實(shí)數(shù)X,則九?=(加,辦0.

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).、，

設(shè)基底為i、/,則&z=〃xi+0)=/lxi+辦人即九z=(/k,辦)[/4彳

三、講解范例:

例已知（，）,（,）,求A8的坐標(biāo).

例已知a（,）,b（,）,求ab,ab,ab的坐標(biāo).

例已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-，），（--）,（,）,求點(diǎn)的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四

邊形四個(gè)頂點(diǎn).

解：當(dāng)平行四邊形為時(shí)，由赤=皮得（，）

當(dāng)平行四邊形為時(shí)，得（，）,當(dāng)平行四邊形為時(shí)，得（-，）

例已知三個(gè)力K（,）,月（，-）,瓦（，）的合力1元元6,求元的坐標(biāo).

解：由題設(shè)K耳豆6得：（，）（,-）（,）（,）

3+2+x—0.Jx=-5.—?

即:4-5+j=01y=l居

四、課堂練習(xí)：

---*1.

.若（，）（,）且^^=一MN,求點(diǎn)的坐標(biāo)

2

.若（，），（，），（，），則詬一前.

.已知：四點(diǎn)（，）,（,）,（,）,（,）,求證：四邊形是梯形.

五、小結(jié)（略）

六、課后作業(yè)（略）

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第課時(shí)

§2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示

教學(xué)目的:

()理解平面向量的坐標(biāo)的概念；

()掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

()會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性

授課類型：新授課

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量〃/作為基底.任作一個(gè)向量。，由平面

向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得。=刀+切

把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a=(x,y)............

a

其中x叫做。在x軸上的坐標(biāo)，y叫做。在y軸上的坐標(biāo)，特別地，-----<

i=(l,O),/=(0,1),0=(0,0).撲

.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若。=(?,%)，b=(x2,y2),

則a+b=(%]+*2，%+必)，a—匕=(/一犬2，必一必)，Aa=(Ax,Ay).

若A(x”y),￡?(%,,y2),則A3=(/一七，火一%)

二、講解新課：

a//b(Bw。)的充要條件是

設(shè)5(,),B(,)其中彼H5.

-{x.-

由不入b得，(，)入(，)=>\'消去、,

1yl=僅

探究：()消去入時(shí)不能兩式相除，?；，有可能為，-：b^中至少有一個(gè)不為

()充要條件不能寫成"="■???,有可能為

X]x2

()從而向量共線的充要條件有兩種形式：a//ba=Ab

的%-=°

三、講解范例：

例已知)(，),b(,),且不〃在，求.

例已知(，),(,),(,),試判斷，，三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.

例設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是(，)，(，).

(1)當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

()當(dāng)點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

例若向量2(,)與^(,)共線且方向相同，求

解：???1(,)與石(，)共線.?.()><.()

...土行與B方向相同AV2

例已知(，)，(，)，(，)，(，)，向量而與而平行嗎？直線與平行于直線嗎？

解：?.?麗(()，())(,),CD(,)(,)

又XXJ.AB//CD

又VAC((),())(,)，詬(，),X義工，正與而不平行

不共線.?.與不重合：.//

四、課堂練習(xí)：

.若(，),(,),且〃，則()

.若(，),(,),(,)三點(diǎn)共線，則的值為(

.若AB,Z)C()()(其中、的方向分別與、軸正方向相同且為單位向量).與OC共線,

則、的值可能分別為()

，，，，

.已知(,),(,),且〃，則.

.已知(，),(,),若與2a平行，則的值為.

.已知口四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),(,),(,),(,),則.

五、小結(jié)(略)

六、課后作業(yè)(略)

七、板書設(shè)計(jì)(略)

八、課后記：

§平面向量的數(shù)量積

第課時(shí)

一、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

教學(xué)目的：

.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；

.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律：

.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；

.掌握向量垂直的條件.

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

授課類型：新授課

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

內(nèi)容分析：

本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推

導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí).主要知識(shí)點(diǎn)：

平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

律.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.向量共線定理向量5與非零向量2共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使石

入a.

.平面向量基本定理：如果￡是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的

任一向量不，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入，入使不入61A,e2

.平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、，作為基底.任作一個(gè)向量a,由平面向

量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得。=立+山

把（x,y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo),記作。=（x,y）

.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若a=O[,y）,b=（x2,y2）,則a+Z?=（為+%2，y+必），a-b=（網(wǎng)—/，）一力），

Aa-（Ax,Ay）.

若A（X1,y）,8（%,％），則45=（々一七,為一%）

.a//b（BxG）的充要條件是

.線段的定比分點(diǎn)及人

,是直線上的兩點(diǎn)，是上不同于，的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)人，

使用/人麗，人叫做點(diǎn)分用及所成的比，有三種情況：

A＞（內(nèi)分）（外分）、＜（、＜）（外分）A＜（＜X＜）

.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：

若點(diǎn)（）,。2（,）,久為實(shí)數(shù)，且耳下=久而，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（-+芥2+辦’2）,

121+21+2

我們稱a為點(diǎn)分4鳥所成的比.

.點(diǎn)的位置與4的范圍的關(guān)系：

①當(dāng)4>0時(shí)，而與麗同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為月月的內(nèi)分點(diǎn).

②當(dāng)4V0"?！?）時(shí)，6P與P6反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為《鳥的外分點(diǎn).

.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式:

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)0片=。，OP?=b,—vL

—ZBXT；a+Ab1A,________S

可得0P-----=----a+-----b.TJ0

1+A1+X1+/I

.力做的功：-o,e是與的夾角.

二、講解新課：

.兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量a與b,作0A=a,OB=b,則（0W8<"）叫a與

6的夾角.

說明：（）當(dāng)。=0時(shí)，a與6同向；

（）當(dāng)時(shí)，，與6反向；

JT

（）當(dāng)《=—時(shí)，a與6垂直，記a，Z>；

2

o注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍。wew。

.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與6,它們的夾角是心則數(shù)量0

叫a與6的數(shù)量積，記作?，即有6,

（0W?W"）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為.

■探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

（）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由。的符號(hào)所決定.

()兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成?：今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積X,而?是兩個(gè)向量的

數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“?”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“X”

代替.

()在實(shí)數(shù)中，若W,且?，則；但是在數(shù)量積中，若W,且?，不能推出.因?yàn)槠渲?。有可能?

()已知實(shí)數(shù)、、伊),則=.但是??牛

如右圖：仇。

A但豐

()在實(shí)數(shù)中，有(?)(?)，但是(?)二(?)

顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線.

?“投影”的概念：作圖

定義：。叫做向量在方向上的投影.

投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)0為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)。為

直角時(shí)投影為；當(dāng)。。時(shí)投影為；當(dāng)0。時(shí)投影為-.

.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積?等于的長(zhǎng)度與在方向上投影0的乘積.

.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量.

0-0

2°J_o

°當(dāng)與同向時(shí)，?；當(dāng)與反向時(shí)，一.特別的?或1abM

°e-------

\a\\b\

三、講解范例：

例已知，，與的夾角。，求?.

例已知，，與的夾角為求()?().

例已知，，且與不共線，為何值時(shí)，向量與互相垂直.

例判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由.

①a?=；②，a=0；③-AB—BA；@Ia?6|=|a\\b\；⑤若aW,

則對(duì)任一非零6有⑥a?6=0,則a與6中至少有一個(gè)為；⑦對(duì)任意向量a,

b,。都有(a?b)c=a(b?c)；⑧a與6是兩個(gè)單位向量，則a?=6、

解：上述個(gè)命題中只有③⑧正確；

對(duì)于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有?a=0；對(duì)于②：應(yīng)有0?a=；

對(duì)于④：由數(shù)量積定義有=這里

，是a與6的夾角，只有。=0或。=〃時(shí)，才有|a*6|=|a|?|Z>|；

對(duì)于⑤：若非零向量a、6垂直，有a，6=0；

對(duì)于⑥：由a?8=0可知a，6可以都非零；

對(duì)于⑦：若a與。共線，記a=4c.

貝b=(Ac')'b=A(c?b)=A(b?c),

(a?b),c=A(b,c)(?=(/>?c)Ac=(/>,c)a

若a與c不共線，貝ij(a?6)cW(6?c)a.

評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.

例已知|a|=3,|6|=6,當(dāng)①a〃b,@aLb,③a與6的夾角是。時(shí)，分別

求a?6.

解：①當(dāng)a〃6時(shí)，若a與6同向，則它們的夾角《=0°,

a,b—|a\,|b\°=XX=；

若a與6反向，則它們的夾角夕=°,

a?b=|aIIb\°=XX()=一；

②當(dāng)aJ.6時(shí)，它們的夾角8=°,

/.a,6=0；

③當(dāng)a與6的夾角是。時(shí)，有

a?b—|a||b\°=義義上=

2

評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［°,°］，因此，當(dāng)a〃6時(shí),

有?；?。兩種可能.

四、課堂練習(xí)：

.已知，、歷，且()與垂直，則與的夾角是()

.45°

.已知，，與之間的夾角為2TT,那么向量的模為（）

3

.2A/3

.已知、是非零向量，則是（）與（）垂直的（）

.充分但不必要條件.

.充要條件.既不充分也不必要條件

.已知向量、的夾角為2,,,則?.

3

.已知，，其中、是直角坐標(biāo)系中軸、軸正方向上的單位向量，那么?.

.已知，、與、的夾角均為。，且，，，則（）？=.

?已知，、歷，（）若〃，求］（）若、的夾角為60°,求；（）若與垂直，求與的夾角.

.設(shè)、是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°,求向量2成與-3〃?的夾角.

.對(duì)于兩個(gè)非零向量、，求使最小時(shí)的值，并求此時(shí)與的夾角.

五、小結(jié)（略）

六、課后作業(yè)（略）

七、教學(xué)后記：

第課時(shí)

二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

教學(xué)目的：

.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；

.能利用數(shù)量積的個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；

.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問題.

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

授課類型：新授課

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

內(nèi)容分析：

啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意

數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

.兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量a與b,作0A-a,OB—b,則/A。B—0叫a與

6的夾角.

.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：己知兩個(gè)非零向量a與6,它們的夾角是。，則數(shù)量0

叫a與6的數(shù)量積，記作.，即有6,

（OW.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為.

?“投影”的概念：作圖

定義：0叫做向量在方向上的投影.

投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)。為銳角時(shí)投影為正值：當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)0為

直角時(shí)投影為；當(dāng)0。時(shí)投影為；當(dāng)。。時(shí)投影為

.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積?等于的長(zhǎng)度與在方向上投影0的乘積.

.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量.

°-0；2°_Lo?

0當(dāng)與同向時(shí)，-;當(dāng)與反向時(shí)，一.特別的?或I。|=

a-b一

°9----------；°W

\a\\b\

二、講解新課：

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

.交換律：“

證：設(shè)，夾角為e,則e,-0

.數(shù)乘結(jié)合律：（DM）-（X）

證：若九〉，（x）-xe,九（?）Ze,-（X）九o,

若九<,（x）-x（n-e）-x（-e）九。，x（-）xe,

?（X）x（K-e）-x（-G）xe.

.分配律：（）--?

在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作。4，AB,OC,???（即。8）在方向上的投影等于、在方向

上的投影和，即009

.?.000,/..（）..即：（）.??

說明：（）一般地，（a?6）cWa（b?c）

()a?c=b-c,c豐臺(tái)a=b

2

()有如下常用性質(zhì)：a=Ia|2,

(a+6)(c+d)=a?c+a?d+b?<?+/>?d

(a+6)'=a'+2a,b+b'

三、講解范例：

例已知、都是非零向量，且與-垂直，-與-垂直，求與的夾角.

解：由（）（-）=>?-①

（-）（7a-）n7a-30。②

兩式相減：?

代入①或②得:

設(shè)、的夾角為0,則0士9-b2,2

.\00

\a\\b\2s『2

例求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和.

解：如圖：平行四邊形中，AB=DC,AD=BC,ACAB+AD

----*232

AAC\AB+AD\2=AB+AD+2ABAD

而8。AB—A。，

BD|AB-AB-+AD--2ABAD

?2?2

.".ACBDAB+2AD\AB\2+\BC\2+\DC\2+\AD\2

例四邊形中，麗=@，前=6,麗=c,麗=d,且a?6=6?c=c?d=d?a,

試問四邊形是什么圖形？

分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.

解：四邊形是矩形，這是因?yàn)椋?/p>

一方面：?；a+6+，+</=,a-\-b=—(c+d),/.(a+Z>)*=(c+d)

即Ia|?+2a?6+|6Iz=Ic\2+2c?d+\d\2

由于a-b—c?d,.*.|a|2+|b\2—\c|2+|dl，①

同理有Ia|?+IdIz=?°?2+?6?2②

由①②可得|al=l，l，且I6|=|d|即四邊形兩組對(duì)邊分別相等.

四邊形是平行四邊形

另一方面，由@?b=b-c,有b(a—c)=0,而由平行四邊形可得a=-c,

代入上式得6?(a)=0,即a?6=0,a_L6也即J_.

綜上所述，四邊形是矩形.

評(píng)述：()在四邊形中，AB,BC,CD,詼?zhǔn)琼槾问孜蚕嘟酉蛄?，則其和向量是零向

量，即a+6+c+d=,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；

()由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種

關(guān)系.

四、課堂練習(xí)：

.下列敘述不正確的是()

.向量的數(shù)量積滿足交換律.向量的數(shù)量積滿足分配律

.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律?是一個(gè)實(shí)數(shù)

.已知，，與的夾角為60°,則()?()等于()

33

,，向量3與1的位置關(guān)系為()

44

TT

.平行.垂直?夾角為一.不平行也不垂直

3

.已知，，且與的夾角為。，則。2=.

.已知，，3則，.

.設(shè)，，且才與一4垂直，則兒=.

五、小結(jié)（略）

六、課后作業(yè)（略）

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第課時(shí)

三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

教學(xué)目的：

⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.

⑶能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題.

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用

授課類型：新授課

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

,兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量a與b,作0A=a,OB=b,則叫a與

6的夾角.

.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與6,它們的夾角是則數(shù)量0

叫a與6的數(shù)量積，記作.，即有

（0W9W"）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為.

.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積?等于的長(zhǎng)度與在方向上投影0的乘積.

.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量.

°-0；20_L=?

°當(dāng)與同向時(shí)，?;當(dāng)與反向時(shí)，「特別的?或|〃|=

a-b一

°0------；°W

\a\\b\

.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律：“

數(shù)乘結(jié)合律：（九）人（-）.（X）

分配律：（）???

二、講解新課：

1.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知兩個(gè)非零向量a=（M，y）,b=（x2,y2）,試用a和b的坐標(biāo)表示

設(shè)i是x軸上的單位向量，/是y軸上的單位向量，那么。=b=x2i+y2j

所以a?8=（引+%力（%2?+%力=3巧產(chǎn)+“I'i,/+J+弘為了

又i=1,j?j=I,i-j-ji-0,所以+,必

這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即a加=陽々+必必

.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

八、設(shè)a=（x,y）,則|a『=x?+），或|a|=+y?.

（）如果表示向量。的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x「y）、（x2,y2）,那么

Ia|=4區(qū)一/）2+（M一%）2（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）

九、向量垂直的判定

設(shè)。=（須，必），b=（x2,y2）,則。J_bo+必為二°

十、兩向量夾角的余弦（0<6<））

nab再X2+JV2

0-------=1-----------j-----------

~l-\講解范例：

十二、設(shè)(,-)，(-,-)，求.及、間的夾角6(精確到)

例已知(，),(,),(-,)，試判斷△的形狀，并給出證明.

例已知(,-)，(,),求滿足?與一的向量.

解：設(shè)(，),

x-a=9[3t-s=9\t=2

由=>s???(，-)

x-h=-4[t+25=-4[s=-3

例已知=(1,6),=(、石+1,V