數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)3數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)11點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

1.1點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

乃川川川"川川川川I川川川川川川川川川川川川川川川川川川h時(shí)囪囪陶?I課I前I預(yù)I習(xí)］陰川川川川出川出川川川川川川川用出川川川川出川川肺

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系

(1)空間直角坐標(biāo)系建立的流程圖：

平面直角坐標(biāo)系

通過，再增加一條與1。＞平面的z軸

空間直角坐標(biāo)系

(2)空間直角坐標(biāo)系的建系原則一右手螺旋法則：

①伸出________手，讓四指與________垂直；

②四指先指向________正方向；

③讓四指沿方向旋轉(zhuǎn)90。指向j軸正方向;

④的指向即為z軸正方向.

(3)有關(guān)名稱：如圖所示：

①叫作原點(diǎn)；

②統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸；

③由________確定的平面叫作坐標(biāo)平面，

由_______確定的平面記作xOy平面，

由_______確定的平面記作yOz平面，

由_______確定的平面記作xOz平面.

要點(diǎn)二空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

(1)空間直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P的位置，可用一個(gè)來刻畫.

(2)空間任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)記為,第一個(gè)是________坐標(biāo)，第二個(gè)是

坐標(biāo)，第三個(gè)是________坐標(biāo).

(3)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)________三元有序數(shù)組.

(4)對(duì)于空間中點(diǎn)尸坐標(biāo)的確定方法是：過點(diǎn)尸分別向坐標(biāo)軸作,構(gòu)造一個(gè)以

O,P為頂點(diǎn)的.如果長方體在三條坐標(biāo)軸上的頂點(diǎn)尸1,尸2,尸3的坐標(biāo)分別為(X,

0,0),(0,?0),(0,0,Z),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y,Z).

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.思考辨析(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”)

(1)空間直角坐標(biāo)系中，y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足z=0,尤=0.()

(2)空間直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的.()

(3)空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是他，0,c)的形式.()

(4)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)其縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)相反.()

2.點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的()

A.y軸上B.xOy平面上

C.xOz平面上D.第一象限內(nèi)

3.已知點(diǎn)4—1,2,7),則點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-1,-2,-7)B.(-1,-2,7)

C.(1,-2,-7)D.(1,2,-7)

4.在空間直角坐標(biāo)系中，自點(diǎn)P(—4,—2,3)引x軸的垂線，則垂足的坐標(biāo)為.

川川川川川川川川川川〃川川“川"川川""""川卅""回國陶陶。迷堂邂_匿_乃加”川川川川1N川川明加川出"川川"""加"卅

題型一求空間點(diǎn)的坐標(biāo)

例1

如圖，棱長為1的正方體ABCD-ABICIOI中，E是AB的中點(diǎn)，尸是8所的中點(diǎn)，G是

ABi的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定E,F,G三點(diǎn)的坐標(biāo).

方法核的

(1)空間中點(diǎn)的位置和點(diǎn)的坐標(biāo)是相對(duì)的，建立空間直角坐標(biāo)系，要力爭(zhēng)盡可能簡(jiǎn)捷地

將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來.因此，要確定各點(diǎn)到面、yDz面、xZ)z面的距離，同時(shí)中點(diǎn)坐標(biāo)

公式在空間直角坐標(biāo)系中仍然適用.

⑵設(shè)B(xi,%,zi),尸2(如”，Z2),則尸當(dāng)中點(diǎn)P(x,y,z)坐標(biāo)滿足尸空，尸江產(chǎn)，z

_Z1+Z2

2?

跟蹤訓(xùn)練1(1)點(diǎn)M(0,26,-目所在的位置是()

A.x軸上B.xOz平面上

C.xOy平面內(nèi)D.yOz平面內(nèi)

(2)正方體ABCLMECD的棱長為1,且［8尸|=料。［,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為()

&110

題型二已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置

例2在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)M(2,-6,4).

方法也然)

由點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)位置的方法

(1)先確定點(diǎn)(xo,yo,0)在xOy平面上的位置，再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)(xo,yo,zo)在空間直角

坐標(biāo)系中的位置；

(2)以原點(diǎn)O為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造棱長分別為|刈，|例，團(tuán)的長方體(三條棱的位置要與xo,

yo,zo的符號(hào)一致)，則長方體中與。相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練2在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)P(5,4,6).

題型三求空間對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

例3求點(diǎn)4(1，2,—1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy及x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

方法何的

點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸及坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)有如下特點(diǎn):

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(l)P(x,y,Z)---------------—y,—z);

關(guān)于X軸對(duì)稱

(2)P(x,y,z)--------------->P2(x,-y,—z);

關(guān)于y軸對(duì)稱

尸(x,y,z)--------------->2(-x,y,—z)；

關(guān)于z軸對(duì)稱

P(X,y,z)-------------->24(—X,—y,z).

記憶口訣：“關(guān)于誰對(duì)稱誰不變，其余相反”.

關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱

(3)P(x,y,z)----?尸5(龍,y,—z)

關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對(duì)稱

P(x,y,z)-—一尸6(X,y,z)；

關(guān)于坐標(biāo)平面xOz對(duì)稱

P(x,y,力-—TP〕。,z).

跟蹤訓(xùn)練3寫出點(diǎn)(一2,1,4)關(guān)于〉軸，z軸，yOz面，xOz面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

易錯(cuò)辨析建錯(cuò)空間直角坐標(biāo)系

例4在正三棱柱ABCAiBiCi中，已知△ABC的邊長為1,三棱柱的高為2,建立適當(dāng)

的空間直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：分別取BC,的中點(diǎn)O,Di,以。為原點(diǎn)，DC,DA,DD1的方向?yàn)閤軸、y

軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0,y,0),B(-p0,0),C(1o,0),4(0,y,2),3(—50,2),0,2).

【易錯(cuò)警示】

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

建系時(shí)，誤認(rèn)為XS與配垂直，從而以A為原在建系時(shí)應(yīng)注意，若圖中沒有直接建系的條

點(diǎn)，AB,AC,AA1的方向?yàn)闊o軸，y軸，z軸件，則應(yīng)根據(jù)已知條件，通過作輔助線來創(chuàng)

的正方向建立坐標(biāo)系導(dǎo)致錯(cuò)誤.造合適的建系條件.

I課堂十分鐘］

1.點(diǎn)(1,0,2)位于()

A.y軸上B.x軸上

C.xOz平面內(nèi)D.yOz平面內(nèi)

2.點(diǎn)尸(一1,2,3)關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,2,3)B.(-1,-2,3)

C.(—1,2,-3)D.(1,-2,-3)

3.在空間直角坐標(biāo)系中，PQ,3,4),0(—2,-3,—4)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于yOz平面對(duì)稱

C.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.以上都不對(duì)

4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(—1,2,-3),則點(diǎn)A在yOz平面內(nèi)射影的點(diǎn)的坐

標(biāo)是.

5.如圖，正四棱柱ABCD-AiBCiOi(底面為正方形的直棱柱)中，AAi=2AB=4,點(diǎn)E

在CG上且CiE=3EC.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出點(diǎn)8,C,E,Ai的坐標(biāo).

1.1點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

新知初探?課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

⑴原點(diǎn)。垂直(2)右大拇指x軸握拳大拇指(3)0尤，y,z坐標(biāo)軸x,

y軸y,z軸x,z軸

要點(diǎn)二

(1)三元有序數(shù)組(2)(x,y,z)xyz⑶---對(duì)應(yīng)(4)垂面長方體

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.(1)V(2)-7(3)V(4)7

2.解析：點(diǎn)(2,0,3)的y軸坐標(biāo)為0,所以該點(diǎn)在xOz平面上.故選C.

答案：C

3.解析：點(diǎn)(-1,2,7)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,-2,-7).故選A.

答案：A

4.解析：?.?點(diǎn)尸(一4,-2,3),

二自點(diǎn)尸引x軸的垂線，垂足坐標(biāo)為(一4,0,0).

答案：(一4,0,0)

題型探究?課堂解透

例1解析：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM,DC,ODi所在直線為x軸、y軸和

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，E點(diǎn)在平面My中，且|胡|=/

點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0).

點(diǎn)和Bi點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,1,0)和(1,1,1),故尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1).

同理可得G點(diǎn)坐標(biāo)為(1,|,

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)；M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,26,x=0,

二點(diǎn)M在平面yOz內(nèi)，故選D.

(2)如圖所示，過尸分別作平面xOy和z軸的垂線，垂足分別為E,H,過E分別作x

軸和y軸的垂線，垂足分別為凡G,由于尸尸初0,所以|。旬=|儲(chǔ)。1=￡|DF|=||Z)A|

=|,|DG|=||Z)G|=|,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(I，I，I),故選D.

答案：(1)D(2)D

M(2,-6,4)

例2解析：方法一先確定點(diǎn)Af(2,-6,0)在尤Oy平面上的位置，因?yàn)辄c(diǎn)M的豎坐

標(biāo)為4,

則且點(diǎn)M和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)，這樣就可確定點(diǎn)M的位置了(如

圖所示).

方法二以。為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造三條棱長分別為2,6,4的長方體，使此長方體在點(diǎn)

。處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負(fù)半軸、z軸正半軸上，則長方體中與頂點(diǎn)O相對(duì)的

頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)(圖略).

跟蹤訓(xùn)練2

1P(5,4,6)

5/d-~V

解析：第一步從原點(diǎn)出發(fā)沿尤軸正方向移動(dòng)5個(gè)單位，第二步沿與y軸平行的方向向右

移動(dòng)4個(gè)單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動(dòng)6個(gè)單位(如圖所示)，即得點(diǎn)P.

例3解析：如圖所示，過A作交平面于加，并延長到C，使6M=CM，

則A與C關(guān)

于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱點(diǎn)C(l,2,1).過A作ANLx軸于N,并延長到點(diǎn)B,使履川=|NB|,

則A與8關(guān)于x軸對(duì)稱且8(1,-2,1),2,—1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)