高中數(shù)學(xué)解答題教學(xué)建議

高中數(shù)學(xué)解答題教學(xué)建議

把數(shù)學(xué)的解答嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)⑹龀鰜硎且患蝗菀鬃龅降氖?這有著較

高的能力要求?？偟恼f來，敘述要正確、合理、嚴(yán)密、簡捷和清楚。

把運(yùn)算、推理、作圖與所得的結(jié)果無誤地加以敘述，是解題的一項(xiàng)基

本要求。敘述要合理，對列式、計(jì)算、推理、作圖都要有充分的理由，

遵循嚴(yán)格的思維規(guī)律，做到言必有據(jù)，理由充足，合乎邏輯性。嚴(yán)密

就是要周密地考慮問題中的全部內(nèi)容，不能遺漏，也不能重復(fù)。任何

數(shù)學(xué)題的解答都有一定的規(guī)格要求，無論哪種格式，敘述都應(yīng)層次分

明，條理清楚，表述規(guī)范。這里包含書寫時(shí)要力求字跡清楚，作圖正

確，疏密適度，行款得體。所有這些能力的培養(yǎng)有一個漸進(jìn)的過程,

非蹴而就。

如，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題，學(xué)生往往只完成〃=%和〃=左

到〃=k+1的證明之后就結(jié)束了。實(shí)際上完成這兩步之后，還要有一

個結(jié)論性的表述：由(1)(2)可知，命題對從〃=%開始的所有自

然數(shù)都成立。

再如，求函數(shù)/(%)=—1—的單調(diào)區(qū)間，對于這樣的簡單問題不會

x-1

求的學(xué)生很少，但求出來錯了的學(xué)生也不少。他們往往把單調(diào)區(qū)間寫

成(-oo,l)U(l,+oo),這顯然是錯誤的，若是填空題或選擇題，會得0

分。

如，等差數(shù)列｛為｝的前加項(xiàng)的和為30,前2切項(xiàng)的和為100,求

它的前3小項(xiàng)的和。

對于本題，至少可以有以下兩種方法：

法1：設(shè)出首項(xiàng)q及公差d,然后代入公式-l)d,

解關(guān)于q、d的方程組即可得邑“二210。

法2：利用性質(zhì)”等差數(shù)列中，黑、Szm-Sm、83.—S27n成等差

數(shù)列?！?/p>

反思以上兩種方法，法1雖常規(guī)、易想但計(jì)算量大，實(shí)在不能算是

一種好方法；法2能抓住問題的本質(zhì)，是一種很好的思路，但利用此

法的前提是知道上述性質(zhì)并能隨時(shí)提取信息。

又如，已知點(diǎn)M與點(diǎn)/(4,0)的距離比它到直線/：%+5=0的距

離少1,求點(diǎn)M的軌跡方程。

解法1：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(%,y),

根據(jù)已知條件：點(diǎn)M屬于集合｛M||用/|+1=|%+51,

即J(X-4)2+/+1=|%+5|。

因此，當(dāng)x》-5時(shí)，-4)2+=x+5-l,即y2=i6x；

當(dāng)xV—5時(shí)，7(^-4)2+/=-^-5-1,即：/=20(X+1),

(說明：有部分學(xué)生在這里忘記討論)

因?yàn)楫?dāng)龍V-5時(shí)，20(%+1)<0,所以V。20。+1),即點(diǎn)M不

存在，故所求M點(diǎn)的軌跡方程為9=16%。

解法2：因?yàn)椤包c(diǎn)M到/(4,0)的距離比它到直線/：%+5=0的

距離少1”等價(jià)于“點(diǎn)M到/(4,0)的距離等于它到直線/：%+4=0

的距離”。由此可知點(diǎn)用的軌跡是以尸為焦點(diǎn)，直線/：%+4=0為

準(zhǔn)線的拋物線。易知〃=8,所以所求方程為丁=16%。

解法1用了求軌跡方程的一般方法，這種方法常見、易想，解題

過程繁瑣，須分類討論，易漏易錯。解法2通過分析題目的條件，抓

住問題本質(zhì)，對已知條件進(jìn)行知識遷移，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡滿足拋物線的

定義，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求解，避免了繁雜的計(jì)算，優(yōu)勢顯而易見。

例(2008年高考江蘇卷)設(shè)函數(shù)/(%)=以3—3%+1(%eR),若

對于任意工4-1,1],都有/(%)及成立，則實(shí)數(shù)〃的值

為.

本題以不等式恒成立的問題為載體,反映了對抽象概括能力的考

查.本題考慮用分離變量來解決.當(dāng)x=0時(shí)，無論“取何值，

/(尤)=1>0成立；當(dāng)時(shí)，a>——^—恒成立.令g(x)=——r—,

XX'

則轉(zhuǎn)化為研究g(x)的最大值與。的關(guān)系.令

g'(%)=W+S=0,求得尤=[.當(dāng)時(shí),g'(x)>0；當(dāng)

1<j<Mg(x)<0,可知x時(shí)，g(%)取最大值4,所以

.當(dāng)-1<%<0時(shí)，〃<書1恒成立.令g(%)="l,則轉(zhuǎn)化為

XX

研究g(%)的最小值與。的關(guān)系.由g(?￥)=—+下>0得8(%)在[-1,

XX

0)是增函數(shù)，所以g(%)min=g(—D=4,所以.綜上，1=4.

本題考查了一些常見的解題規(guī)律或模式，如：4/(%)恒成立

問題”一般轉(zhuǎn)化為研究/(%)的最小值與a的關(guān)系問題.

從現(xiàn)實(shí)問題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型，需要抽象概括能力，最典

型的是解應(yīng)用題.我們知道，應(yīng)用題一般都有模型，如“指數(shù)型函數(shù)”

是重要的數(shù)學(xué)模型，在細(xì)胞分裂、生物繁殖、人口增長、勞動生產(chǎn)率、

銀行利息等問題上經(jīng)常用到.解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，即

把生產(chǎn)或生活中遇到的實(shí)際問題，抽象為一個數(shù)學(xué)問題來解決.從雜

亂無章的現(xiàn)實(shí)世界中，由表及里，去偽存真，將生活問題提煉、抽象

為一個數(shù)學(xué)問題來解決，體現(xiàn)了我們常說的“分析問題和解決問題的

能力”，體現(xiàn)了抽象概括能力.

如，已知一個函數(shù)的解析式為y=V,它的值域是［1,4］,這樣的

函數(shù)有多少個？試寫出其中的兩個。

變題1：已知函數(shù)y=%2,它的值域是{1,4},這樣的函數(shù)有多少

個？

變題2：已知函數(shù)y=V,它的值域是{1,4,9},這樣的函數(shù)有多

少個？

變題3：已知函數(shù)y=V,它的值域是{1,4,9,L,/},這樣的函

數(shù)有多少個？

變題4：已知函數(shù)y=V,它的定義域是［-1,0,值域是［0,4］,

求實(shí)數(shù)”的取值范圍。

變題5：已知函數(shù)y=它的定義域是［-2,0,值域是［0,4］,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

變題6：已知函數(shù)y=V,它的定義域是［-1,0,求函數(shù)的最大

值和最小值。

變題7：已知函數(shù)=它的定義域是［a-La］,求函數(shù)的最大

值和最小值。

變題8：請寫出幾個不同的函數(shù)的解析式y(tǒng)=/(%),使/⑴=1,

/⑵=4。

引導(dǎo)學(xué)生對問題的變式進(jìn)行對比、分析，從而使學(xué)生解決的不是

一道題，而是一串題，更重要的是，在對問題的變式中使學(xué)生對問題

的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律的認(rèn)識更加深刻。

例(2009年高考海南與寧夏卷理科)用min表示三

個數(shù)中的最小值.設(shè)/(%)=min{2v,%+2,10-%}(%N0),貝!的

最大值為

數(shù)形結(jié)合思想除了在解選擇題、填空題中能顯其優(yōu)越，對一些解

答題，通過畫圖，往往能激發(fā)解題靈感.如函數(shù)的解答題，在解答書

寫的過程中，一般不必畫出函數(shù)圖象，但解題思路又必須依賴于函數(shù)

圖象，這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式.

例(2006年高考福建卷理科)已知函數(shù)/。)=-尤2+8工，

g(x)=61nx+m。

(I)求/(%)在區(qū)間"什1］上的最大值/2⑺；

(II)是否存在實(shí)數(shù)相，使得y=/(%)的圖象與y=g(%)的圖象

有且只有三個不同的交點(diǎn)？若存在，求出根的取值范圍；若不存在,

說明理由。

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查了有

限與無限思想.第(I)問利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以寫出函

數(shù)/(%)在區(qū)間">1］上的最大值K)，

—1~+6t+7,f<3,

〃⑺=<16,3<Z<4,第(H)問，研究函數(shù)》=/(%)的圖象

—/+87,，〉4,

與y=g(%)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，即研究函數(shù)1?(%)-/(%)的圖象與％軸

的正半軸的交點(diǎn)個數(shù).構(gòu)造函數(shù)°(x)=d—8%+61n%+根，由

(p'(x)=2心133)(%〉0),可知：若函數(shù)y=/(%)的圖象與

X

y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)°(%)=g(X)-/(X)

的圖象與光軸的正半軸有且只有三個不同的交點(diǎn).當(dāng)X￡(0,1)時(shí)，

(p'{x}>0,0(x)是增函數(shù)；當(dāng)％￡(1,3)時(shí)，(p\x)>0,d%)是減函

數(shù)；當(dāng)了￡(3,+8)時(shí)，(p\x)>0,次％)是增函數(shù)；當(dāng)了=1,或％=3

時(shí),夕'(％)=0；所以0(%)極大值=°⑴=m-7,e(x)極小值

=d3)=根+61n3—15.因?yàn)楫?dāng)％充分接近0時(shí)，以工)<0；當(dāng)人充分大

時(shí)，以％)>0,所以要使e(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點(diǎn),

[0(x)極王值二m—7>0

必須且只須極人值9即7<機(jī)<15—6山3,所

〔。(％)極小值=m+61n3-15<0,

以存在實(shí)數(shù)相，使得函數(shù)y=/(%)與y=g(%)的圖象有且只有三個不

同的交點(diǎn)，機(jī)的取值范圍為(7,15-61n3).

本題是從求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)在某一區(qū)

間的根的個數(shù)考查有限與無限的思想.尤其是研究函數(shù)的極值，在極

值的定義中對極值的描述從另一個角度體現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系：

“一般地，設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)％。附近有定義，如果對工。附近除毛外的

所有的點(diǎn)工,都有/(%)</(%),我們就說A%。)是函數(shù)/(%)的一個

極大值”，在以上文字描述中的“附近”和“所有”都含有有限與無

限的辯正關(guān)系.首先“附近”就是個模糊的概念，多近才叫附近？用

“要多近有多近”來理解也是形象的生活語言.實(shí)際上，這里所言的

“附近”只有用極限的思想，用由有限到無限的觀點(diǎn)去領(lǐng)悟才能理解

其真諦.同樣，由“所有的點(diǎn)”組成的集合是個無限集，不可能將它

們一一取出進(jìn)行研究.因此，這里的“所有”也體現(xiàn)出有限與無限的

關(guān)系.由此可以看出，極值概念的本身就充滿有限與無限的辯正關(guān)系.

例10過拋物線V=2px(p〉0)的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線

相交于《、6兩點(diǎn)，兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是%、%，求證：

在完成上例后，可引導(dǎo)學(xué)生作如下變式:

(1)條件不變，提出新問題：

①求證：X]X=—；②求焦點(diǎn)弦6A的長；③求SV”p；④求焦

IN2412

點(diǎn)弦《寫的中點(diǎn)的軌跡方程。

(2)改成逆命題：一條直線與拋物線V=2px(p>0)相交于點(diǎn)

片(再,*)、鳥(%2，%)兩點(diǎn)，如果滿足必必=一〃2(或不％2=￡)，

那么這條直線過拋物線的焦點(diǎn)。

n

(3)增加條件“過《、鳥分別作X軸的垂線，垂足為M2,

提出新問題“求證：|OMJ、|。片|、IOM2I成等比數(shù)列”。

例如,在教學(xué)“平均值不等式”時(shí)，學(xué)生常忽略應(yīng)用公式的條件,

為了引起學(xué)生的重視，我們可依次設(shè)計(jì)如下三道練習(xí)。

練習(xí)1：已知％eR,求函數(shù)y=的值域。

X

練習(xí)2：已知0<x<l,求函數(shù)y=x(l—尤丁的最大值。

rr2

練習(xí)3：已知％G(0,—],求函數(shù)y=sin%d-----的最小值。

2sinx

在學(xué)生解題過程中，練習(xí)1普遍忽略了應(yīng)用平均值不等式的條

件，誤認(rèn)為x>0,得到的值域是[2,+00),經(jīng)更正后進(jìn)入第2小題，

結(jié)果不少學(xué)生這樣解：

I--.2

因?yàn)閤(l—%)2K尸，一立,所以當(dāng)x=(l—x)2時(shí)，即

3-石葉工+(1-％)一3-6為生梏而|函物7-3>/5

%=-y—時(shí)，---------=—^—為定值，則函數(shù)>min=---。

這顯然也是錯誤的。因?yàn)槎ㄖ挡皇窃凇跋嗟取钡臈l件下，而是先有

“定值”后有“相等”，本題應(yīng)先想辦法把工?(1