2024年高中數(shù)學(xué)同步高分突破講義(人教A版2019)2.3直線的交點(diǎn)與距離-(選擇性必修第一冊(cè))(學(xué)生版+解析)

直線的交點(diǎn)與距離1兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組A1(1)若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；(3)若方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，則兩條直線重合.2幾種距離(1)兩點(diǎn)距離公式平面上的兩點(diǎn)P1(x(2)點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0,(3)兩平行直線間的距離兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+

【題型一】直線交點(diǎn)問(wèn)題【典題1】若關(guān)于x、y的方程組x+y=mx+ny=1有無(wú)窮多組解，則m+n的值為．【典題2】已知直線kx?y+1=0和x?ky=0相交，且交點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【典題3】求過(guò)直線x+2y+1=0【典題4】若k>4，直線kx?2y?2k+8=0與2x+k2y?4鞏固練習(xí)1(★)曲線y=|x|與y=kx+1的交點(diǎn)的情況是()A．最多有兩個(gè)交點(diǎn) B．兩個(gè)交點(diǎn) C．一個(gè)交點(diǎn) D．無(wú)交點(diǎn)2(★)關(guān)于x,y的二元一次方程組mx+y=?13mx?my=2m+3無(wú)解，則m=3(★)若三條直線2x+3y+8=0，x?y?1=0和x+ky=0交于一點(diǎn)，則k的值為．4(★★)直線kx?y?1=0與直線x+2y?2=0的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．5(★★★)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)M(4,2)，點(diǎn)N在線段OA的延長(zhǎng)線上．設(shè)直線MN與直線OA及x軸圍成的三角形面積為S，則S的最小值為．【題型二】距離問(wèn)題情況1兩點(diǎn)間的距離【典題1】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【典題2】設(shè)a,b∈R，a?12【典題3】已知m∈R，動(dòng)直線l1：x+my?2=0過(guò)定點(diǎn)A，動(dòng)直線l2：mx?y?2m+3=0過(guò)定點(diǎn)B，若l1與l2交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A,B【典題4】已知點(diǎn)A(4,0),B(0,2)，對(duì)于直線l：x?y+m=0的任意一點(diǎn)P，都有PA2+PB2>18情況2點(diǎn)到直線的距離【典題1】已知曲線C：xy=27和直線l：3x+4y=0，點(diǎn)M在曲線C上，點(diǎn)N在直線l上，則|MN|的最小值是．【典題2】已知直線l方程為2+mx+1?2my+4?3m=0．那m【典題3】設(shè)直線l1：y=k1x+1，l2：y=(1)證明：直線l1與l(2)試用解析幾何的方法證明：直線l1與l(3)設(shè)原點(diǎn)到l1與l2的距離分別為d1和d情況3兩平行線間的距離【典題1】若平面內(nèi)兩條平行線l1：x+a?1y+2=0，l2：ax+2y+1=0間的距離為35【典題2】正方形ABCD一條邊AB所在方程為x+3y?5=0，另一邊CD所在直線方程為x+3y+7=0，(1)求正方形中心G所在的直線方程；(2)設(shè)正方形中心G(x0,鞏固練習(xí)1(★)已知△ABC的頂點(diǎn)為A(2,1)，B(?2,3)，C(0,?1)，則AC邊上的中線長(zhǎng)為．2(★)點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y?12=0的距離的取值范圍為．3(★)到直線3x－4y+1=0的距離為3且與此直線平行的直線方程是．4(★★)兩條平行線l1,l2分別過(guò)點(diǎn)P(?1,2)，Q(2,?3)，它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l15(★)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,10)，且原點(diǎn)到它的距離為5，則直線l的方程為．6(★★)已知點(diǎn)M(a,b)在直線l：3x+4y=25上，則a2+b7(★★)若直線m被兩平行線l1：x?3y+1=0與l2：x?3y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為8(★★)已知實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則點(diǎn)P(2,?1)到直線ax+by+c=0的最大距離是．9(★★)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P(a,b)到直線l1：y=12x和l2：y=?2x10(★★★)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a,a)，P是函數(shù)y=1x(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為22，則滿足條件的實(shí)數(shù)11(★★★)已知點(diǎn)P,Q分別在直線l1：x+y+2=0與直線l2：x+y?1=0上，且PQ⊥l1，點(diǎn)A(?3,?3)，B(3直線的交點(diǎn)與距離1兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組A1(1)若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；(3)若方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，則兩條直線重合.2幾種距離(1)兩點(diǎn)距離公式平面上的兩點(diǎn)P1(x(2)點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0,(3)兩平行直線間的距離兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+

【題型一】直線交點(diǎn)問(wèn)題【典題1】若關(guān)于x、y的方程組x+y=mx+ny=1有無(wú)窮多組解，則m+n的值為【解析】關(guān)于x、y的方程組x+y=mx+ny=1有無(wú)窮多組解，則直線x+y=m和直線x+ny=1重合，故m=1，n=1，所以m+n=2．【典題2】已知直線kx?y+1=0和x?ky=0相交，且交點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【解析】聯(lián)立方程kx?y+1=0x?ky=0，解得x=k1?因?yàn)榻稽c(diǎn)在第二象限，所以k1?k2故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?1,0)．【典題3】求過(guò)直線x+2y+1=0【解析】方法1(求出交點(diǎn)，再用截距式求解)由x+2y+1=02由于直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，(截距相等要注意是否為0)(i)當(dāng)截距為0，此時(shí)直線方程為y=kx，代入點(diǎn)P得k=1即所求直線方程為x?3(ii)當(dāng)截距不等于0，設(shè)直線方程為xa+ya=1此時(shí)所求直線方程為5x綜上所述，所求直線方程為x?3y=0方法2設(shè)所求直線方程為x+2(i)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則1+λ=0，則此時(shí)所求直線方程為x?3(ii)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，令x=0，解得y=λ+1λ由題意得λ+1λ?2=?λ(?)中不包括直線2x綜上所述，所求直線方程為x?3y=0【點(diǎn)撥】本題中方法2采取了直線系方程的方法.過(guò)兩條已知直線l1:AA(λ∈R,這個(gè)直線系下不包括直線l2:A【典題4】若k>4，直線kx?2y?2k+8=0與2x+k2y?4【解析】(確定所求的四邊形面積，要四邊形的圖象，即了解兩條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與兩直線的交點(diǎn))由kx?2y?2k+8=02x+k2y?4k而直線L：kx?2y?2k+8=0與x軸的交點(diǎn)A(2?8直線M：2x+k2y?4k2?4=0與x軸的交點(diǎn)(由k>4，很容易確定各點(diǎn)的位置)如圖所示，∴=1=4∵k>4，∴0<1則174故k>4時(shí)，所求面積的取值范圍是(17【點(diǎn)撥】①根據(jù)題意畫(huà)出正確的圖象是正確求解的基礎(chǔ)，對(duì)于含參的直線，要注意它是否存在定點(diǎn)、斜率的正負(fù)、與x、y軸交點(diǎn)的位置等.②而定點(diǎn)如何確定，如直線M：2x+k2y?4k2鞏固練習(xí)1(★)曲線y=|x|與y=kx+1的交點(diǎn)的情況是()A．最多有兩個(gè)交點(diǎn) B．兩個(gè)交點(diǎn) C．一個(gè)交點(diǎn) D．無(wú)交點(diǎn)【答案】A【解析】聯(lián)立兩條直線方程得：y=|x|y=kx+1得到|x|=kx+1兩邊平方得：k2當(dāng)k2－1≠0即k≠±1時(shí)，得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)k=±1時(shí)，得到y(tǒng)=±x+1，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．所以曲線y=|x|與y=kx+1的最多有兩個(gè)交點(diǎn)．2(★)關(guān)于x,y的二元一次方程組mx+y=?13mx?my=2m+3無(wú)解，則m=【答案】0【解析】m=0時(shí)，方程組化為：y=?m≠0時(shí)，兩條直線平行時(shí)，可得：m3m綜上可得：m=0．3(★)若三條直線2x+3y+8=0，x?y?1=0和x+ky=0交于一點(diǎn)，則k的值為．【答案】?1【解析】依題意，2x+3y+8=0x?y?1=0，解得x=∴兩直線2x+3y+8=0和x－y－1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,－2)．∵直線x+ky=0，2x+3y+8=0和x－y－1=0交于一點(diǎn)，∴－1－2k=0，∴k=?4(★★)直線kx?y?1=0與直線x+2y?2=0的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【答案】(?1【解析】由題意可得kx?y?1=0x+2y?2=0∴41+2k>0且2k?15(★★★)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)M(4,2)，點(diǎn)N在線段OA的延長(zhǎng)線上．設(shè)直線MN與直線OA及x軸圍成的三角形面積為S，則S的最小值為．【答案】12【解析】設(shè)MN與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則MN：y=24?a(x?a)，直線OA由y=2xy=2S=12?a?故答案為：12．【題型二】距離問(wèn)題情況1兩點(diǎn)間的距離【典題1】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【解析】如圖，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)P，P到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)的距離之和為：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)Q即為所求距離之和最小的點(diǎn)．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,?1)，∴AC,BD的方程分別為：y?26?2=x?1即2x?y=0，x+y?6=0．解方程組&2x?y=0&x+y?6=0得Q(2,4)【點(diǎn)撥】本題是從幾何方法入手，利用“一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小值為兩定點(diǎn)距離”的三點(diǎn)共線最值模型求解；若設(shè)P(x,y)，再利用兩點(diǎn)距離公式求解，就很麻煩了！【典題2】設(shè)a,b∈R，a?12【解析】從幾何意義看，a?12+b?12+a+12+其最小值為(1,1)和(?1,?1)兩點(diǎn)間的距離22【點(diǎn)撥】本題是函數(shù)最值問(wèn)題，但很巧妙的使用了兩點(diǎn)距離公式從而化為幾何最值問(wèn)題.

平面上的兩點(diǎn)P1(x1,【典題3】已知m∈R，動(dòng)直線l1：x+my?2=0過(guò)定點(diǎn)A，動(dòng)直線l2：mx?y?2m+3=0過(guò)定點(diǎn)B，若l1與l2交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A,B【解析】l1:x+my?2=0可變形為(x?2)+my=0，過(guò)定點(diǎn)A(2,0)l2：mx?y?2m+3=0可變形為mx?2?(y?3)=0方法1代數(shù)法由x+my?2=0mx?y?2m+3=0可得交點(diǎn)P(則PA=3mm設(shè)a=3m2+1，則a+b22≤即|PA|+|PB|的最大值為32，當(dāng)m=±1方法2幾何法觀察直線斜率可知直線l1與直線l則有PA⊥PB，且PA2+(相當(dāng)于方法1的a2“已知PA2+PB想到基本不等式)由PA所以(PA即|PA|+|PB|≤32，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|所以|PA|+|PB|的最大值為32【思考】體會(huì)下兩種方法的異同與優(yōu)劣性，方法1中PA+【典題4】已知點(diǎn)A(4,0),B(0,2)，對(duì)于直線l：x?y+m=0的任意一點(diǎn)P，都有PA2+PB2>18【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)P在直線l：x?y+m=0上，設(shè)P的坐標(biāo)為(x,x+m)，則有PA2=x?4=4x若對(duì)于直線l：x?y+m=0上的任意一點(diǎn)P，都有PA2則4x即4x2+(4m?12)x+(2則有△=4m?122－16(2解可得m>?1+22或m<?1?2即m的取值范圍為(?∞,?1?22【點(diǎn)撥】本題采取設(shè)元的方法，把PA2情況2點(diǎn)到直線的距離【典題1】已知曲線C：xy=27和直線l：3x+4y=0，點(diǎn)M在曲線C上，點(diǎn)N在直線l上，則|MN|的最小值是．【解析】設(shè)點(diǎn)M(a,b)，則ab=27，|MN|取到最小值時(shí)是點(diǎn)M到直線l的距離，點(diǎn)M到直線l的距離為d=3a+4b∴d∴|MN|的最小值是365【典題2】已知直線l方程為2+mx+1?2my+4?3m=0．那m【解析】方法一函數(shù)法點(diǎn)Q到直線l的距離d=3則d令t=?56m+33，則?56m+33m由對(duì)勾函數(shù)易得t+4225t?66≥64(當(dāng)t=65時(shí)取到等號(hào))則0≤3136tt故當(dāng)t=65，即m=?47時(shí)，d2取到最大值4方法二幾何法直線2+mx+1?2my+4?3m=0由x?2y?3=0?2x?y?4=0，得x=?1∴直線必過(guò)定點(diǎn)(?1,?2)．當(dāng)點(diǎn)Q(3,4)到直線的距離最大時(shí)，QP垂直于已知的直線，即點(diǎn)Q與定點(diǎn)P(?1,?2)的連線就是所求最大值，此時(shí)直線PQ與直線2+mx+∵kPQ=?2?4?1?3此時(shí)，點(diǎn)Q(3,4)到直線的最大距離是(3+1)綜上所述，m=?47時(shí)，點(diǎn)Q(3,4)到直線的距離最大，最大值為【點(diǎn)撥】體會(huì)下兩種方法的優(yōu)劣性.【典題3】設(shè)直線l1：y=k1x+1，l2：y=(1)證明：直線l1與l(2)試用解析幾何的方法證明：直線l1與l(3)設(shè)原點(diǎn)到l1與l2的距離分別為d1和d【解析】證明：(1)(只需證明k1反證法：假設(shè)l1與l則l1與l2平行，有代入k1k2這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，∴k1≠k(2)由(1)知k1≠解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)為x=2而x2即l1與l2的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離為3d(從函數(shù)的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元)=1=1+k=1+k1=1+當(dāng)|k1|=1即k1=±1【點(diǎn)撥】對(duì)于一些常見(jiàn)的式子(或模型)的處理手段要掌握好，這是基本功.情況3兩平行線間的距離【典題1】若平面內(nèi)兩條平行線l1：x+a?1y+2=0，l2：ax+2y+1=0間的距離為35【解析】∵平面內(nèi)兩條平行線l1：x+(a?1)y+2=0，l2：∴1a=a?12當(dāng)a=2時(shí)，兩條平行直線即l1：2x+2y+4=0，l2：它們之間的距離為|4?1|4+4當(dāng)a=?1時(shí)，兩條平行直線即l1：x?2y+2=0，l2：它們之間的距離為|2+1|1+4故實(shí)數(shù)a=?1．【點(diǎn)撥】用兩平行直線距離公式時(shí)，要確定x、【典題2】正方形ABCD一條邊AB所在方程為x+3y?5=0，另一邊CD所在直線方程為x+3y+7=0，(1)求正方形中心G所在的直線方程；(2)設(shè)正方形中心G(x0,【解析】(1)由于正方形中心G所在直線平行于直線x+3y?5=0，設(shè)中心所在直線為x+3y+c=0，由平行線間的距離公式得|c+5|12+則正方形中心G所在的直線方程為x+3y+1=0；(2)正方形的邊長(zhǎng)即為平行直線AB與CD間的距離d=|7+5|設(shè)正方形BC所在直線方程為3x?y+m=0，(用到了正方形內(nèi)角是直角的性質(zhì))由于中心G(x0,y0那么|3x0?y0又因?yàn)镚在直線x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0把②代入①得m=±6?10x0聯(lián)立方程x+3y?5=03x?y+m=0，解得x=由于正方形只有兩個(gè)點(diǎn)在第一象限，那么x>0y>0，就是?3m+510>0m+1510把③代入④得到?15<±6?10x0故x0的取值范圍為(【點(diǎn)撥】結(jié)合圖象，充分利用圖象的性質(zhì)得到變量的限制要求，從而求出變量范圍.鞏固練習(xí)1(★)已知△ABC的頂點(diǎn)為A(2,1)，B(?2,3)，C(0,?1)，則AC邊上的中線長(zhǎng)為．【答案】32【解析】根據(jù)題意，設(shè)AC的中點(diǎn)為D，△ABC的頂點(diǎn)為A(2,1),B(－2,3),C(0,－1)，則D(1,0)，|BD|=9+92(★)點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y?12=0的距離的取值范圍為．【答案】[7【解析】記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y－12=0的距離，即：d=15|3cosθ+4sinθ－12|=當(dāng)θ變化時(shí)，d的最大值為175，d的最小值為73(★)到直線3x－4y+1=0的距離為3且與此直線平行的直線方程是．【答案】3x－4y+16=0或3x－4y－14=0【解析】由平行關(guān)系可設(shè)所求直線的方程為3x－4y+c=0，由平行線間的距離公式可得|c?1|3解得c=16，或c=－14∴所求直線的方程為：3x－4y+16=0，或3x－4y－14=04(★★)兩條平行線l1,l2分別過(guò)點(diǎn)P(?1,2)，Q(2,?3)，它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則【答案】(0,34]【解析】當(dāng)PQ與平行線垂直時(shí)，|PQ|為平行線之間的距離的最大值，|PQ|=(?1?2∴則l1,5(★)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,10)，且原點(diǎn)到它的距離為5，則直線l的方程為．【答案】x=5或3x?4y+25=0【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)直線方程為x=5，滿足原點(diǎn)到它的距離為5，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為y?10=k(x?5)，變形為kx?y+10?5k=0∴d=|10?5k|k6(★★)已知點(diǎn)M(a,b)在直線l：3x+4y=25上，則a2+b【答案】5【解析】∵a2+b2的幾何意義是點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)M∴a2+b2的最小值為點(diǎn)O又d=25∴a7(★★)若直線m被兩平行線l1：x?3y+1=0與l2：x?3y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為【答案】120°【解析】由兩平行線間的距離為|1?