提優(yōu)專題20 作平行線和作垂線構造相似三角形的技巧（原卷版）

專題20構造相似三角形的技巧（原卷版）技巧一做平行線構造“A”型相似典例1（邵陽中考）如圖1所示，在△ABC中，點O是AC上一點，過點O的直線與AB，BC的延長線分別相交于點M，N．【問題引入】（1）若點O是AC的中點，AMBM=1溫馨提示：過點A作MN的平行線交BN的延長線于點G．【探索研究】（2）若點O是AC上任意一點（不與A，C重合），求證：AMMB?BNNC?CO【拓展應用】（3）如圖2所示，點P是△ABC內任意一點，射線AP，BP，CP分別交BC，AC，AB于點D，E，F，若AFBF=13，變式訓練1．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，已知：正方形ABCD，點E在CB的延長線上，連接AE、DE，DE與邊AB交于點F，FG∥BE交AE于點G．（1）求證：GF＝BF；（2）若EB＝1，BC＝4，求AG的長；（3）在BC邊上取點M，使得BM＝BE，連接AM交DE于點O．求證：FO?ED＝OD?EF．2．（2018?黃石）在△ABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點（不與A、B、C重合）．（1）如圖1，若EF∥BC，求證：S（2）如圖2，若EF不與BC平行，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）如圖3，若EF上一點G恰為△ABC的重心，AEAB=3技巧二做平行線構造“X”型相似典例2（2021春?招遠市期末）探究：某學校數學社團遇到這樣一個題目：如圖①，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO：CO＝1：3，求AB的長．經過社團成員討論發(fā)現，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，連接BD，如圖②所示，通過構造△ABD就可以解決問題．請你寫出求AB長的過程．應用：如圖③，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝33，請你求出AB的長．

針對訓練1．（2019?樂山）在△ABC中，已知D是BC邊的中點，G是△ABC的重心，過G點的直線分別交AB、AC于點E、F．（1）如圖1，當EF∥BC時，求證：BEAE+（2）如圖2，當EF和BC不平行，且點E、F分別在線段AB、AC上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．（3）如圖3，當點E在AB的延長線上或點F在AC的延長線上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．2．（2021秋?簡陽市期中）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，BD＝2DC，E為線段AD上一點，∠BED＝∠BAC．（1）求證：∠ABE＝∠CAD；（2）過點C作CF∥BE交AD的延長線于點F，試探索AE與CF的數量關系；（3）如圖2，若AD＝BD，AB＝6，求CE的長．

技巧三作垂線構造直角三角形相似典例3（2017?臺江區(qū)校級自主招生）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝6，BC＝3，DE⊥AB于E，AC交DE于F．（1）求AE?AB的值；（2）若CD＝4，求AFFC變式訓練1．如圖，△ABC中，AB＝AC，E、F、G分別是BC、AB、AC上一點，∠FEG＝2∠B．（1）求證：∠BFE＝∠AGE；（2）若BECE=1技巧四作垂線構造“三垂直”型相似典例4（2020?浙江自主招生）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經過點A，B，C，則邊AC的長為（）A．23 B