華東師范大學數(shù)學系《數(shù)學分析》考點講義

目錄 第一部分一元數(shù)學分析第一篇極限論 3第1章數(shù)列的極限 3第2章函數(shù)的極限 8性 12第4章實數(shù)的完備性 14極限論的總結 16第二篇微分論 17第1章微分和導數(shù) 17第2章微分中值定理 19第3章函數(shù)的幾何性質 23微分論的總結 26第三篇積分論 27第1章不定積分 27第2章定積分 31第3章可積性理論 35第4章定積分的應用 37第5章反常積分 39積分論的總結 40第四篇級數(shù)論 41第1章數(shù)項級數(shù) 41第2章函數(shù)項級數(shù) 44第3章冪級數(shù) 47第4章傅里葉級數(shù) 50級數(shù)論的總結 53第二部分多元數(shù)學分析第五篇多元函數(shù)極限論 54第1章平面點集知識 54第2章多元函數(shù)的極限 55第3章多元函數(shù)的連續(xù)性 56多元函數(shù)極限論的總結 57第六篇多元函數(shù)微分論 59第1章多元函數(shù)可微性 59第2章泰勒公式和極限問題 62第3章可微性在幾何方面的應用 64第4章含參變量的積分 66多元函數(shù)微分論的總結 70第七篇多元函數(shù)積分論 71第1章二重積分 71第2章三重積分 73第3章曲線積分 76第4章曲面積分 79多元函數(shù)積分論的總結 84路緒論一、數(shù)學分析在數(shù)學系本科中的地位為數(shù)學系研究生的三高．數(shù)學分析學習得好與不好，不但決定了其它數(shù)學課學得好與不好，也確定了你考上研究生后起跑線的前后．因此，同學們復習好數(shù)學分析，不僅僅是要考上研究生，更重要的是考上研究生后，能夠勝任研究生階段的學習．2．數(shù)學分析300課時左右(三學期)，解析幾何100課時左右(一學期)，高等代數(shù)200課時左右 (二學期)，其它課程也就是一學期60－80個課時．這是權威的課時安排．不是一個院系或某個人的教學安排．是長期教學實踐的結果．從這個課時的分布也可以看出數(shù)學分析在整個數(shù)學系本科教育中的地位和影響．3．正因為以上所述，數(shù)學分析成為考研的兩門基礎課之一．換句話說，數(shù)學分析決定了你是否有機會進一步深造的可能性．(極限論|微分論一元數(shù)學分析〈級數(shù)論|級數(shù)論多元數(shù)學分析以一元數(shù)學分析為基礎，一元數(shù)學分析以極限論為基礎．七大塊之間相互有關系，形成一個有機的統(tǒng)一體．三、數(shù)學分析考研輔導的指導思想對定義有感性的認識(即幾何直觀)；深刻理解不同定義間的主要聯(lián)系(即定理)；掌握分析問題的方法(即解題思路)．—2—華東師范大學數(shù)學系整個課程由三個階段組成：目標：力保百分之60到70的基本分．方法：按考點之間的聯(lián)系展開，以高頻考點為精講對象，通過典型例題深入提．第二階段：《名校真題解析及典型題精講精練》(40課時左右)方法：通過近幾年名校經(jīng)典試題的分析，加深對重要定理的理解，熟練地掌握典型問題中的一些常規(guī)的技能和技巧．第三階段：《沖刺大串講及模擬四套卷精講》(20課時左右)目標：穩(wěn)固第一階段和第二階段的成果，從整體上把握數(shù)學分析的基本思想和解題技能，力爭在考研中取得高分．方法：以極限為主線，提煉數(shù)學分析七大部分的精華；通過四套模擬卷的精講，再現(xiàn)典型問題中解決問題的典型方法．1．準備報考數(shù)學專業(yè)研究生的同學2．準備報考數(shù)學一類且想取得高分的同學寄語數(shù)學分析，對老師和學生來說，都是數(shù)學系中最具挑戰(zhàn)性的一門基礎專業(yè)課．我將盡我最大的努力，把近三十年對數(shù)學分析的理解貫穿在整個的教學之中．希望通過本課程三個階段這個階段學習，讓同學們從害怕數(shù)學分析到喜歡數(shù)學分析，從支離破碎的概念到從整體上把握數(shù)學分析的基本思想和基本內容，從做題無處下手到遇題不慌，沉著迎戰(zhàn)的良好心理狀態(tài)．我相信，在我們共同努力下，同學們一定會在數(shù)學分析方面取得長足的進步，在考研中取得理想的成績．—3—路第一篇極限論第1章數(shù)列的極限第2章函數(shù)的極限第3章函數(shù)的連續(xù)性極限論的總結第1章數(shù)列的極限極限分為數(shù)列極限和函數(shù)極限．數(shù)列極限從形式來看要比函數(shù)極限簡單，便于掌握．它是學習函數(shù)極限的基礎．這章是歷年考研的熱點之一．從形式上看有選擇題、填空題、計算題和證明題．分值從幾分(選擇題和填空題)到10多分(計算題和證明題)不等，題的難度從低到高都有．對極限思想的理解和幾何直觀是本章的難點．要求：1．會應用本章的四種方法求極限或證明極限等式．2．會應用數(shù)列極限的基本性質做證明題．2．上(下)確界 (一)基本定義和概念：要點2：數(shù)列極限的分析定義及幾何定義；—4—要點3：數(shù)集的上(下)確界； (1)上確界的定義設S為一個非空數(shù)集．若數(shù)η滿足條件： (2)下確界的定義設S為一個非空數(shù)集．若數(shù)ξ滿足條件： 作ξ＝infS上確界和下確界統(tǒng)稱為確界． (3)確界的基本性質①infS≤supS；確界是唯一的；③最大(小)值是上(下)確界，反之不成立； (4)確界原理設S是非空的數(shù)集，若S有上界，則S有上確界；若S有下界，則S有下確界．確界原理是實數(shù)完備性七個等價定理之一．其他六個都可以由它直接或間接推出．因為確界原理來源于分析學的基礎，即實數(shù)理論．本教材是講數(shù)學分析的，所以沒有要求同學們知道它的證明過程．故給它起名確界原理而沒有用定理二字．定理是需要證明的，而原理是可以不給予證明的，只需要承認它就可以了．確界原理告訴我們：有上(下)界的非空數(shù)集不一定有最大(小)值，但一定有上(下)確界．確界實質上是最(大，小)值的推廣．將確界原理推廣為： (5)廣義確界原理若數(shù)列{an}收斂，則它只有一個極限．性定理若數(shù)列{an}收斂，則它為有界數(shù)列．性定理n→w—5—路要點7：保號性定理的推論n→wn→wn→wn→w等式性n→wn→wn→wn→wn→wn→wn→wn→wn→wn→w注：這是求極限的重要方法之一，是求極限的第三種方法(前兩個分別是按極限的定義，按運算公式)．重點是考生要對常見的數(shù)列極限(對應定理中的{an}和{bn})熟悉．數(shù)列{an}收斂于a的充分必要條件是：它的任意子列{ank}也收斂于a．注：此定理經(jīng)常用來證明數(shù)列的極限不存在．上述定理的變形數(shù)列{an}收斂的充分必要條件是：它的任意子列{ank}也收斂．分析：這只需要證明所有的子列均收斂于同一個值即可． {ank}和{anl}是兩個子列．我們可以將他們拼成一個新子列{anm}．{ank}和{anl}是{anm}的子列，故{ank}和{anl}的極限相同．單調有界的數(shù)列必有極限．n nn→wn (2)反例有界的數(shù)列必有收斂的子列．致密性定理是單調有界定理的弱化，即條件減弱，結論也減弱．則稱數(shù)列{an}滿足柯西條件．數(shù)列{an}收斂的充要條件是滿足柯西條件．注：單調有界定理和柯西收斂準則均是用來證明極限存在的定理，并沒有告訴極限是什么．盡管—6—＋＋＋＋…＋ 再求極限． (二)總結求極限的方法：式n→wn→wn n→wn→wn下面的5道題是書上P24~P26，P31的例題．它們是這一類題的標準模式．希望同學們能認真研讀它們，并將結果當定理記下來．n→wnn→wnn→w [1－2]利用[1－1]證明下列等式：23n23nn→wn利用[1－1]的思想，我們也可以證明： n→wn→w此題留給同學們做課后練習．我們會在后繼課程中給予答案．方法2：根據(jù)極限運算公式求極限 —7—路n→wn→w留給同學做練習，將在后繼課程中給予答案 2 2n→wmbnn→w與上道題類似的是下邊的[1－11]，留給同學們思考．我們將在以后的后繼課程中給出答案． 都存在且等于^．最后，我們講一講怎樣證明數(shù)列極限不存在．這類題一般用(1)柯西收斂準則；或(2)數(shù)列收斂的充分必要條件：每個子列都收斂(且收斂于同一個值)． 判別題(正確的說明理由，錯誤的舉出反例)n→wn→wn→wn→w 分)n→wanan→wn→w 限lim1·3·5…(2n－限limn→w2·4·6…(2n)2．要記住一些常見的求和公式．這些公式在求極限時起著非常重要的作用．例如：n ni＝03．要記住一些常見的數(shù)列極限．這些極限在求別的極限時會用到的；幾何直觀，不能死記硬背．5．在下一章中，我們會看到數(shù)列極限的性質在函數(shù)極限中都有對應的定理．因此對數(shù)列極限的理解和掌握直接影響對函數(shù)極限的學習．第2章函數(shù)的極限我們可以把一個數(shù)列看成是一個定義域為全體正整數(shù)集合上的函數(shù)．因此數(shù)列極限可以看成是特殊的函數(shù)極限．反之，通過海涅定理，函數(shù)的極限問題可以轉換為數(shù)列的極限問題．從形式上看，函數(shù)極限要比數(shù)列極限復雜．但本質是一樣的：它們都是用來描述當自變量趨于某值(包含∞，＋∞和－∞)時，函數(shù)隨自變量的趨近狀態(tài)．求函數(shù)極限或證明函數(shù)極限存在是考研的熱點之一．題型從填空題、選擇題、計算題到證明題．考分從幾分到十幾分都可能出現(xiàn)．要求：1．會用定義或公式求函數(shù)極限或證明函數(shù)極限存在；2．根據(jù)極限(或左、右側極限)存在求參數(shù)；3．利用兩個重要極限求函數(shù)極限(即求極限的第五種方法)；4．利用等價無窮小量求極限(即求極限的第六種方法)；5．掌握相關的基本定理，注意函數(shù)極限定理和和數(shù)列極限定理之間的對應關系．4．無窮小量和無窮大量；要點1函數(shù)極限的六種形式a)自變量趨于某實數(shù)時xxxxx→x－0xxxxx→x－0b)自變量趨于無窮大時x→wx→＋wx→－wx→wx→＋wx→－w—9—路注：能用ε－δ數(shù)學分析語言熟練地刻畫上邊六種極限是數(shù)學分析的基本功．同學們應該把它們作為課后練習做一做．六種極限間的關系：xxx→xx→x－0limf(x)存在的充要條件是limf(xxxx→xx→x－0limf(x)存在的充要條件是limf(x)和limf(x)存在且相等xwx→＋wx→－w 要點2函數(shù)極限的基本性質我們知道函數(shù)的極限有六種形式．因此每一個函數(shù)極限的性質或者定理都有六種形式．只要大家掌握函數(shù)極限的幾何直觀，這些形式上的問題不會成為學習中的攔路虎．下邊，我們將以x→x0為例，闡述函數(shù)極限的基本性質和定理．1)海涅定理x→x0設f在U0(x0，a)內有定義．limf(x)存在的充分必要條件是：對任何含于U0(x0，a)且以x→x0w為極限的數(shù)列{xn}，極限limf(xn)w注1：海涅定理是數(shù)列極限和函數(shù)極限之間的橋梁．此定理蘊含著函數(shù)極限的問題均可轉換為數(shù)列極限的問題．這也是我們一再強調數(shù)列極限重要性的原因之一．注2：海涅定理對應數(shù)列極限定理中的“數(shù)列和子列收斂的關系”定理．注3：利用海涅定理可以證明函數(shù)極限不存在，見下邊的例 [2－2]證明limcosx不存在． 2)唯一性定理x→x0x→x03)局部有界性x→x0limfx)存在，則f在x0的某空心領域U0(x0x→x04)局部保號性x→x05)保不等式性x→xx→xx→x0x→x0x→x0x→x06)迫斂法，又名夾擊法xxx→x0x→x0xxx→x0x→x07)單調有界定理若f在U(x0)上單調有界，則limf(x)8)柯西收斂準則xax→x0意的x′，x″=U0(x0，δ)，有f(x′)－f(x″)＜ε．注：上述這些定理除過書上給出的證明外，還可以海涅定理給予證明．數(shù)列極限性質和函數(shù)極限性質的對比圖數(shù)列極限函數(shù)極限數(shù)列和子列的收斂關系海涅定理唯一性唯一性有界性局部有界性保號性局部保號性保不等式性保不等式性夾擊性夾擊法四則運算四則運算數(shù)列的單調有界定理單側極限的單調有界定理柯西收斂準則柯西收斂準則需要強調的是關于數(shù)列求極限的四種方法，即根據(jù)定義，根據(jù)公式，夾擊法，已知極限存在求極限同樣也適用于求函數(shù)極限． x→0xx→0xx→0xx→0x利用兩個重要極限求極限是考研的熱點之一．通常以選擇題和填空題形式出現(xiàn)．只要大家掌握規(guī)，這種分是容易拿到手的．這也是我們求極限的第五種方式．x x w量為說話方便，我們約定limf(x)代表六種極限中的任意一種．路當limf(x)＝0時，我們就說f是在自變量趨近某值時的無窮小量．例如：如果limf(x)＝0，我們就說f是x→－個非常小的值．當limf(x)＝w，(＋w，－w)時，我們就說f是在自變量趨近某值時的(正，負)無窮大量．x→w例如：如果limf(x)＝＋w，我們就說f是x→x→w一個非常大的值．為了比較同一狀態(tài)下(即自變量趨近同一個值)兩個無窮小量收斂于零的速度大小，我們引進下x→x0x→x0alimalimxfg無窮小量，或g為f的低階無窮小量，記作x對等價無窮小量，我們可以用來替換求極限，即第六個求極限的方法．乘除替換定理x→x0x→x0x→w [2－7]求極限x→w． x→ax→a [2－9](課本上的習題，湖北大學2001年，天津大學1998年)x→w設函數(shù)f在(0，＋w)上滿足條件f(x)＝f(2x)，且limf(x)＝A，證明f(x)＝A，x∈(0，＋x→w分析：考研的證明題不會簡單到直接使用定理就可以得出證明．你一定要分析：目標，條件，目標和條件之間的聯(lián)系(即定理) 1x→01．函數(shù)極限有六種形式，因此每一個定理也有六種變形；同理無窮大量有十八種形式，每一個定理都有十八種變形．應用數(shù)學分析語言(即ε－δ語言)描述上述定義和定理是學好數(shù)學分析的基本功．2．海涅定理是連接數(shù)列極限和函數(shù)極限的橋梁．它可以使數(shù)列極限的基本性質和定理很容易地轉換為函數(shù)極限的定理．正因為如此，數(shù)列極限性質和函數(shù)極限的性質有著天然的對應關系．3．截止目前，我們已總結了六種求極限的方法：定義，公式，夾擊法，極限方程，兩個重要的極限，等價無窮小量替換．隨著課程的進行，還會有新的方法出現(xiàn)．4．第一章和第二章重要概念和定義的聯(lián)絡圖．隨著課程的進行，我們的聯(lián)絡圖將會逐漸豐富起來．我們將同一章，同一篇，同一部分及整個數(shù)學分析的重要概念最終要在同一個聯(lián)絡圖中體現(xiàn)出來．一本書只有學到一頁紙時，才是自家的學問！第3章函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)是數(shù)學分析的主要研究對象．初等函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)．本章的考點是判斷連續(xù)點、間斷點及間斷點的分類，證明函數(shù)的一致連續(xù)性．題型以證明題見多．3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質．x→x0a)若limf(x)＝f(x0)(即極限號和函數(shù)符號可以交換順序)，則稱f在xx→x0b)若limf(x)＝f(x0)，則稱f在x0climfclimfxfx0)，則稱f在x0處左連續(xù)．f在x0處連續(xù)當且僅當f在x0處左、右連續(xù)．若f在定義域中的每一點處連續(xù)，則稱f為連續(xù)函數(shù)．初等函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，所以讓你證明一個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，這個函數(shù)絕對不會是初等函數(shù)，而是一些很特殊的函數(shù)，例如分段函數(shù)(像狄利克萊函數(shù)，黎曼函數(shù))等等． [3－1](教材P85，4)設f為R上的連續(xù)函數(shù)，常數(shù)c＞0．記路證明F在R上連續(xù)．要點2間斷點及其分類a)非連續(xù)點稱作間斷點；blimfxfxfx相等，則稱x0為f的可去x→xc)若limf(x)≠limf(xd)可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點，其他的間斷點(即左、右側極限至少有一個不存在)統(tǒng)稱為第二類間斷點． [3－2](教材P75，4)指出下列函數(shù)的間斷點并說明類型： 1)有界性定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在閉區(qū)間上有界．2)最大值和最小值定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在閉區(qū)間上有最大值和最小值．3)介值定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，μ是f(a)和f(b)之間的一個值(不包含f(a)和f(b))，則4)反函數(shù)的連續(xù)性fxab單調且連續(xù)，則反函數(shù)在[f(a)，f(b)]或[f(b)，f(a)]上連續(xù)．5)一致連續(xù)性若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)是一致連續(xù)函數(shù)．關于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質的考點往往是去掉閉性，加上一些條件，證明上述定理仍然成立．例如下邊的例子： [3－3](教材P85，6)w若f(x)在[a，＋w)上連續(xù)，且limf(x)存在，證明f(x)在[a，＋w)w最小值？是否是一致連續(xù)函數(shù)？ [3－4](華中師大)f(x)在(a，b)上有定義： (1)用ε－δ的方法敘述f(x)在(a，b)上一致連續(xù)的概念； ysin連續(xù)． [3－5](南開大學，山東大學)fxabfx(a，b)上一致連續(xù)的充分必要條件是limf(x)x→b－ [3－6](北師大)1．連續(xù)是局部性質，而一致連續(xù)是整體性質．2．證明定義域為非有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)函數(shù)或有界函數(shù)是考研的重點．第4章實數(shù)的完備性實數(shù)完備性的七個等價定理是數(shù)學分析的理論基礎，也是整個數(shù)學分析的難點之一．因為這七個等價定理與實數(shù)的完備性等價，故稱作完備性的七個等價定理．證明七個定理之間的等價性及七個等價定理的應用是歷年考研的重點．題型以證明題的形式出現(xiàn)．1．完備性的七個等價定理及應用；極限和下極限．要點1完備性的七個等價定理1)確界原理任意非空有上(下)界數(shù)集必有上(下)確界．2)單調有界定理單調有界數(shù)列必有極限．3)致密性定理路任意有界的數(shù)列必有收斂的子列．4)柯西收斂準則數(shù)列收斂當且僅當它滿足柯西條件．5)區(qū)間套定理ww6)有限覆蓋定理7)聚點定理實軸上任意有界的無限點集必有聚點． P試用有限覆蓋定理證明聚點定理． [4－2](P171，書上的例題)試用聚點定理證明柯西收斂準則．nwn→wknnwn→wknn→wknn→wa)上下極限永遠存在，正如上下確界永遠存在．這是數(shù)學內部發(fā)展的動力之一．bn→wc)數(shù)列的上極限是所有收斂子列極限的最大者；數(shù)列的下極限是所有收斂子列極限的最小者．d)收斂子列的極限＝數(shù)列的聚點． [4－3](P175，書上的例題)nw11nwanlimann→wnw11nwanlimann→w [4－4](P175，書上的例題)nwnw 利用實數(shù)完備性定理證明：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界． [4－6](華中師大，2000)利用閉區(qū)間套定理證明：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界． [4－7](北京科技大學)In，則存在一個正數(shù)δ，使得對[0，1]中任意兩點x′，1．完備性的七個等價定理之間的相互證明及其應用是考研的熱點．2．對書本中定理的證明要研讀．這些定理完全可能以考研題的形式出現(xiàn)．極限論的總結一元數(shù)學分析由四大部分構成：極限論，微分論，積分論和級數(shù)論．極限論是其它三部分的基礎；其它三部分可以看成特殊的極限論．因此掌握好一元函數(shù)的極限論，就等于打開了數(shù)學分析考研的大門．極限論由以下四節(jié)構成：其基本定義有3．上(下)確界；4．數(shù)列(集合)的聚點；點和間斷點；其高頻考點為：；2．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)基本性質及應用；3．實數(shù)完備性七個等價定理的相互推導及應用．路第二篇第1章微分和導數(shù)第2章微分中值定理第3章函數(shù)的幾何性質微分論的總結微分論第1章微分和導數(shù)對一元函數(shù)而言，導數(shù)和微分是相互存在的．它們之間的關系為：df＝·dx．導數(shù)是特殊的極限．它反映了函數(shù)關于自變量平均變化率的極限．導數(shù)在幾何上就是切線的斜率．在物理上就是速度．求導數(shù)，證明導數(shù)存在或不存在，是歷年考研的熱點之一．題型多為選擇題，填空題和計算題．；4．高階微分，高階微分不具有形式不變性．1．導數(shù)f′(x0)及幾何意義；2．單側導數(shù)f＋′(x0)和f－′(x0)；的關系； 22n3)參數(shù)函數(shù)的高階導數(shù)． n3)參數(shù)函數(shù)的高階導數(shù)． c．參變量函數(shù)的導數(shù)；d．導數(shù)和反函數(shù)導數(shù)的關系；e．基本初等函數(shù)導數(shù)表； [1－2]已知g為可導函數(shù)，求f(x)＝g(xg(x))的導數(shù)．要點2：高階導數(shù)及求導法則1)高階導數(shù)；k0則1)微分及幾何意義；2)利用微分進行近似計算． 3)高階微分；4)一階微分形式不變性；5)高階微分不具有形式不變性． [1－5](湖北大學) [1－6](復旦大學)已知f(x)＝(x－a)2φ(x)，其中φ′(x)在點x＝a的某鄰域內連續(xù)，求f″(a)． [1－7](廈門大學)已知f′(x)＝kex，k為常數(shù)．求f(x)的反函數(shù)的二階導數(shù)．路 [1－8](西北大學)2．會利用微分進行近似計算．3．幾何直觀上理解導數(shù)，微分的定義．第2章微分中值定理微分中值定理是微分部分的精華，是下一章利用導數(shù)和微分研究函數(shù)幾何性質的基礎，是歷年考研的熱點．題型為證明題．抓住幾何本質，是學好和用好微分中值定理的關鍵．2．中值定理的三種形式；a．洛必達法則(求極限的第八種方法，本論的第一種)；b．導數(shù)的極限定理(用于分段函數(shù)求導數(shù))；c．導數(shù)的介值定理(達布定理)；d．利用中值定理證明不等式；e．泰勒公式(求極限的第九種方法，本論的第二種)．設函數(shù)f在x0的某鄰域上有定義，且在x0可導．若點x0為f的極值點，則必有f′(x0)＝0．羅爾中值定理若函數(shù)f滿足如下條件： (ⅲ)f(a)＝f(b)；則在(a，b)上至少存在一點ξ，使得f′(ξ)＝0．拉格朗日中值定理若函數(shù)f滿足如下條件：—20— 則在(a，b)上至少存在一點ξ，使得f′(ξ)＝f(b)－f [2－1](教材P128，9)設f為[a，b]上的二階可導函數(shù)，f(a)＝f(b)＝0，并存在一點c∈(a，b)使得f(c)＞0．證明至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)＜0． [2－2](教材P163，14)fw上可導，且0元f′(x)元f(x)，f(0)＝0．證明：在[0，＋w)上f(x)＝0．柯西中值定理若函數(shù)f和g滿足如下條件： (ⅲ)f′(x)和g′(x)不同時為零； (iiii)g(a)≠g(b)；g′(ξ)g(b)－g(a)．則在(a，b)上至少存在一點ξ，使得fg′(ξ)g(b)－g(a)． [2－3](教材P136，2)fabababfb－f(a)]＝(b2－a2)f′(ξ)． [2－4](教材P136，3)設函數(shù)在點a處具有連續(xù)的二階導數(shù)，證明：＝f″(a)．要點3：中值定理的應用若函數(shù)f和g滿足 xxx→x0 (ⅱ)在x0的某空心鄰域內可導且g′(x)≠0；f′(x)x→x0g′(x) f′(x)x→x0g′(x)f(gx—21—路π4 π4x→ [2－6](教材P137，10)證明：f(x)＝x3e－x2為有界的函數(shù)．b．導數(shù)的極限定理(用于分段函數(shù)求導數(shù))設函數(shù)f在點x0的某鄰域U(x0)上連續(xù)，在相應的空心鄰域U0(x0)內可導，且極限limf′(x)存x→x0x→x0在，則f在x0可導，且f′(x0)＝limf′(xx→x0 [2－7]設試問f在x＝4處可導嗎？若可導，求其導數(shù)．c．導數(shù)的介值定理(達布定理)若函數(shù)f在[a，b]上可導，且f′＋(a)≠f′－(b)，k為介于f′＋(a)和f′－(b)之間任意實數(shù)，則存在一點ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝k． [2－8](教材P128，10)設f在(a，b)上可導，且f′單調，證明f′在(a，b)上連續(xù)． x [2－10](教材P163，5)＋fn(x0)(x－x0)n為f在x0處的泰勒多項式．帶有佩亞諾型余項的泰勒公式特別當x0＝0時，上述泰勒公式就是帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式，即常用的麥克勞林公式，這對后邊級數(shù)的學習是很有好處的．—22— 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式 特別當x0＝0時，上述泰勒公式就是帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式，即 imimxxxx412 [2－12](華中師大)fxf”(x)＝0在(a，b)內至少有一個根． [2－13](四川大學)設f為[a，b]上的二階可導函數(shù)，f(a)＝f(b)＝0，并且存在一點c∈(a，b)使得f(c)＞0．證明至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)＜0． [2－14](廈門大學)—23—路設f(x)在[0，＋w)上具有連續(xù)二階導數(shù)，又f(0)＞0，f′(0)＜0，f″(x)＜0，則在區(qū)間 [2－15](華中師大)xf＝0在(a，b)內至少有一個根． [2－16](南京航空學院)1．費馬定理和中值定理是微分學最主要的理論，也是整個數(shù)學分析最精華之一．這部分是考研的熱點，多以證明題的形式出現(xiàn)．抓住幾何直觀是做題的關鍵．2．洛必達法則(第八種求極限方法)和泰勒公式(第九種求極限的方法)是求極限的主要方法．極第3章函數(shù)的幾何性質利用微分研究函數(shù)的幾何性質，是微分學的一個主要應用．這部分考題多以選擇，填空形式出現(xiàn)，但不排除證明題和作圖題．5．函數(shù)圖象的討論．f單調增一f′(x)0；f單調減一f′(x)元0；f嚴格單調增一f′(x)＞0；f嚴格單調減一f′(x)＜0；f嚴格單調一f′(x)≠0(來自于導數(shù)的介值定理)． fx)＝x3＋ax＋b存在唯一的零點．—24—和最值極值是局部概念，最值是整體概念．x0為極值點的必要條件：f′(x0)＝0或f′(x0)不存在．為了尋求極值點，先找出滿足f′(x)＝0或f′(x)不存在的點，再根據(jù)下邊的充分條件找出極值點．x0為極值點的第一充分條件： x0為極值點的第二充分條件：fxUx，δ)內一階可導，在x0處二階可導，且f′(x0)＝0，f″(x0)≠0， (ⅱ)若f″(x0)＞0，則x0是極小值點．x0為極值點的第三充分條件：k當n為偶數(shù)時， x fnx，則x0是極小值點．當n為奇數(shù)時，x0為非極值點．尋求最值點的方法： 求函數(shù)f(x)＝2x3－x4的極值．與拐點凹凸性的定義設f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若對I上任意兩點x1和x2及任意的λ∈(0，1)，有則稱f為區(qū)間I上的凸函數(shù)；f(λx1＋(λ－1)x2)λf(x1)＋(λ－1)f(x2)則稱f為區(qū)間I上的凹函數(shù)．如果上述的不等號改為嚴格的不等號，則稱為嚴格的凸函數(shù)和嚴格的凹函數(shù)．拐點的定義—25—路注意：1．f是凸函數(shù)當且僅當－f為凹函數(shù)．因此在討論中我們只討論凸函數(shù)．對象．在這里我們將使用微分學的知識去研究它們，即老問題，新方法．凸性的等價定義設f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若對I上任意三點x1＜x2＜x3有f(x2)－f(x1)f(則稱f為區(qū)間I上的凸函數(shù)；如果上述的不等號改為嚴格的不等號，則稱為嚴格的凸函數(shù)．用一階導數(shù)刻畫凸函數(shù)設f為I上的可導函數(shù)，則下列條件等價： (ⅰ)f為I上的凸函數(shù)； (ⅱ)f′為I上的增函數(shù)； 用二階導數(shù)刻畫凸函數(shù)設f為I上的二階可導函數(shù)，則f為I上的凸函數(shù)當且僅當f″(x)＞0． 做函數(shù)圖象的一般步驟：1．求函數(shù)的定義域；2．考察函數(shù)的奇偶性、周期性；3．求函數(shù)的某些特殊點，如和坐標軸的交點，不連續(xù)點；不可導點；4．確定函數(shù)的單調區(qū)間，極值點，凸性區(qū)間及拐點；5．考察漸近線；6．綜合以上討論結果畫出函數(shù)圖象． [3－4](南京郵電學院) [3－5](中國科學院)—26—上單調遞減． [3－6](長沙鐵道學院)＜＜這一章我們給出了利用微分學定理討論函數(shù)單調性，極值，凸性的方法．老問題，新方法．最后給出了函數(shù)圖象作圖的一般步驟．希望大家在書上找一道函數(shù)圖象作圖題，仿照書上的格式做一下．微分論的總結導數(shù)是特殊的極限，是函數(shù)增量平均值的極限．導數(shù)的幾何意義是切線的斜率，物理意義是速度 (嚴格來說是速率)．費馬定理和中值定理(三種形式)是微分學的精華，有著廣泛的應用，是每年考研的要點．微分論由以下三章構成：其基本定義： 項，不定式(待定性)，極值，凸性．其高頻考點為：2．中值定理的應用；3．用導數(shù)研究函數(shù)的性質及函數(shù)圖象作圖．—27—路第三篇第1章不定積分第2章定積分第3章可積性理論第4章定積分的應用第5章反常積分積分論的總結積分論第1章不定積分從運算的角度來看，不定積分是求導數(shù)的逆運算．從作用來看，它是下章定積分計算的基礎．這部分以計算題和填空題的形式出現(xiàn)，是考研的熱點．求不定積分要比求導數(shù)難，但還是有方法可尋的．同學們應掌握常見的幾種求不定積分方法．2．幾種必須會的求不定積分的方法．若F′(x)＝f(x)，則稱f是F的導函數(shù)，F(xiàn)是f的一個原函數(shù)．f的原函數(shù)的全體，稱作f的不定積分，記作x．導數(shù)、微分和不定積分的關系： [1－1]據(jù)理說明每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù)，即不可積． [1－2]舉例說明每一個含有第二類間斷點的函數(shù)可能有原函數(shù)，也可能沒有原函數(shù)，即可積＋性不定．—28—要點2：求不定積分的方法注：積分表必須記住，因為其它求不定積分的方法最后都歸結到積分表上．在f和g可積，a和b不同時為零的情況下 設函數(shù)f在區(qū)間I上有定義，φ在區(qū)間J上可導，且φ(J)I． xtJtxx，則當 [1－4]第一換元積分法 [1－5]第二換元積分法 或—29—路 分析： [1－8]求不定積分dx．a(chǎn)kdxp－4q＜0)r2)kdt而言：對r2)kdt而言：—30—nn式就變?yōu)殛P于t的有理式．這只是一般的方法，有時要靈活應用． [1－9]求不定積分n2x．a(chǎn)))dx型不定積分(ad－bc≠0)于t的有理式積分． 分析：則此二次三項式必屬于以下三種情形之一：因此上述無理式的不定積分也就轉換為以下三種類型之一：分別做以下代換，則可以將它們化成三角函數(shù)的有理式的不定積分 —31—路此時x是t的有理式，dx也是t的有理式．這樣不定積分就轉換為關于t的有理式不定積分． [1－10]求不定積分x [1－11](北京大學) [1－12](華東師大)試求不定積分dx． [1－13](上海交通大學)試求不定積分∫dx．本章我們給出了不定積分的概念，介紹了八種求不定積分的方法．2．根據(jù)公式；3．換元積分法(第一換元積分法，第二換元積分法)；4．分部積分法；5．建立遞推式或方程；6．有理函數(shù)的不定積分；7．三角函數(shù)有理式的不定積分；．求不定積分盡管是求可導的逆運算，但是難度卻大得多，同學們在掌握好基本方法的同時，還應具體問題具體分析，采取靈活的方法．第2章定積分本章是考研的熱點．題型有選擇，填空，計算和證明．內容除過積分論的自身問題外，還牽扯到與極限論，微分論的聯(lián)系．考試的內容可以歸結為證明積分等式或不等式，求極限等．；—32—4．牛頓—萊布尼茲公式；5．積分第一中值定理和第二中值定理．分的定義和幾何意義a．閉區(qū)間的分割abn記Δi＝xi－xi－1，并記‖T‖＝{Δi}，‖T‖稱作分割T的模．fababT{x0，x1，…，xn}，任意取點ξi∈nΔi，和式)Δi稱作f在閉區(qū)間[a，b]設f是定義在閉區(qū)間[a，b]上的一個函數(shù)，J是一個確定的實數(shù)．若對任意的ε＞0，總存在一個n)Δi－J＜ε，則稱f在閉區(qū)間[a，b]上(黎曼)可積，數(shù)J稱作f在閉區(qū)間[a，b]上的定積分n [a，b]稱作積分區(qū)間，a和b分別稱作定積分的下限和上限．要點2：定積分的基本性質bc．若f和g在[a，b]上可積，則f·g在[a，b]上也可積．—33—路x0推論：g．定積分的換元積分法和分部積分法要做變量還原． 和分別為變上限的定積分和變下限的定積分．變上限定積分的連續(xù)性：變上限定積分原函數(shù)存在定理：若f在[a，b]上連續(xù)，則變上限定積分—34—注：此定理是微分學和積分學的橋梁，因此被譽為微積分學的基本定理． [2－2](書上的習題)設f為連續(xù)函數(shù)，u和v均為可導函數(shù)，且可實行復合f°u和f°v．證明： [2－3]利用定積分求極限lim(1＋23＋33＋…＋n3fabab，使得x＝f(ξ)(b－a)．xbbbb xdx 積分第二中值定理：設函數(shù)f在[a，b]上可積． g(b)x．η x—35—路 x共f′(x)． [2－6](書上的習題，大連理工學院) [2－7](西北大學)求證f(x)＝t2)(sint)2ndt(n為正整數(shù))在x0上的最大值不超過． [2－8](上海交通大學)bbb2bbb2本章我們給出了定積分的定義，復習了一些最基本，也是在考研中經(jīng)常要用到的定理，特別是牛頓—萊布尼茲公式，定積分的中值定理．總結了求極限的第十種方法：利用定積分求極限．第3章可積性理論可積性理論是定積分的重要部分．這部分的考題以證明題見多．盡管這部分不是高頻考點，但是要想考入國內知名大學，這部分無論如何是不能忽略的．可積的必要條件：若函數(shù)f在[a，b]上可積，則f在[a，b]上有界．—36—要點2：達布上和和達布下和設f在[a，b]上有定義且有界．xix∈Δixix∈ΔiS(T)S(T)＝∑MiΔxi，s(T)＝∑miΔxi分別被稱為(達布)上和和(達布)下和．ii＝1ωi＝Mi－mi被稱為Δi上的振幅．達布上和和達布下和的基本性質nnnc．對任意的兩個分割T′和T″，有s(T′)共S(T″)如此，我們可以分別定義上積分和下積分如下，TT達布定理：‖T‖→0‖T‖→0f[a，b]上可積的充要條件是上下積分相等，即S＝s [3－1](書上的習題)設f和g是[a，b]上的有界函數(shù)，僅在有限個點處f(x)≠g(x)．證明：若f要點4：可積的第二充要條件：fab積的充要條件是：對任意的ε＞0，都存在一個分割T，使得nS(T)－s(T)＜ε，即∑ωiΔxi＜εn [3－2](書上的習題)設函數(shù)f在[a，b]上有定義，且對任意的ε＞0，存在[a，bfab積的充要條件是：對任意的ε＞0，η＞0，都存在一個分割T，使得—37—路∑Δxi′＜ηωi′εb．只有有限個間斷點的有界函數(shù)； [3－3](華東師大，2009)上不可積． [3－4](華中師大，2004)設f(x)是閉區(qū)間[a，b]上的可積函數(shù)．證明：ef(x)在[a，b]上也可積． [3－5](復旦大學，2003)1．設f在[0，1]上有界，則絕對可積一定可積．2．設f在[0，1]上有界且有無窮個不連續(xù)點，則f在[0，1]上不可積．我們以達布上和和達布下和為工具，給出了三個可積的充分必要條件．通過這三個充分必要條第4章定積分的應用這部分內容比較簡單，不是高頻考點，國內水平中下等的學校經(jīng)常出這方面的考題．考題以填空或計算題的形式出現(xiàn)．1．平面圖形的面積；2．由平行截面面積求體積；3．平面曲線的弧長；4．旋轉曲面的面積．充分體會在定積分應用中，“分割，近似求和，求極限”的思想．—38—當C為封閉曲線且在(α，β)上不相交時，C所圍成的圖形面積為射線θ＝α，θ＝β所圍成的曲邊扇形的面積為要點2：由平行截面面積求體積xV為Ω的體積．V＝π)]2dx要點3：平面曲線的弧長給出．則弧長公式為要點4：旋轉曲面的面積—39—路則C繞x軸旋轉一周得到的旋轉曲面的面積為則旋轉曲面的面積為 [4－1](湖南農(nóng)業(yè)大學，2009年，20分)過坐標原點作曲線y＝lnx的切線，該切線與曲線y＝lnx及x軸所圍成的平面圖形為D． (1)求D的面積A； (2)求D繞直線x＝e旋轉一圈所得到的旋轉體的體積． 求擺線t∈[0，2π]與x軸所圍圖形的面積．第5章反常積分 (注意：瑕積分的性質在形式上和無窮積分的幾乎一模一樣．瑕點類似于無窮遠點．大家在復習的時候可以做一個比較)b并稱瑕積分x是收斂的，否則稱為發(fā)散．這道題非常重要，正如無窮積分中的x． (1)柯西收斂判斷準則；—40— (2)線性性質； (3)區(qū)間和公式； (4)絕對收斂和條件收斂．c．非負函數(shù)瑕積分收斂的判斷法 (1)比較判別法； (2)比較判別法的極限形式； (1)狄利克雷判別法； (2)阿貝爾判別法． [5－6](北京大學)討論瑕積分xdx的收斂性． [5－7](北京航空學院)證明＝＝． 試證：這章我們定義了反常積分：無窮積分和瑕積分，給出了它們的基本性質，討論了收斂的判別法．這節(jié)的本質是極限．只要記住反常積分的定義，充分利用極限的性質，就能掌握好這節(jié)的內容．積分論的總結積分論是數(shù)學分析的主要內容之一．不定積分和定積分從定義上來看沒有任何關聯(lián)：一個是求導的逆運算(即不定積分)，一個是分割，取點，作和，求極限(即定積分)．兩者被牛頓—萊布尼茲定理有機的結合起來．反常積分將定積分從被積函數(shù)有界(對應瑕積分)，積分區(qū)間為有界的閉區(qū)間(對應無窮積分)中解放出來．其本質是定積分形式下的極限．本論證明題的特點是極限論，微分論和積分論的有機結合，計算題在掌握一般方法后還需要一定的技巧．重要概念之間的聯(lián)絡圖．—41—路第四篇級數(shù)論第1章數(shù)項級數(shù)第2章函數(shù)項級數(shù)第3章冪級數(shù)第4章傅里葉級數(shù)級數(shù)論的總結第1章數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)是實數(shù)加法的推廣．其本質是數(shù)列極限問題．本章是考研的熱點．題型為選擇，填空，計算和證明．考試主要內容是計算數(shù)項級數(shù)和及證明數(shù)項級數(shù)的斂散性．級數(shù)的定義及基本性質；判別法；要點1：數(shù)項級數(shù)的定義及基本性質1－1】(書上的習題)證明級數(shù)2)運算性質 (ⅱ)加法和數(shù)乘運算； (ⅱ)加減有限項不改變斂散性； (ⅲ)加括號不影響級數(shù)的收斂性及級數(shù)和．3)柯西收斂準則及收斂的必要條件；4)絕對收斂和條件收斂．—42—要點2：正項級數(shù)收斂判別法 (注意和非負函數(shù)的反常積分的收斂判別法在形式上作比較)1)正項級數(shù)收斂的充分必要條件是部分和數(shù)列有界．比較原理的極限形式：設∑un和∑vn是兩個正項級數(shù)．n→wvn比式判別法的極限形式：nunNqq＜1)根式判別法的極限形式：ww—43—nnnn)dx具有相同的斂散性．【1－3】(書上的習題)證明∑收斂，∑發(fā)散．要點3：一般項級數(shù)收斂判別法 (1)柯西收斂判別法； (2)萊布尼茲判別法：若正項級數(shù)∑un單調遞減且收斂于零，則交錯級數(shù)∑(－1)n＋1un收斂．為了給出阿貝爾判別法和狄利克雷判別法；我們需要下邊的一個公式和一個引理．kk∑εivi＝(ε1－ε2)σ1＋(ε2－ε3)σ2＋…＋(εk－1－εk)σk－1＋εkσkki＝1 k∑εivi＜3εA其中ε＝m其中ε＝mx{εk}．w anbnw數(shù)∑anbn收斂． (4)阿貝爾判別法：若數(shù)列{an}單調遞減且有界，級數(shù)∑bn收斂，則級數(shù)∑anbn收斂．要點4：絕對收斂級數(shù)的性質 (1)絕對收斂和條件收斂的本質； (2)級數(shù)重排定理； (3)級數(shù)的乘積．w [1－6](華中師大)設∑an收斂，limnan＝0w—44— [1－7](武漢大學)設∑an2收斂，證明：∑n(an＞ [1－8](北京大學)證明級數(shù)∑(－1)n收斂．本章我們給出了數(shù)項級數(shù)的一些基本概念，討論了一些最基本的收斂判別法．數(shù)項級數(shù)的收斂問題，實質上是特殊形式的數(shù)列收斂問題．反之，一個數(shù)列的收斂問題也可以看成級數(shù)的收斂問題．抓住級數(shù)的定義，利用已學到的極限理論，是學好這的關鍵．第2章函數(shù)項級數(shù)這章是考研的高頻考點．題型以證明題為主．考題內容為判斷函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)是否一致收用．可以這樣講，這章的一道考題就可以涉及到一元數(shù)學分析的四論．這章的學習是對整個一元數(shù)學分析的融會貫通．同學們可以用這章的內容來檢查對前邊所學內容的掌握程度．數(shù)的一致收斂；的性質；4．一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質．注意：正如數(shù)項級數(shù)的收斂等價于一個數(shù)列的收斂，同樣一個函數(shù)列的(一致)收斂對應一個函數(shù)項級數(shù)的(一致)收斂．同學們在復習的時候應特別注意這種對應關系． (1)函數(shù)列收斂及一致收斂的概念 (2)函數(shù)列一致收斂的判別法a)柯西一致收斂判斷準則b)函數(shù)列{fn}在區(qū)間D上一致收斂于f的充分必要條件是—45—路n→wx=Dn→wx=Dc)函數(shù)列{fn}在區(qū)間D上非一致收斂于f的充分必要條件是：存在D中的數(shù)列{xn}，使得數(shù)列 {fn(xn)－f(xn)}不收斂于零． (1)函數(shù)項級數(shù)的收斂及一致收斂的概念【2－2】對定義在(－w，＋w)上的函數(shù)項級數(shù)(幾何級數(shù))證明：當x>1時，幾何級數(shù)是發(fā)散的．D (2)函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法a)柯西一致收斂判斷準則推論：函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在D上一致收斂的必要條件是函數(shù)列{un(x)}在D上一致收斂于零．b)函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在D上一致收斂于S(x)的充分必要條件是n→wx=Dn→wx=Dc)魏爾斯特拉斯判別法d)阿貝爾判別法：設 (1)∑un(x)在區(qū)間I上一致收斂； (2)對于每個x=I，{vn(x)}是單調的； (1)∑un(x)的部分和函數(shù)列在區(qū)間I上一致有界； (2)對于每個x=I，{vn(x)}是單調的； (3)在I上vn(x)0(n→w)．阿貝爾判別法和狄利克雷判別法成立的原因：—46—其中要點3：一致收斂函數(shù)列的性質 x→x0n→wx→x0n→wx→x0 (2)關于連續(xù)性的定理：若連續(xù)函數(shù)列{fn}在區(qū)間I上一致收斂于f (2)關于連續(xù)性的定理：若連續(xù)函數(shù)列{fn}在區(qū)間I上一致收斂于f，則f是I上的連續(xù)函數(shù)．推論：若連續(xù)函數(shù)列{fn}在區(qū)間I上內閉一致收斂于f，則f是I上的連續(xù)函數(shù)． (3)關于積分的定理：若連續(xù)函數(shù)列{fn}在區(qū)間[a，b]上一致收斂，則bb (4)關于可微性的定理：設{fn}是[a，b]上的具有連續(xù)導函數(shù)的函數(shù)列．若{fn′}在[a，b]上一【2－3】(書上的習題)在上述定理中fnf(n→w)．要點4：一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質 (1)關于連續(xù)性的定理：若函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在[a，b]上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和x→x0x→x0x→x0x→x0 (3)逐項求導定理：若函數(shù)項級數(shù)∑un′(x)在[a，b]上一致收斂，且每一項都連續(xù)，同時存在x0【2－5】(書上的習題，北京大學考研題)設f在(－w，＋w)上有任意階的導數(shù)，且在任意有限區(qū)fnnwxcexc)． [2－6](書上的習題，陜西師范大學的考研題)若級數(shù)∑an收斂，則Dirichlet級數(shù)∑在[0，—47—路 [2－7](華中科技大學)證明∑(－1)n在任意有窮區(qū)間上一致收斂，但在任意一點非絕對收斂．本章我們引入了函數(shù)列(一致)收斂和函數(shù)項級數(shù)(一致)收斂的概念．這兩種收斂類似與數(shù)列收斂和數(shù)項級數(shù)的收斂．第3章冪級數(shù)冪級數(shù)是特殊的函數(shù)項級數(shù)，具有一般函數(shù)項級數(shù)不具有的