2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專題精練壓軸熱點考點03含參方程組及其應(yīng)用(原卷版+解析)

壓軸熱點考點03含參方程組及其應(yīng)用一、單選題1．隨著科研的投入，某種藥品的價格連續(xù)兩次降價，價格由原來每盒元下降到元．設(shè)平均下降率為，則，，滿足的關(guān)系式為（

）A． B． C． D．2．a(chǎn)、b為兩個不等實數(shù)，，則的值等于（）A． B．1 C． D．23．在開啟全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程中，人民的生活水平不斷提高，家庭轎車的擁有量逐年增加．據(jù)統(tǒng)計，某市年月底機動車保有量為萬輛，年月底機動車保有量為萬輛，如果該市機動車保有量年平均增長率為，符合題意的方程是（）A． B．C． D．4．“，兩地相距7500米，甲、乙兩個小組同時從地出發(fā)勻速步行到地……”．若設(shè)乙組的速度為米/分，則可列方程．由此判斷原題中缺少的部分可能是（）A．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘B．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘C．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘D．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘5．已知a，b，c均為非負(fù)整數(shù)，且，．當(dāng)時，則這三個數(shù)字組成的最大三位數(shù)可能是（

）A．340 B．430 C．520 D．6106．某科考隊分成兩支小隊進(jìn)入沙漠采集環(huán)境信息，第一小隊于早晨進(jìn)入沙漠，并于在一顆枯樹旁做了標(biāo)記，此時第二小隊進(jìn)入沙漠，走到時正好經(jīng)過枯樹看到了標(biāo)記，已知兩支小隊在距離出發(fā)點的位置相遇，設(shè)第一小隊的平均速度是，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．7．甲、乙兩個工程隊共同承擔(dān)了全長5100米的公路改造任務(wù)，乙隊每天的工作效率是甲隊的倍，甲隊先單獨工作2天后，再與乙隊共同完成剩余的工作，其中乙隊一共完成了2400米的公路改造任務(wù)．設(shè)甲隊每天能改造米公路，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．8．已知二次函數(shù)和一次函數(shù)（，為常數(shù)）．若．當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過點時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．或 B．或 C． D．二、填空題9．為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞臺，并設(shè)計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺．舞臺區(qū)域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則可列方程．

10．列方程組解題：“今有馬二、牛一，直金七兩；馬三、牛二，直金十二兩．馬、牛各直金幾何？”其大意是：2匹馬，1頭牛，一共價值7兩；3匹馬，2頭牛，一共價值12兩，問每匹馬、每頭牛各價值多少兩？設(shè)每匹馬兩，每頭牛兩．根據(jù)題意，可列方程組為．11．設(shè)拋物線，其中a，b均為實數(shù)．（1）若拋物線與x軸只有一個交點，則的值為；（2）若拋物線經(jīng)過點，則代數(shù)式的最小值為．12．若一個函數(shù)的圖像上存在橫、縱坐標(biāo)之和等于0的點，則稱該點為這個函數(shù)圖像的“零點”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，若一次函數(shù)圖像上的“零點”為點C，則當(dāng)為等腰三角形時，k的值為．13．“分田地”是《九章算術(shù)》中一個問題：“分田地，三人分之二，留三畝，問田地幾何？”意思為：一塊田地，三個人分了總面積的，剩下了畝，問這塊田有多少畝？設(shè)這塊田為畝，則的值為．14．有下列命題，其中正確命題的序號．①若，則；②在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里任意摸出1個球，摸到白球的概率是；③已知的周長等于，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距OG為；④點，都在二次函數(shù)的圖象上．若，則m的取值范圍為：；⑤若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則或6⑥求代數(shù)式的最值，可通過“換元法”求解：設(shè)，則代數(shù)式可化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值為．15．函數(shù)（b為常數(shù)）有下列結(jié)論：①圖像具有對稱性，對稱軸是直線；②當(dāng)時，函數(shù)有最小值；③若，點，在該函數(shù)圖像上，則當(dāng)時，；④若關(guān)于x的方程有四個實數(shù)根，則這四個根之和一定為．其中正確的結(jié)論是（填寫序號）16．我們學(xué)習(xí)了一元二次方程和二次函數(shù)，綜合利用它們的性質(zhì)解決問題，閱讀下列材料，回答問題：例：已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求t的最大值？解：由題意可知，當(dāng)t=0時，方程有實數(shù)解當(dāng)時，即∴設(shè)函數(shù)當(dāng)時，綜上(1)已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的最大值為；(2)已知方程有實數(shù)根，則x-2y的最大值為．三、解答題17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點，點在軸負(fù)半軸上，點在軸正半軸上，且．設(shè)點，，線段、的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個根．(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)設(shè)上述拋物線的頂點為，求直線的解析式．18．已知點在開口向上的拋物線上，若點也在此拋物線上，將拋物線在點之間的部分記為圖象（含點）．(1)求拋物線的頂點坐標(biāo)；(2)若圖象上任意兩點縱坐標(biāo)差的最大值為2，求整數(shù)的值．19．【課本再現(xiàn)】材料一：解方程：．解：把常數(shù)項移到方程的右邊，得．兩邊都加，得，即．兩邊開方，得，即或，所以，．在上例中，我們通過配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．材料二：對于某些二次三項式也可以通過配方，利用完全平方式的非負(fù)性解決其最值問題．例如：．∵，∴，即有最小值1．【嘗試運用】（1）解一元二次方程，配方后可變形為（

）A．

B．

C．

D．（2）利用配方法求的最值．【拓展應(yīng)用】（3）已知方程，求的值．20．如圖，某中學(xué)把五育并舉與減負(fù)延時服務(wù)相結(jié)合，勞動課準(zhǔn)備在校園里利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個矩形茶園，讓學(xué)生在茶園里體驗種茶活動．現(xiàn)已知校圍墻長25米，籬笆40米長（籬笆用完），設(shè)長米，矩形茶園的面積為平方米．

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；(2)當(dāng)矩形茶園的面積為200平方米時，求的長．壓軸熱點考點03含參方程組及其應(yīng)用一、單選題1．隨著科研的投入，某種藥品的價格連續(xù)兩次降價，價格由原來每盒元下降到元．設(shè)平均下降率為，則，，滿足的關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)平均下降率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)平均下降率為，依題意得：，故選：．2．a(chǎn)、b為兩個不等實數(shù)，，則的值等于（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得：，是方程的兩個根，即：，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，是方程的兩個根，即：，，，原式．故選：A．3．在開啟全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程中，人民的生活水平不斷提高，家庭轎車的擁有量逐年增加．據(jù)統(tǒng)計，某市年月底機動車保有量為萬輛，年月底機動車保有量為萬輛，如果該市機動車保有量年平均增長率為，符合題意的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用年月底機動車保有量年月底機動車保有量(該市機動車保有量年平均增長率為)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：，故選：．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．“，兩地相距7500米，甲、乙兩個小組同時從地出發(fā)勻速步行到地……”．若設(shè)乙組的速度為米/分，則可列方程．由此判斷原題中缺少的部分可能是（）A．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘B．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘C．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘D．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析和表示的意義，即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：表示乙組速度的倍，表示乙組所用時間，∴表示甲組比乙組用時少15分鐘，∴原題中缺少的部分可能是“甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘”，故選：B．【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，分析出和表示的意義．5．已知a，b，c均為非負(fù)整數(shù)，且，．當(dāng)時，則這三個數(shù)字組成的最大三位數(shù)可能是（

）A．340 B．430 C．520 D．610【答案】C【分析】根據(jù)進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】解：，且均為非負(fù)整數(shù)，①當(dāng)時，，，，，會組成四位數(shù)，不滿足題意；②當(dāng)時，，，，，故組成最大的三位數(shù)為：；③時，，，，解得：，組成最大的三位數(shù)為：綜上所述，它們最大三位數(shù)是，故選：C．【點睛】本題主要考查了三元一次方程組，掌握三元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵，同時要運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想．6．某科考隊分成兩支小隊進(jìn)入沙漠采集環(huán)境信息，第一小隊于早晨進(jìn)入沙漠，并于在一顆枯樹旁做了標(biāo)記，此時第二小隊進(jìn)入沙漠，走到時正好經(jīng)過枯樹看到了標(biāo)記，已知兩支小隊在距離出發(fā)點的位置相遇，設(shè)第一小隊的平均速度是，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求第二小隊的速度為，再根據(jù)兩隊的時間差為即列分式方程即可．【詳解】解；設(shè)第一小隊的平均速度是，則第二小隊的速度為，由題意可得：，故選：A．【點睛】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，明確題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．甲、乙兩個工程隊共同承擔(dān)了全長5100米的公路改造任務(wù)，乙隊每天的工作效率是甲隊的倍，甲隊先單獨工作2天后，再與乙隊共同完成剩余的工作，其中乙隊一共完成了2400米的公路改造任務(wù)．設(shè)甲隊每天能改造米公路，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意列出分式方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，變形：．故選：B．【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系．8．已知二次函數(shù)和一次函數(shù)（，為常數(shù)）．若．當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過點時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)條件求出，然后將代入，得出關(guān)于、等式即可求解．【詳解】解：，，，，，，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，或，或．故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，正確并且靈活地應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞臺，并設(shè)計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺．舞臺區(qū)域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則可列方程．

【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則中間空白的長為米，寬為米，根據(jù)長方形面積公式即可列出方程．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．10．列方程組解題：“今有馬二、牛一，直金七兩；馬三、牛二，直金十二兩．馬、牛各直金幾何？”其大意是：2匹馬，1頭牛，一共價值7兩；3匹馬，2頭牛，一共價值12兩，問每匹馬、每頭牛各價值多少兩？設(shè)每匹馬兩，每頭牛兩．根據(jù)題意，可列方程組為．【答案】【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)2匹馬，1頭牛，一共價值7兩；3匹馬，2頭牛，一共價值12兩，列出二元一次方程組即可．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．11．設(shè)拋物線，其中a，b均為實數(shù)．（1）若拋物線與x軸只有一個交點，則的值為；（2）若拋物線經(jīng)過點，則代數(shù)式的最小值為．【答案】【分析】（1）對于來說，當(dāng)，由拋物線與x軸只有一個交點得到，即可得到答案；（2）拋物線經(jīng)過點，得，則，則，即可得到答案．【詳解】解：（1）對于來說，當(dāng)，∵拋物線與x軸只有一個交點，∴，解得．故答案為：（2）由題意得，即，∴，∴代數(shù)式的最小值為，故答案為：【點睛】此題考查了配方法的應(yīng)用、拋物線與x軸的交點問題等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和配方法是解題的關(guān)鍵．12．若一個函數(shù)的圖像上存在橫、縱坐標(biāo)之和等于0的點，則稱該點為這個函數(shù)圖像的“零點”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，若一次函數(shù)圖像上的“零點”為點C，則當(dāng)為等腰三角形時，k的值為．【答案】或或【分析】設(shè)，分，，三種情況，根據(jù)兩點間距離公式、等腰三角形的性質(zhì)分別列式求解即可．【詳解】解：、，，一次函數(shù)圖像上的“零點”為點C，設(shè)，為等腰三角形時有下列三種情況：當(dāng)為腰，且點A為頂點時，，，，，解得，，當(dāng)時，點C的坐標(biāo)為，，解得，當(dāng)時，點C的坐標(biāo)為，，解得；當(dāng)為腰，且點B為頂點時，，，，，解得，，當(dāng)時，點C的坐標(biāo)為，不在一次函數(shù)圖像上，故不合題意，舍去；當(dāng)時，點C的坐標(biāo)為，此時點A與點C重合，故不合題意，舍去；當(dāng)為底邊，點C為頂點時，，此時點C在線段的垂直平分線上，點C的橫坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，，解得，綜上可知，k的值為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，注意分情況討論，避免漏解．13．“分田地”是《九章算術(shù)》中一個問題：“分田地，三人分之二，留三畝，問田地幾何？”意思為：一塊田地，三個人分了總面積的，剩下了畝，問這塊田有多少畝？設(shè)這塊田為畝，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意的等量關(guān)系列出方程，解方程即可．【詳解】由題意得：，解得：，故答案為：．【點睛】此題考查了古代數(shù)學(xué)問題列一元一次方程，審清題意，明確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．有下列命題，其中正確命題的序號．①若，則；②在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里任意摸出1個球，摸到白球的概率是；③已知的周長等于，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距OG為；④點，都在二次函數(shù)的圖象上．若，則m的取值范圍為：；⑤若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則或6⑥求代數(shù)式的最值，可通過“換元法”求解：設(shè)，則代數(shù)式可化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值為．【答案】②③④⑤⑥【分析】當(dāng)時，①的結(jié)論是錯誤的；由概率公式可得摸到白球的概率是，故可判斷②是正確的；由的周長可計算出半徑，可進(jìn)一步求出該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為，故可判斷③是正確的；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合可判斷④是正確的；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，把變形，再整體代入得到方程求解即可得或6；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：①若，當(dāng)時，則，故結(jié)論①錯誤；②一共有3個球，有1個白球，從箱子里任意摸出1個球，摸到白球的概率是，故結(jié)論②正確；③連接，如圖，∵正六邊形是圓的內(nèi)接多邊形，∴，∵，∴，∵的周長等于，∴，∴，故③正確；④∵點都在二次函數(shù)的圖象上，∴∵，∴∴，即，∴，故④正確．⑤∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，即，且，∵，∴，即，∴，即，解得：或．故⑤正確；⑥設(shè)，所以，=∵,∴代數(shù)式有最大值，當(dāng)，最大值為，故⑥正確；綜上，正確的結(jié)論為②③④⑤⑥，故答案為：②③④⑤⑥．【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，概率公式，正多邊形與圓，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及最值，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵15．函數(shù)（b為常數(shù)）有下列結(jié)論：①圖像具有對稱性，對稱軸是直線；②當(dāng)時，函數(shù)有最小值；③若，點，在該函數(shù)圖像上，則當(dāng)時，；④若關(guān)于x的方程有四個實數(shù)根，則這四個根之和一定為．其中正確的結(jié)論是（填寫序號）【答案】①④/④①【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及解一元二次方程的方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解；∵b為常數(shù)，對一次函數(shù)的對稱性不具有影響，如圖，函數(shù)具有對稱性，對稱軸是直線，故①正確，

∵函數(shù)，∴函數(shù)有最小值0，此時，故②錯誤；當(dāng)時，函數(shù)，如圖所示，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴則當(dāng)時，和的大小不確定，故③錯誤；

∵若關(guān)于x的方程有四個實數(shù)根，∴當(dāng)時，解得，，當(dāng)時，解得，，∴，故④正確，故答案為：①④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．16．我們學(xué)習(xí)了一元二次方程和二次函數(shù)，綜合利用它們的性質(zhì)解決問題，閱讀下列材料，回答問題：例：已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求t的最大值？解：由題意可知，當(dāng)t=0時，方程有實數(shù)解當(dāng)時，即∴設(shè)函數(shù)當(dāng)時，綜上(1)已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的最大值為；(2)已知方程有實數(shù)根，則x-2y的最大值為．【答案】【分析】（1）仿照例題得出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．（2）令，則，將代入，得，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的方程，即有實數(shù)根，∴，，，即∴設(shè)函數(shù)當(dāng)時，綜上，故答案為：5．（2）令，則，將代入，整理得，該方程有實數(shù)根，∴∴有最大值即的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點，點在軸負(fù)半軸上，點在軸正半軸上，且．設(shè)點，，線段、的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個根．(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)設(shè)上述拋物線的頂點為，求直線的解析式．【答案】(1)(2)．【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求拋物線的公式和解一元二次方程等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．（1）根據(jù)題意分別求出、、三點坐標(biāo)，再將、、三點坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；（2）先拋物線的解析式求出頂點的坐標(biāo)，進(jìn)而便可求出直線的解析式．【詳解】（1）、是方程的兩個根．，，，，，，，，（舍去），當(dāng)時，，．，，，，按題意得，，將，，代入，可得，解得，拋物線的解析式為；（2），點，設(shè)直線的解析式為，則，解得，即．18．已知點在開口向上的拋物線上，若點也在此拋物線上，將拋物線在點之間的部分記為圖象（含點）．(1)求拋物線的頂點坐標(biāo)；(2)若圖象上任意兩點縱坐標(biāo)差的最大值為2，求整數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)及解一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由點在開口向上的拋物線上，得拋物線的對稱軸為直線，從而得，進(jìn)而即可求解；（2）由（1）知拋物線的對稱軸為直線，且開口向上及得，從而得．進(jìn)而得，于是有，解得（舍去），進(jìn)而即可得解．【詳解】（1）解：點在開口向上的拋物線上，拋物線的對稱軸為直線，，．