雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 選修2-1

2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。1.雙曲線的定義：2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：一、復(fù)習(xí)回顧：3．前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的哪些幾何性質(zhì)？關(guān)于x,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2;B1B2

e=x=|x|

a,|y|≤b

橢圓的圖形與幾何性質(zhì)

性質(zhì)yxF1F2A1A2B1B2o標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱點(diǎn)定點(diǎn)焦點(diǎn)對(duì)稱軸離心率漸近線你能類比探究出雙曲線的幾何性質(zhì)嗎？

2、對(duì)稱性

一、研究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1、范圍關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱。x軸、y軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，又叫做雙曲線的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)課堂新授

3、頂點(diǎn)（1）雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)xyo-bb-aa(3)實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線。

(2)線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸的長(zhǎng)為2a，虛軸的長(zhǎng)為2b;a稱為半實(shí)軸的長(zhǎng)，b稱為半虛軸的長(zhǎng)；;M(x,y)4、漸近線N(x,y’)Qxyoab（1）（2）利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖（3）

雙曲線上的點(diǎn)與這兩直線有什么位置關(guān)系呢?▲思考：▲規(guī)定：

雙曲線的漸近線②兩種雙曲線的漸近線方程，怎樣統(tǒng)一記憶？

的漸近線.。叫做雙曲線直線①雙曲線的漸近線方程是什么？

練習(xí)：求下列雙曲線的漸近線方程

(1)4x2－9y2=36,

(2)25x2－4y2=100.2x±3y=05x±2y=0

雙曲線的畫法：yB2A1A2B1

xO①定頂點(diǎn)②畫矩形③畫漸近線④畫雙曲線結(jié)論：5、離心率離心率。c>a>0e>1e是表示雙曲線開口大小的一個(gè)量,e越大開口越大（1）定義：（2）e的范圍：（3）e的含義：（4）等軸雙曲線的離心率e=?方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱范圍焦點(diǎn)離心率漸近線(±a,0)(±c,0)(0,±a)(0,±c)x軸、y軸、原點(diǎn)（原點(diǎn)是雙曲線的中心）|x|≥a|y|≥a6.類比yoxxyo例1.求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.可得實(shí)半軸長(zhǎng)a=4，虛半軸長(zhǎng)b=3焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）、（0，5）解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程例題講解

歸納例3、雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為20m,高55m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1m).

A′A0xC′CB′By131220解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使小圓的直徑AA‘在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合。這時(shí)，上下口的直徑CC’,BB’都平行于x軸，且︱CC’︱=13×2,︱BB’︱＝25×2CxyOA’AC’BB’131225用計(jì)算器解方程，得b≈25CxyOA’AC’BB’131225例4、點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)F（5,0），的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡.

xyOlF變式：點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)(c>a>0)，求點(diǎn)M的軌跡.M解：設(shè)點(diǎn)M(x,y)到l的距離為d，則即化簡(jiǎn)得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)設(shè)c2－a2=b2，(a>0,b>0)故點(diǎn)M的軌跡為實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)分別為2a、2b的雙曲線.b2x2－a2y2=a2b2即就可化為:M點(diǎn)M的軌跡也包括雙曲線的左支.

平面內(nèi)，與一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到一條定直線l：的距離比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.對(duì)于雙曲線是相應(yīng)于右焦點(diǎn)F(c,0)的右準(zhǔn)線類似于橢圓是相應(yīng)于左焦點(diǎn)F′(-c,0)的左準(zhǔn)線xyoFlMF′l′點(diǎn)M到左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距離之比也滿足第二定義.二、第二定義

想一想：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的準(zhǔn)線方程是怎樣的？xyoF相應(yīng)于上焦點(diǎn)F(c,0)的是上準(zhǔn)線相應(yīng)于下焦點(diǎn)F′(-c,0)的是下準(zhǔn)線F′P61練習(xí)P61習(xí)題2.3A組3,4當(dāng)堂檢測(cè)12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c橢圓雙曲線方程abc關(guān)系圖象橢圓與雙曲線的比較yXF10F2MXY0F1F2p小結(jié)漸近線離心率頂點(diǎn)對(duì)稱性范圍

準(zhǔn)線|x|

a,|y|≤b|x|≥

a，yR對(duì)稱軸：x軸，y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：x軸，y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)長(zhǎng)軸：2a短軸：2b(-a,0)(a,0)實(shí)軸：2a虛軸：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)無(wú)y=abx±歸納總結(jié)1.雙曲線的第二定義

平面內(nèi)，若定點(diǎn)F不在定直線l上，則到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。