絕對值-第4講課件

第四講絕對值

一、基礎(chǔ)知識

?絕對值的定義與性質(zhì)（注意它的非負性）

定義：絕對值的定義用文字敘述為：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的

絕對值是零。

a(〃>0)

絕對值的定義用公式表示為：問=°(4=0)

-Q(〃<0)

性質(zhì)：

①非負性：②[ab|=|a||b[；③|與=回（b，0）；

b|b|

@|a|2=|a2|=a2；⑤|a+b|a|+|b|；@||a|-|b||<|a-b|<|a|+1b|.

?絕對值的幾何意義

一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離。

①）1al表示a點到。點的距離

②）|。一闿表示a點到b點的距離

③）|。+目表示a點到-b點的距離

?分類討論思想（零點分段法）

利用絕對值的定義，討論絕對值符號內(nèi)代數(shù)式值與0的大小關(guān)系，將絕對值符號打開，再進行運算。

例設(shè)。是有理數(shù)，求。+時的值

二、例題

第一部分定義和性質(zhì)

例1.若a,b為有理數(shù)，那么，下列判斷中：

（1）若|a|=b,則一定有a=b；（2）若|a||b|,則一定有a>b；⑶若Ia|>b,則一定有[a[[b]（4）

若|a|=b,則一定有。2=（_匕）2。正確的是。（填序號）

解：⑷

例2.已知|a|=l,|b|=2,|c|=3,且a〉b〉c,那么a+b-c=.

（北京市“迎春杯”競賽題）

（2）已知a、b、c、d是有理數(shù)，|a-b|W9,|c-d|W16,且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|d-c|=.

（第14屆“希望杯”邀請賽試題）

思路點撥⑴由已知條件求出a、b、c的值，注意條件a>b>c的約束；2或0；（2）若注意到9+16=25

這一條件，結(jié)合絕對值的性質(zhì)。問題可獲解.-7

例3.如果a、b、c是非零有理數(shù)，且a+b+c=O,那么二CL+-h土+'c一+」c絲ih上c的所有可能的值為

|a||b||c||abc\

().

A.0B.1或一1C.2或一2D.0或一2

(2003年山東省競賽題)

思路點撥根據(jù)a、b的符號所有可能情況，脫去絕對值符號，這是解本例的關(guān)鍵.A

例4.已知lab-21與|b-l|互為相反數(shù)，試求代數(shù)式

1111”

ab(a+b)(b+l)(a+2)0+2)(a+20020+2Q

思路點撥運用相反數(shù)、絕對值、非負數(shù)的概念與性質(zhì)，先求出a、b的值.上20山03

2004

例5.已知m、n為整數(shù)，且,2-2|+|加一4=1,那么7篦+"的值為多少？

解：2或3或5或6

例6.已知|X]-1|+|々—21+1%一31+"-+1無2002-2002|+|%2003-2003|=0,求代數(shù)式

2為-2*2_24-----2X20°+2*20，的值。

解:6

第二部分幾何意義

例7.已知xW2,求卜—3卜上+2|的最大值與最小值

解:當2時，取最大值為5；當x=2時，取最小值為-3

例8.設(shè)a<6<c,求y=上一同+,一4+上一4的最小值

例9.T§,a<b<c,求y=,—。|+,一4+歸一。|的最小值

解：c-a

例10.已知y=上一。|+卜+19|+上一。一96|,如果19<a<96,a<x<96,那么y的最大值是

多少？

解：當x=96時,y取最大值211

例11.已知a為有理數(shù)，那么代數(shù)式憶-1|+辰-2|+1-3|+1-4|的取值有沒有最小值?如果有，試求

出這個最小值；如果沒有，請說明理由.

思路點撥a在有理數(shù)范圍變化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符號也在變化，解本例的關(guān)鍵是

把各式的絕對值符號去掉,為此要對a的取值進行分段討論，在各種情況中選取式子的最小值.

解：當a=2時，最小值為4。

第三部分化簡(零點分段法、討論思想)

例12.化簡

(1)|2x-l|；

(2)|x-l|-|x-3|；

(3)||x-l|-2|+|x+l|.

思路點撥（1）就2x—l00,2x—l〈0兩種情形去掉絕對值符號；（2）將零點1,3（使x-l=O,

3-x=0的值）在同一數(shù)軸上表示出來，就x〈l,lWx<3,x》3三種情況進行討論;⑶由|x+l|=0,|x-l|-2=0

得x=T,x=l,x=3.

—2x—2(%<—1)

2x-l(x>=—)4-2x(x<1)

22x+2(—1<=x<1)

解：（1）原式=,1(2)原式=<2(1<=x<3)(3)原式=.

4<1<=x<3)

l-2x(x<-)2x-4(x>=3)

22x-2(x>=3)

例13.化簡|上一1卜2卜上+1|

—2%—2,(jv<—1)

2x+2,(―1?x<1)

解:原式=<

4,(13)

2x-2,(x>3)

例14.若—化簡,+2|+,一斗

解：4

第四部分解方程

例15.解方程1、|4工+3|=21+9

2>|x-|3x+2||=4

解：1,x=3或x=-2；2,x=l或x=-1.5

例16.解下列方程

1>||4x+8|-3x|=5

2>|x+3|-|3x-2|=5x+8

八13

解：1,無解；2,x=---

3

三、練習題

若|x—y+3|與歸+y—1999|互為相反數(shù)，求廿包

1.的值

解：-1000

2.a與b互為相反數(shù)，且|a-b|=上那么“一—+》

5a+cib+1

4

解:

25

3.已知|a|二5,|b|=3,且|a—b|二b-a,那么a+b=.

解：-2或-8

4.已知a是任意有理數(shù)，貝UI-a|-a的值是（）.

A.必大于零B.必小于零C.必不大于零D.必不小于零

解：D

5.若x〈-2,則11-|l+x||=；若|a|=-a,則|aTHa-2|=。

解：-2-x；-1

6.已知5x—4W3—4x,求|x+3］的最大值與最小值

732

解：當x<3時，取最大值為4；當％=—時，取最小值為----

99

7.已知（a+〃）2+M+5|=Z?+5,且|2a—6—1|=0,那么ab=

解：—

9

8.已知數(shù)軸上的三點A、B、C分別表示有理數(shù)a,1,-1,那么|a+l|表示（）.

A.A、B兩點的距離B.A、C兩點的距離

C.A、B兩點到原點的距離之和D.A、C兩點到原點的距離之和

（第15屆江蘇省競賽題）

解：D

9.設(shè)a<Z?<c<d,求丁=上一同+上一4+,一。|+上一4的最小值

解：（d-a）+（c-b）

10.解方程|2x+3|—|x-1|=4x~3

解：零點分段法，x=7/3

11.化簡|x+5|+|2x—3|

—3x—2,（%〈—5）

3

解：原式%+&（—5V%<5）

3

3x+2（x>-）

12.化簡：

（1）|3x-2|+|2x+3|；（2）||x_l|_3|+|3x+l|.

—4-x—3(x<—2)

-2x+1(—2<=x<——)

—5x—1(%〈—1.5)

2

解：（1）原式=<—x+5(—1.5<=x<—）；（2）原式二<4x+3(——<=x<1)

「“2、2x+5(l<=x<4)

5%+1(%>=一)

[34x-3(x>=4)

補充題

13.設(shè)a+b+c=O,abc>0,則竺￡+包@+生a的值是（）

1?11加M

A.-3B.1C.3或-1D.一個與p有關(guān)的代數(shù)式

（第11屆“希望杯”邀請賽試題）

解：B

14.若a、b、c為整數(shù),且|a-ba+1c-a|99=1,求|c-a|+|a-b|+1b-c|的值.

解：2

15.已知xWl,試求卜―2|—卜+2|的最大值和最小值

解：當xW-2時，有最大值4；當了22時，有最小值-4

16.（同步，P120）（第10屆，希望杯）已知0WaW4,那么|a—21+13—a|的最大值等于（）

A1B5C8D3

分析用“零點分段”去掉絕對值符號，然后推斷.

（5-2a（0<a<2）,

解|a-2|+|3-a|={l（2<a<3）,

（2a—5（3<a<4）.

當a=0時，有最大值5,故選B.

說明本題還可以利用數(shù)軸，由絕對值的意義推知.

17.若有理數(shù)x、y滿足2002(x—1)2+|x-12y+l|=0,則必+/=

18.若|a+b+l|與（a-b+l）?互為相反數(shù)，則a與b的大小關(guān)系是（）.

A.a>bB.a=bC.a<bD.a》b

解：C

第五部分雜題

19.若2x+|4-5x|+|l-3x|+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值.

分析與解要使原式對任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對值符號，化簡合并時，必須使含x的項相加為零,

即x的系數(shù)之和為零.故本題只有2x-5x+3x=0一種情況.因此必須有

I4-5xI=4-5x且Il-3xI=3x-l.故x應(yīng)滿足的條件是

4-5x>0,

'3x-l>0.

1廣一4

解之得

35此時

原式=2x+(4-5x)-(l-3x)+4

=7.

20.求滿足|a-b|+ab=l的非負整數(shù)對(a,b)的值.

(全國初中聯(lián)賽題)

.[\a-b\=l[\a-b\=O

解：(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1)提不：<or\

ab=O\ab=1

21.設(shè)a、b、c分別是一個三位數(shù)的百位、十位和個位數(shù)字，并且aWbWc,貝1a-b|+1b-c|+1c-a|

可能取得的最大值是.

(第15屆江蘇省競賽題)

解：16

22.使代數(shù)式包土U的值為正整數(shù)的x值是().

4%

A