全概率公式課件

7.1.2全概率公式

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.結(jié)合古典概型，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.

通過(guò)學(xué)習(xí)及運(yùn)用全概率公式，進(jìn)一

2.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概

步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

率.

課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究

新知探究

A情境引入

狼來(lái)了這個(gè)故事大家都聽(tīng)過(guò)，那么從心理學(xué)角度分析，這個(gè)小孩是如何一步步

喪失村民信任的呢？我們可以通過(guò)特殊概率公式來(lái)解讀.

設(shè)A為事件“小孩說(shuō)謊”，8為“村民覺(jué)得小孩可信”；不妨設(shè)可信的小孩說(shuō)謊

的概率為0.1,而不可信的小孩說(shuō)謊的概率為0.5,經(jīng)過(guò)第一次撒謊，第二次撒謊

后，狼真的來(lái)了，小孩第三次呼救的時(shí)候，村民都不再相信這是真的，覺(jué)得這是

誰(shuí)家熊孩子真氣人，沒(méi)人再上山救他.于是，狼在前兩次跳出來(lái)嚇唬完小孩就跑

走后，成功在第三次抓走小孩，而且無(wú)人打擾，由此可見(jiàn)心理學(xué)結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)學(xué)

很重要！

問(wèn)題上述問(wèn)題可以用哪種概率公式來(lái)解釋?zhuān)?/p>

提示我們可以借助全概率公式來(lái)解讀.

上知識(shí)梳理

1.全概率公式

在全概率的實(shí)際問(wèn)題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可

以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮

一般地，設(shè)Ai，A2，…，A”是一組兩兩互斥的事件，AiUA2U…！JA”=。，且

n

m)>0,z=L2,n,則對(duì)任意的事件有P(B)=￡.

i=1

我們稱(chēng)上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一.

2.貝葉斯公式

設(shè)A”A2，…，A”是一組兩兩互斥的事件,AiU/hU…UA”=0,且尸(4)>0,i

=1,2,n,則對(duì)任意事件BU。，P(8)>0,

P(A)P(g|A,)

有P(A|B)

P(fi)

t.P(Ak)P(B\Ak)

k=\1

i=1,2,…，n.

3.在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(A,⑻分別稱(chēng)為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.

拓展深化

［微判斷］

1.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率求解問(wèn)題,

轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.(J)

2.所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟有多種可能，在這多種可能中，均有所研

究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式.(J)

3.全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，是求最后結(jié)果的概率.(J)

［微訓(xùn)練］

1.一個(gè)盒子中有6只白球，4只黑球，不放回地每次任取1只，連取2次，求

第二次取到白球的概率為.

解析設(shè)4="第一次取到白球"，B="第二次取到白球”，

則8=A8U彳8,且A3與18互斥，所以

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)

=WX9+^X9=0-6-

答案0.6

2.有兩箱同一種產(chǎn)品，第一箱內(nèi)裝50件，其中10件優(yōu)質(zhì)品，第二箱內(nèi)30件，

其中18件優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)在隨意地打開(kāi)一箱，然后從箱中隨意取出一件，則取到的

是優(yōu)質(zhì)品的概率是.

解析設(shè)4="取到的是優(yōu)質(zhì)品"，Bi=”打開(kāi)的是第i箱"(i=l,2),則P(3)

=P(&)=3，P(A|Bi)=j1=|,

183

P(4|&)=而=5,

直接利用全概率公式：

2

P(A)=P(Bi)P(A|Bi)+P(B2)P(A|B2)=j.

答案12

［微思考］

全概率公式與貝葉斯公式的聯(lián)系與區(qū)別是什么？

提示兩者的最大不同是處理的對(duì)象不同，其中全概率公式用來(lái)計(jì)算復(fù)雜事件的

概率，而貝葉斯公式是用來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單條件下發(fā)生的復(fù)雜事件的概率，也就是說(shuō)，

全概率公式是計(jì)算普通概率的，貝葉斯公式是用來(lái)計(jì)算條件概率的.

課堂互動(dòng)■題型剖析，I1

題型一全概率公式

【例1】甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,

0.5,0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若

三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率.

解設(shè)8=”飛機(jī)被擊落"，A,="飛機(jī)被i人擊中"，i=l,2,3,則8=48

+A2B+A3B,P(B|Ai)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(JB|A3)=1,

由全概率公式，得

P(B)=P(A1)P(3H1)+P(A2)P(3H2)+P(A3)尸(用A3).

為求P(A?,設(shè)吊=｛飛機(jī)被第i人擊中｝,i=l,2,3,

則P(M)=0.4,P(“2)=0.5,尸(%)=0.7,故

尸(4)=P(Hi斤2斤3+0為斤3+才可2H3)

=P(Hi)P(瓦)P(斤3)+P(才)P(“2)P(吊)+

P(方)P(萬(wàn)2)P(“3)=0.36,

P(A2)=P(Hi%萬(wàn)3+Hi百2H3+方H2H3)

=p(a)P(“2)P(%)+P(M)P(H2)P(“3)+

P(瓦)P(“2)P(H3)=0.4L

P(A3)=P(H|H2H3)=P(H|)P(”2)P(“3)=o.14.

于是

P(B)=P(4)P(B|AI)+PG42)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.36X0.2+0.41X0.6+0.14X1=0.458,

即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.

規(guī)律方法全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率，它們實(shí)質(zhì)上是加法公

式和乘法公式的綜合運(yùn)用.

【訓(xùn)練1】有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠(chǎng)同時(shí)生產(chǎn)的，其中甲廠(chǎng)產(chǎn)品占50%,

乙廠(chǎng)產(chǎn)品占30%,丙廠(chǎng)產(chǎn)品占20%,甲廠(chǎng)產(chǎn)品中正品率為95%,乙廠(chǎng)產(chǎn)品正品

率為90%,丙廠(chǎng)產(chǎn)品正品率為85%,如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，試計(jì)算

該產(chǎn)品是正品的概率多大？

解設(shè)A,B,C分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠(chǎng)、乙廠(chǎng)、丙廠(chǎng)生產(chǎn)的，。表示抽得產(chǎn)

品為正品，

則由已知,P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,

P(。依)=95%,P(Z)|B)=90%,P(D|C)=85%,

從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到：

P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)尸(8)+P(D|C)P(C)

_955090308520

=woxl^+looxl()o+'io()><Hjo

=0.915.

題型二貝葉斯公式

【例2】在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干

擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0,已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收

為0和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為

0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.若已知接收的信號(hào)為0,求發(fā)送的信

號(hào)是1的概率.

解設(shè)4="發(fā)送的信號(hào)為0"，B="接收的信號(hào)為0"，則兄="發(fā)送的信號(hào)

為1"，B="接收的信號(hào)為1”.由題意得，

P(A)=尸(彳)=。5,P(8|A)=0.8,P(萬(wàn)|A)=0.2,P(B|A)=0.1,P(初彳)=0.9.

?,少，、，、--PCA)P(B\A)

由貝葉斯公式有P(A|B):-----二--------二------!------------

P(A)PCB\A)+P(A)P(用A)

0.5XQ.11

=0.5X0.1+0.5X0.8=9'

規(guī)律方法此類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)

生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小.

【訓(xùn)練2】設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為2：1,貨車(chē)中途停車(chē)修

理的概率為0.02,客車(chē)為0.01,今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，求該汽車(chē)是貨車(chē)的

概率.

解設(shè)8="中途停車(chē)修理"，4=“經(jīng)過(guò)的是貨車(chē)"，4=“經(jīng)過(guò)的是客車(chē)”，

則B=AIBUA2B,由貝葉斯公式有

EP(Al)P(8|4)

P(Ai|B)=-----------------:-----------------------------:--------

P(4)P(B|Ai)+P(A2)P(8|A2)

IX0.02

=2?=0.8.

|XO.O2+|XO.O1

題型三全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用

【例3】同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠(chǎng)供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品

率分別為0.95,0.90,0.80,三家產(chǎn)品數(shù)按2：3：5的比例混合在一起.

(1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；

⑵現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問(wèn)它是由甲、乙、丙三個(gè)廠(chǎng)中哪個(gè)廠(chǎng)生產(chǎn)的可能性

大？

解設(shè)事件A表示“取到的產(chǎn)品為正品”，Bi,B2,當(dāng)分別表示“產(chǎn)品由甲、

乙、丙廠(chǎng)生產(chǎn)”，

由已知P(3)=0.2,P(&)=0.3,P(&)=0.5,

P(/l|Bi)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8,

(1)由全概率公式得：

3

P(A)=￡P(guān)⑻P(A同)

z=l

=0.2X0.95+0.3X0.9+0.5X0.8=0.86,

(2)由貝葉斯公式得

P(Bi)P(AB)0.2X0.95

P⑹[A)=M).22O9,

P(A)0.86

P(B)P(A|B)0.3X0.9

P(&[A)=22飛廿^3140,

P(A)

P(8)P(A|&)0.5X0.8

P(B3|A)=心0.4651,

P(A)0.86

由以上3個(gè)數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠(chǎng)生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠(chǎng)生產(chǎn)的可

能性最小.

規(guī)律方法P(A,-)(/=1,2,…，〃)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息(不知道事件8是否發(fā)生)

的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)，當(dāng)有了新的信息(知道3發(fā)生)，

人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(A超)有了新的估計(jì)，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫(huà)

了這種變化.

【訓(xùn)練3】一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議，他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車(chē)和非機(jī)動(dòng)車(chē)的概率分

別為0.2,0.5,0.3,現(xiàn)在知道他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車(chē)和非機(jī)動(dòng)車(chē)遲到的概率分別為最

1J_

4,12-

(1)求這位教授遲到的概率；

(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了，求他乘坐的是飛機(jī)的概率.

解設(shè)4=“遲到"；Bi="乘飛機(jī)"；B2=“乘動(dòng)車(chē)”；&="乘非機(jī)動(dòng)車(chē)”.

(1)所求概率為P(A),由全概率公式得：

P(A)=P(A|Bi)P(B])+P(A\B2)P(B2)+P(A\B3)P(B3)

11,11,1313

-3X5+4X2+12X10-60,

⑵所求概率為P(3i|A),由貝葉斯公式得：

PCABO

P⑸⑷=7E

P(A|5i)P(B)

P(A)

1313'

60

素養(yǎng)達(dá)成逐步落實(shí)

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).

2.全概率公式是用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干

簡(jiǎn)單事件的概率運(yùn)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題.

3.概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算來(lái)推算較復(fù)

雜事件的概率，全概率公式和貝葉斯公式正好起到了這樣的作用.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球.今有兩人依次隨機(jī)地

從袋中各取一球，取后不放回，則第二人取得黃球的概率為()

解析設(shè)A表示“第一個(gè)人取得黃球”，8表示“第二個(gè)人取得黃球”，則P(B)

__2193202

=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|^)=5X49+5X49=5,

答案D

2.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假設(shè)男人、女人各占一半，現(xiàn)隨機(jī)地

挑選一人，則此人恰是色盲的概率為()

A.0.01245B.0.05786

C.0.02625D.0.02865

解析設(shè)A表示“此人恰是色盲”，8表示“隨機(jī)挑選一人為男人”，&表示

“隨機(jī)挑選一人為女人”，則P(A)=P(8)P(A|3)+P(&)P(A|&)=gx0.05+T

X0.0025=0.02625.

答案c

3.設(shè)某公路經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為1:3,貨車(chē)中途停車(chē)修車(chē)的概率為

0.03,客車(chē)為0.02,今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，則該車(chē)是客車(chē)的概率是()

解析設(shè)8=｛中途停車(chē)修理｝,4=｛經(jīng)過(guò)的是客車(chē)｝,

4=｛經(jīng)過(guò)的是貨車(chē)｝,則2A

由貝葉斯公式有P(4|B)

________________P(4)P(BH1)_______________

=

P(Ai)P(BHi)+P(A2)P(B|A2)

Ix0.022

=3j=3,

4XO.O2+4XO.O3

答案B

課后作業(yè)鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.甲袋里有5只白球，7只紅球，乙袋里有4只白球，2只紅球，從兩個(gè)袋中任

取一袋，然后從所取到的袋中任取一球，則取到的球是白球的概率為()

A-2

c-n

解析從兩袋中任選一袋，選中甲、乙的概率都是看又從甲袋中取到白球的概

率是總從乙袋中取到白球的概率為出故所求概率為睛+§=聶

答案B

2.設(shè)某工廠(chǎng)有甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車(chē)間的產(chǎn)量分別占

全廠(chǎng)產(chǎn)量的25%,35%,40%,而且各車(chē)間的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從

待出廠(chǎng)的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，那么它是由甲車(chē)間生產(chǎn)的概率約為()

A.0.0125B.0.362

C.0.468D.0.0345

__________0.25X0.05__________

解析所求概率為^0.362.

0.25X0.05+0.35X0.04+0.4X0.02

答案B

3.甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總量的25%,35%,40%,

次品率分別為5%,4%,2%.從這批產(chǎn)品中任取一件，則它是次品的概率為（）

A.0.0123B.0.0234

C.0.0345D.0.0456

解析所求概率為0.25X0.05+0.35X0.04+0.4X0.02=0.0345.

答案C

4.已知甲袋中有6只紅球，4只白球，乙袋中有8只紅球，6只白球，隨機(jī)取一

只袋，再?gòu)拇腥稳∫磺?，發(fā)現(xiàn)是紅球，則此球來(lái)自甲袋的概率為（）

5卜3

A12B-7

「20「21

C-4?D,4l

1A

2X1021

解析所求概率為］一6-1一8

—X——J--V——

210十214

答案D

5.5張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,每次從中任取一張，連取兩次.若

第一次取出的卡片不放回，則第二次取出的卡片上的數(shù)字大于第一次取出的數(shù)字

的概率為（）

1

A入14B2

八2「3

C.gD.g

解析第一次取每個(gè)數(shù)字的概率都是去如果第一次取得的是1,那么再?gòu)乃膹埉?dāng)

中取的話(huà)，都比1大，所以概率就是］xi=g,如果第一次取的是2,那么再去

從四張當(dāng)中去取得到的比2大的概率就是本3所以概率為1白3；=由3以此類(lèi)推所

得概率分別是.故所求概率為：+系+白+1=9.

JILJI乙JLvxJL\JX*Vz4

答案B

二'填空題

6.兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，它們常出現(xiàn)廢品的概率分別為0.03和0.02,加工

出的零件放在一起，設(shè)第一臺(tái)機(jī)床加工的零件比第二臺(tái)的多一倍，則任取一個(gè)零

件是合格品的概率為.

2

解析由題意知第一臺(tái)機(jī)床加工的零件占總數(shù)的1第二臺(tái)機(jī)床加工的零件占總

數(shù)的g,故所求概率為1一(|x0.03+g><0.02)=蕓.

73

答案75

7.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下效果：若以A表示“試

驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以8表示“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|B)=0.95,P(T|萬(wàn))

=0.95,現(xiàn)對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005,則P(B|A)

(保留兩位有效數(shù)字).

解析P(A|B)=1-P(A|B)=1-0.95=0.05,被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為

0.005,就相當(dāng)于P(8)=0.005,則

P(AB)P(8)P(A|B)

P(B\A)=

P(A)P(8)P(A|B)+P(萬(wàn))P(A|方)

0.005X0.95

=------------------------?s0087

0.005X0.95+0.995X0.05

答案0.087

8.裝有10件某產(chǎn)品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丟失

一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都是一等品，則丟失

的也是一等品的概率為.

解析設(shè)事件A表示''從箱中任取2件都是一等品"，8,表示''丟失的是，?等

品"，z=l,2,3,那么P(A)=P(BI)P(AB)+P(&)P(A|&)+P(&)P(A|B3),P(B)

表示的就是丟失i等品的概率.所以P(A)=；義會(huì)+得乂旨+]x會(huì)=?從而所

1乂弓

工,…P(Bi)P(A|Bi)2Cg3

求概率為P(8iH)=p(,)=-2—=g-

9

3

答案i

o

三'解答題

9.設(shè)袋中裝有10個(gè)閹，其中8個(gè)是白陶，2個(gè)是有物之閹I，甲、乙二人依次抓

取一個(gè)，求乙抓到白閹的概率.

解設(shè)A表示“甲抓到有物之閹”，8表示“乙抓到白閹”，則尸(A)=%，尸(A)

8—

=而，從而P(3)=P(3A)+P(3A)

=P(A)P(陰A)+P(A)P(B|A)

887_4

=WX9+10X9=5-

10.設(shè)某工廠(chǎng)有兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同型號(hào)的家用電器，第一車(chē)間的次品率為0.15,第

二車(chē)間的次品率為0.12,兩個(gè)車(chē)間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)第1,2

車(chē)間生產(chǎn)的成品比例為2：3,今有一客戶(hù)從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，求該

產(chǎn)品合格的概率.

解設(shè)8=｛從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提出的一臺(tái)是合格品｝,

4=｛提出的一臺(tái)是第i車(chē)間生產(chǎn)的｝,i=l,2,

則有B=AIBUA2B,

23

由題意尸(4)=5，P(A2)=5，P(B|AI)=0.85,

P(B|A2)=0.88,

由全概率公式得

P(B)=P(Ai)P(BA)+P(A2)P(B|A2)=0.4X0.85+0.6X0.88=0.868.

能力提升

11.某試卷中1道選擇題有6個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的.考生不知道正確

答案的概率為:，不知道正確答案而猜對(duì)的概率為今現(xiàn)已知某考生答對(duì)了，則他

猜對(duì)此題的概率為()

1