2024年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將正確答案的標(biāo)號(hào)涂黑。1．（3分）現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的方塊字中有些也具有對(duì)稱性．下列漢字是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢(shì)，這個(gè)事件是（）A．隨機(jī)事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．確定性事件3．（3分）如圖是由兩個(gè)寬度相同的長(zhǎng)方體組成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值接近300000億元，同比增長(zhǎng)5.3%（）A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×1065．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+16．（3分）如圖，一個(gè)圓柱體水槽底部疊放兩個(gè)底面半徑不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．7．（3分）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD；（1）畫(huà)∠MAN；（2）以點(diǎn)A為圓心，分別交AM，AN于點(diǎn)B，D；（3），D為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。唬?）連接BC，CD，則∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°8．（3分）經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車(chē)，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，則至少一輛車(chē)向右轉(zhuǎn)的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝60°，AB+AD＝2，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)y＝x3﹣3x2+3x﹣1的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱．若點(diǎn)A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函數(shù)圖象上，這20個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從0.1開(kāi)始依次增加0.1，則y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（）A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將結(jié)果直接填寫(xiě)在答題卡指定的位置。11．（3分）中國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家．負(fù)數(shù)廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，例如，若零上3℃記作+3℃℃．12．（3分）某反比例函數(shù)y＝具有下列性質(zhì)：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。畬?xiě)出一個(gè)滿足條件的k的值是．13．（3分）分式方程＝的解是．14．（3分）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓AB的高度．具體過(guò)程如下：如圖，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為63°m．（參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2）15．（3分）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD．直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2.若BE＝kAE（k＞1），則用含k的式子表示的值是．16．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a＜0）經(jīng)過(guò)（﹣1，1），（m，1）兩點(diǎn)①b＞0；②若0＜x＜1，則a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2無(wú)實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，總有y1＜y2，則0＜m≤．其中正確的是（填寫(xiě)序號(hào)）．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程、演算步驟或畫(huà)出圖形。17．（8分）求不等式組的整數(shù)解．18．（8分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，AD上，AF＝CE．（1）；（2）連接EF．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形．（不需要說(shuō)明理由）19．（8分）為加強(qiáng)體育鍛煉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在“陽(yáng)光體育一小時(shí)”活動(dòng)中組織九年級(jí)學(xué)生定點(diǎn)投籃技能測(cè)試，投中一次計(jì)1分．隨機(jī)抽取m名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖表．測(cè)試成績(jī)頻數(shù)分布表成績(jī)/分頻數(shù)4123a2151b06根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）直接寫(xiě)出m，n的值和樣本的眾數(shù)；（2）若該校九年級(jí)有900名學(xué)生參加測(cè)試，估計(jì)得分超過(guò)2分的學(xué)生人數(shù)．20．（8分）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）；（2）連接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．21．（8分）如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫(huà)線不得超過(guò)三條．（1）在圖（1）中，畫(huà)射線AD交BC于點(diǎn)D，使AD平分△ABC的面積；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線AD上畫(huà)點(diǎn)E；（3）在圖（2）中，先畫(huà)點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C；（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線段AB繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．22．（10分）16世紀(jì)中葉，我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過(guò)程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線y＝ax2+x和直線y＝﹣x+b．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為9km時(shí)（1）若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km，①直接寫(xiě)出a，b的值；②火箭在運(yùn)行過(guò)程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低1.35km，求這兩個(gè)位置之間的距離．（2）直接寫(xiě)出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過(guò)15km．23．（10分）問(wèn)題背景如圖（1），在矩形ABCD中，點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)，連接BD，求證：△BCD∽△FBE．問(wèn)題探究如圖（2），在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD＝2CF，EF與BD交于點(diǎn)G問(wèn)題拓展如圖（3），在“問(wèn)題探究”的條件下，連接AG，AG＝FG，直接寫(xiě)出24．（12分）拋物線y＝x2+2x﹣交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的右邊）（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接AC，BC，交y軸于點(diǎn)Q．若BC平分線段PQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)D與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，過(guò)原點(diǎn)的直線EF交拋物線于E（點(diǎn)E在x軸下方），線段DE交拋物線于另一點(diǎn)G，連接FG．若∠EGF＝90°

2024年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將正確答案的標(biāo)號(hào)涂黑。1．（3分）現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的方塊字中有些也具有對(duì)稱性．下列漢字是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、B、D選項(xiàng)中的漢字都不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合．C選項(xiàng)中的漢字能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：C．2．（3分）小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢(shì)，這個(gè)事件是（）A．隨機(jī)事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．確定性事件【解答】解：小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀，兩人同時(shí)出相同的手勢(shì)．故選：A．3．（3分）如圖是由兩個(gè)寬度相同的長(zhǎng)方體組成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：該幾何體的主視圖為：．故選：B．4．（3分）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值接近300000億元，同比增長(zhǎng)5.3%（）A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×106【解答】解：300000＝3×105，故選：C．5．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1【解答】解：a2?a3＝a6，則A不符合題意；（a3）4＝a12，則B符合題意；（6a）2＝9a8，則C不符合題意；（a+1）2＝a4+2a+1，則D不符合題意；故選：B．6．（3分）如圖，一個(gè)圓柱體水槽底部疊放兩個(gè)底面半徑不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【解答】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，水面上升稍慢，所以對(duì)應(yīng)圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩．故選：D．7．（3分）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD；（1）畫(huà)∠MAN；（2）以點(diǎn)A為圓心，分別交AM，AN于點(diǎn)B，D；（3），D為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。唬?）連接BC，CD，則∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°【解答】解：由（1）（2）（3）可知四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC∥AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∵∠A＝44°，∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，故選：C．8．（3分）經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車(chē)，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，則至少一輛車(chē)向右轉(zhuǎn)的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：直行左轉(zhuǎn)右轉(zhuǎn)直行（直行，直行）（直行，左轉(zhuǎn)）（直行，右轉(zhuǎn)）左轉(zhuǎn)（左轉(zhuǎn)，直行）（左轉(zhuǎn)，左轉(zhuǎn)）（左轉(zhuǎn)，右轉(zhuǎn)）右轉(zhuǎn)（右轉(zhuǎn)，直行）（右轉(zhuǎn)，左轉(zhuǎn)）（右轉(zhuǎn)，右轉(zhuǎn)）由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，至少有一輛車(chē)向右轉(zhuǎn)的結(jié)果有共5種，∴至少有一輛車(chē)向右轉(zhuǎn)的概率為．故選：D．9．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝60°，AB+AD＝2，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．【解答】解：過(guò)C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延長(zhǎng)線于N，連接OA，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴AC平分∠BAN，∴MC＝CN，∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°，∴四邊形AMCN是正方形，∴AM＝AN，∵∠BAC＝∠CAD，∴＝，∴CD＝BC，∵CN＝CM，∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），∴ND＝MB，∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2，∴AM＝8，∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴AC＝AM＝，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝8∠B＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝AC＝∠AOC＝60°，∵sin∠AOH＝sin60°＝＝，∴OA＝，∴⊙O的半徑是．故選：A．10．（3分）如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)y＝x3﹣3x2+3x﹣1的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱．若點(diǎn)A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函數(shù)圖象上，這20個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從0.1開(kāi)始依次增加0.1，則y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（）A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1【解答】解：由題知，點(diǎn)A10的坐標(biāo)為（1，0），則y10＝8．因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，所以y3+y11＝y(tǒng)8+y12＝…＝y(tǒng)1+y19＝5，將x＝2代入函數(shù)解析式得，y＝23﹣3×26+3×2﹣8＝1，即y20＝1，所以y4+y2+y3+…+y19+y20的值為7．故選：D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將結(jié)果直接填寫(xiě)在答題卡指定的位置。11．（3分）中國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家．負(fù)數(shù)廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，例如，若零上3℃記作+3℃﹣2℃．【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，則零下2℃記作﹣2℃．故答案為：﹣212．（3分）某反比例函數(shù)y＝具有下列性質(zhì)：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。畬?xiě)出一個(gè)滿足條件的k的值是1（答案不唯一）．【解答】解：由題可知，當(dāng)反比例函數(shù)y＝具有下列性質(zhì)：當(dāng)x＞0時(shí)，即k＞0時(shí)滿足條件，則k的值取7．故答案為：1（答案不唯一）．13．（3分）分式方程＝的解是x＝﹣3．【解答】解：原方程去分母得：x2﹣x＝x2﹣8x﹣3，解得：x＝﹣3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣5時(shí)，（x﹣1）（x﹣3）≠4，故原方程的解為x＝﹣3，故答案為：x＝﹣3．14．（3分）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓AB的高度．具體過(guò)程如下：如圖，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為63°51m．（參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2）【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH∥BD，延長(zhǎng)BA交CH于H，由題意得∠ABD＝∠CDB＝90°，∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，∴四邊形BDCH是矩形，∴BH＝CD＝102m，在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，∴CH＝≈＝51（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m，∴AB＝BH﹣AH＝51m．答：黃鶴樓的高度約為51m．故答案為：51．15．（3分）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD．直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2.若BE＝kAE（k＞1），則用含k的式子表示的值是．【解答】解：方法一：如圖，過(guò)A作AG∥BP交FE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵AG∥BP，∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，∴△AGE∽△PBE，∴＝，設(shè)AG＝1，則BP＝k，∵∠NMP＝45°，∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝5，∵AN＝BP＝k，∴MN＝k﹣1，∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k6+1，S2＝MN8＝（k﹣1）2，∴＝；方法二：如圖，過(guò)B作BG⊥BP交FE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證△GBA≌△PBC，∴∠BGP＝∠AGP＝45°，根據(jù)角平分線比例定理得：，設(shè)AG＝1，則BG＝k，∴AM＝1，MD＝k＝AN，∴MN＝k﹣7，∵S1＝AD2＝AM7+MD2＝k2+7，S2＝MN2＝（k﹣2）2，∴＝；故答案為：．16．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a＜0）經(jīng)過(guò)（﹣1，1），（m，1）兩點(diǎn)①b＞0；②若0＜x＜1，則a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2無(wú)實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，總有y1＜y2，則0＜m≤．其中正確的是②③④（填寫(xiě)序號(hào)）．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，1），4）兩點(diǎn)，∴對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∵a＜0，∴b＜7，故①錯(cuò)誤；∵0＜m＜1，∴m﹣（﹣6）＞1，即（﹣1，（m，又∵a＜2，∴x＝m﹣1時(shí)，y＞1，∴若3＜x＜1，則a（x﹣1）3+b（x﹣1）+c＞1，故②正確；由①可得，∴，即﹣7＜b＜0，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，拋物線解析式為y＝﹣x2+bx+c，設(shè)頂點(diǎn)線坐標(biāo)為，∵拋物線y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，1），∴﹣6﹣b+c＝1，∴c＝b+2，∴，∵﹣5＜b＜0，，對(duì)稱軸為直線b＝﹣2，∴當(dāng)b＝5時(shí)，t取得最大值為2，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3無(wú)解，故③正確；∵a＜0，拋物線開(kāi)口向下1，y6），B（x2，y2）在拋物線上，，x1＞x2，總有y2＜y2，又，∴點(diǎn)A（x1，y1）離較遠(yuǎn)，∴對(duì)稱軸，解得：，故④正確；故答案為：②③④．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程、演算步驟或畫(huà)出圖形。17．（8分）求不等式組的整數(shù)解．【解答】解：，由①得，x＞﹣2；由②得，x≤5，故此不等式組的解集為：﹣2＜x≤1，故不等式組的整數(shù)解為﹣1、0、6．18．（8分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，AD上，AF＝CE．（1）；（2）連接EF．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形．（不需要說(shuō)明理由）【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣CE，∴DF＝BE，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：如圖，添加BE＝CE∵AF＝CE，BE＝CE，∴AF＝BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴四邊形ABEF是平行四邊形．19．（8分）為加強(qiáng)體育鍛煉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在“陽(yáng)光體育一小時(shí)”活動(dòng)中組織九年級(jí)學(xué)生定點(diǎn)投籃技能測(cè)試，投中一次計(jì)1分．隨機(jī)抽取m名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖表．測(cè)試成績(jī)頻數(shù)分布表成績(jī)/分頻數(shù)4123a2151b06根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）直接寫(xiě)出m，n的值和樣本的眾數(shù)；（2）若該校九年級(jí)有900名學(xué)生參加測(cè)試，估計(jì)得分超過(guò)2分的學(xué)生人數(shù)．【解答】解：（1）由題意得，m＝15÷25%＝60，∴a＝60×30%＝18，∴b＝60﹣12﹣18﹣15﹣6＝9，∴n%＝×100%＝15%，∴n＝15，樣本的眾數(shù)為3；（2）900×＝675（名），答：估計(jì)得分超過(guò)2分的學(xué)生人數(shù)有675名．20．（8分）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）；（2）連接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．【解答】（1）證明：連接OD，OA，如圖，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AC，而OH⊥AB，∴OH＝OD，∴AC是⊙O的切線；（2）由（1）知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OD2+CD3＝OC2，∴OD2+32＝（OD+2）6，∴OD＝3，∴OC＝5，∴cosC＝＝，在Rt△OCA中，cosC＝＝，∴sin∠OAC＝＝．21．（8分）如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫(huà)線不得超過(guò)三條．（1）在圖（1）中，畫(huà)射線AD交BC于點(diǎn)D，使AD平分△ABC的面積；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線AD上畫(huà)點(diǎn)E；（3）在圖（2）中，先畫(huà)點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C；（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線段AB繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．【解答】解：（1）如圖1中，線段AD即為所求；（2）如圖1中，點(diǎn)E即為所求；（2）如圖3中，點(diǎn)C，點(diǎn)G即為所求；（3）如圖2中，線段MN即為所求．22．（10分）16世紀(jì)中葉，我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過(guò)程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線y＝ax2+x和直線y＝﹣x+b．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為9km時(shí)（1）若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km，①直接寫(xiě)出a，b的值；②火箭在運(yùn)行過(guò)程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低1.35km，求這兩個(gè)位置之間的距離．（2）直接寫(xiě)出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過(guò)15km．【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9，4.6），∴81a+9＝6.6．解得：a＝﹣．∵y＝﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9，∴3.6＝﹣×9+b．解得：b＝8.5；②由①得：y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣15x+）+＝﹣（x﹣）5+（0≤x≤6）．∴火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)是km．∴﹣5.35＝2.4（km）．∴5.4＝﹣x3+x．整理得：x2﹣15x+36＝0．解得：x4＝12＞9（不合題意，舍去），x2＝7．由①得：y＝﹣x+7.1．∴2.5＝﹣x+3.1．解得：x＝11.4．∴11.2﹣3＝8.7（km）．答：這兩個(gè)位置之間的距離為8.4km；（2）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝81a+9．∴火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，81a+7）．設(shè)火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為15km．∴y＝﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，（15∴．解得：．∴﹣＜a＜8時(shí)．23．（10分）問(wèn)題背景如圖（1），在矩形ABCD中，點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)，連接BD，求證：△BCD∽△FBE．問(wèn)題探究如圖（2），在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD＝2CF，EF與BD交于點(diǎn)G問(wèn)題拓展如圖（3），在“問(wèn)題探究”的條件下，連接AG，AG＝FG，直接寫(xiě)出【解答】（1）證明：∵E、F分別是AB和BC中點(diǎn)，∴，，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴，∵∠EBF＝∠C＝90°，∴△BCD∽△FBE；（2）方法一：如圖延長(zhǎng)FE交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作FH⊥AD于點(diǎn)H．∵E是AB中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵AM∥BC，∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，∴△AME≌△BFE（AAS），∴AM＝BF，∵AD＝2CF，CF＝DH，∴AH＝DH＝CF，∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，∴△MFH≌△BDC（SAS），∴∠AMF＝∠CBD，又∵∠AMF＝∠BFG，∴∠CBD＝∠BFG，∴BG＝FG；方法二：如圖，取BD中點(diǎn)H、CH，∵E是AB中點(diǎn)，H是BD中點(diǎn)，∴EH＝AD，∵AD＝2CF，∴EH＝CF，∵AD∥BC，∴EH∥CF，∴四邊形EHCF是平行四邊形，∴EF∥CH，∴∠HCB＝∠GFB，∵∠BCD＝90°，H是BD中點(diǎn)，∴CH＝BD＝BH，∴∠HCB＝∠HBC，∴∠GFB＝∠HBC