2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)2-2 抽象函數(shù)及其應(yīng)用（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）含解析

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)2-2抽象函數(shù)及其應(yīng)用8大題型抽象函數(shù)指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一個(gè)函數(shù)，由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫做抽象函數(shù)問題。抽象函數(shù)問題能綜合考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念和各種性質(zhì)的理解，但由于其表現(xiàn)形式的抽象性和多變性，學(xué)生往往無從下手，這類問題是高考的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)之一?！绢}型1抽象函數(shù)的定義域問題】滿分技巧求抽象函數(shù)的定義域①已知fx的定義域，求f若fx的定義域?yàn)閍,b，則fgx中a≤gx≤b②已知fgx的定義域，求若fgx的定義域?yàn)閍,b，則由a≤x≤b確定gx③已知fgx的定義域，求可先由fgx定義域求得fx的定義域，再由f④運(yùn)算型的抽象函數(shù)求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集.注意：求抽象函數(shù)的定義域，要明確定義域指的是x的取值范圍，同一個(gè)f下括號(hào)內(nèi)的范圍是一樣的.【例1】（2023·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【變式1-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【變式1-2】（2023·新疆阿克蘇·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.【變式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【變式1-4】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第三十二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．【題型2抽象函數(shù)的求值問題】滿分技巧以抽象函數(shù)為載體的求值問題的常見形式，是給出函數(shù)滿足的特殊條件，指定求出某處的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值?！纠?】（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且，則（）A．1B．2C．D．【變式2-1】（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且，則（）A．0B．2022C．2023D．2024【變式2-2】（2023·貴州遵義·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則（）A．9B．10C．11D．12【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，y，都有恒成立，已知，則.【變式2-4】（2023·湖北·高三襄陽(yáng)五中校聯(lián)考期中）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，函數(shù)滿足關(guān)系式，則．【題型3抽象函數(shù)的解析式問題】滿分技巧=1\*GB3①換元法：用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)；=2\*GB3②湊合法：在已知f(g(x))=?(x)的條件下，把?(x)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求fx；=3\*GB3③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件，求出出關(guān)系式中的未知系數(shù)；=4\*GB3④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式；=5\*GB3⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達(dá)式；=6\*GB3⑥方程組法：一般等號(hào)左邊有兩個(gè)抽象函數(shù)(如f(x),f(?x))，將左邊的兩個(gè)抽象函數(shù)看成兩個(gè)變量，變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，與原方程組成一個(gè)方程組，利用消元法求f(x)的解析式.【例3】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）寫出滿足的函數(shù)的解析式．【變式3-1】（2024·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，，請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)（答案不唯一）．【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式.【變式3-3】（2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是R上的函數(shù)，，并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，求.【題型4抽象函數(shù)的值域問題】【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?-1】（2022·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t在區(qū)間上的值域是.【變式4-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，則（）A．B．，C．，D．，【變式4-3】（2023·湖南·高三祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的定義域和值域均為，則（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)镈．函數(shù)的值域?yàn)椤咀兪?-4】（2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，則下列四個(gè)函數(shù)①；②；③；④，其中值域也為的函數(shù)個(gè)數(shù)是（）A．B．C．D．【題型5抽象函數(shù)的單調(diào)性問題】滿分技巧判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.【例5】（2023·河北·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)對(duì)于任意x，，總有，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為．【變式5-1】（2023·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）已知定義在的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，恒有，則（）A．B．函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)D．【變式5-2】（2023·江西上饒·高三婺源縣天佑中學(xué)?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)滿足：①對(duì)，，；②當(dāng)時(shí)，；③.（1）求，判斷并證明的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式5-3】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考一模）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于，，，且當(dāng)時(shí)，．（1）證明：為減函數(shù)；（2）若，求不等式的解集．【變式5-4】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值;（2）判斷的單調(diào)性，并證明;（3）解關(guān)于的不等式:.【題型6抽象函數(shù)的奇偶性問題】滿分技巧奇偶性：抽象函數(shù)奇偶性判定的根本依據(jù)是函數(shù)奇偶性的定義，判斷和的關(guān)系.【例6】（2023·福建寧德·福鼎市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知是定義在上不恒為0的偶函數(shù)，是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù)B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù)D．為偶函數(shù)【變式6-1】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)【變式6-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，且，則是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．不能確定【變式6-3】（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．不是奇函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【變式6-4】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．（1）求，，的值；（2）判斷的奇偶性，并證明．【題型7抽象函數(shù)的周期性問題】滿分技巧函數(shù)周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；【例7】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足且，，當(dāng)時(shí)，，則=（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·重慶開州·高三重慶市開州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)，滿足，若，則（）A．B．C．0D．1【變式7-2】（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，若，則（）A．B．C．2D．4【變式7-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A．2024B．C．D．0【變式7-4】（2023·陜西咸陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則.【題型8抽象函數(shù)的對(duì)稱性問題】滿分技巧1、軸對(duì)稱：（1）函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱（2）函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱.2、中心對(duì)稱：（1）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱3、函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系：（1）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱；（2）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱；（3）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱；（4）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱.【例8】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)(不是常函數(shù)）滿足，則（）A．有對(duì)稱中心B．有對(duì)稱軸C．是增函數(shù)D．是減函數(shù)【變式8-1】（2023·四川南充·高三南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且與曲線交于點(diǎn)，，…，，則為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（）A．關(guān)于對(duì)稱B．關(guān)于對(duì)稱C．是周期函數(shù)D．【變式8-3】（2024·河南漯河·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（）A．B．C．D．【變式8-4】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且與均為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的有（）A．關(guān)于對(duì)稱B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．D．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．2．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．3．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，滿足的為（）A．B．C．D．4．（2022·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足：，，則（）A．B．C．D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑢?duì)，恒有，則下列說法錯(cuò)誤的有（）A．B．C．D．若，則周期為6．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意非零實(shí)數(shù)，都有.則函數(shù)是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)7．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．在單調(diào)遞減B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減D．在單調(diào)遞減8．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）（多選）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A．B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．9．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考一模）（多選）已知不恒為0的函數(shù)，滿足，都有．則（）A．B．C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)10．（2024·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足：，，且當(dāng)時(shí)，，若，則（）A．B．在上單調(diào)遞減C．D．11．（2023·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）寫出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為.12．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)，都滿足且，則．13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則．14．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）定義在R上的函數(shù)對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）試判斷在R上的單調(diào)性，并說明理由；（3）解不等式.15．（2023·四川綿陽(yáng)·高三江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意，，總有，且當(dāng)時(shí)，，．（1）求證：是上的奇函數(shù)；（2）求證：是上的減函數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．重難點(diǎn)2-2抽象函數(shù)及其應(yīng)用8大題型抽象函數(shù)指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一個(gè)函數(shù)，由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫做抽象函數(shù)問題。抽象函數(shù)問題能綜合考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念和各種性質(zhì)的理解，但由于其表現(xiàn)形式的抽象性和多變性，學(xué)生往往無從下手，這類問題是高考的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)之一?！绢}型1抽象函數(shù)的定義域問題】滿分技巧求抽象函數(shù)的定義域①已知fx的定義域，求f若fx的定義域?yàn)閍,b，則fgx中a≤gx≤b②已知fgx的定義域，求若fgx的定義域?yàn)閍,b，則由a≤x≤b確定gx③已知fgx的定義域，求可先由fgx定義域求得fx的定義域，再由f④運(yùn)算型的抽象函數(shù)求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集.注意：求抽象函數(shù)的定義域，要明確定義域指的是x的取值范圍，同一個(gè)f下括號(hào)內(nèi)的范圍是一樣的.【例1】（2023·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：A.【變式1-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，可得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)，則有，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.【變式1-2】（2023·新疆阿克蘇·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】依題意，函數(shù)的定義域是，所以對(duì)于函數(shù)來說，有，所以函數(shù)的定義域是.【變式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，則由有意義，得，解得，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?【變式1-4】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第三十二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?【題型2抽象函數(shù)的求值問題】滿分技巧以抽象函數(shù)為載體的求值問題的常見形式，是給出函數(shù)滿足的特殊條件，指定求出某處的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值?！纠?】（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且，則（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】令，得，即①因②，聯(lián)立①②解得：或，又，所以．故選：B.【變式2-1】（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則（）A．0B．2022C．2023D．2024【答案】C【解析】令，解得，逐項(xiàng)帶入，故選：C.【變式2-2】（2023·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則（）A．9B．10C．11D．12【答案】A【解析】令，得；令，，得；令，得.將以上三式相加得，即，故選：A．【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，y，都有恒成立，已知，則.【答案】－1【解析】令，得，所以，解得，，解得.【變式2-4】（2023·湖北·高三襄陽(yáng)五中校聯(lián)考期中）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，函數(shù)滿足關(guān)系式，則．【答案】【解析】依題意，取，有，則恒成立，取，則.【題型3抽象函數(shù)的解析式問題】滿分技巧=1\*GB3①換元法：用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)；=2\*GB3②湊合法：在已知f(g(x))=?(x)的條件下，把?(x)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求fx；=3\*GB3③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件，求出出關(guān)系式中的未知系數(shù)；=4\*GB3④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式；=5\*GB3⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達(dá)式；=6\*GB3⑥方程組法：一般等號(hào)左邊有兩個(gè)抽象函數(shù)(如f(x),f(?x))，將左邊的兩個(gè)抽象函數(shù)看成兩個(gè)變量，變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，與原方程組成一個(gè)方程組，利用消元法求f(x)的解析式.【例3】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）寫出滿足的函數(shù)的解析式．【答案】【解析】中，令，得；令得，故，則．【變式3-1】（2024·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)校考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)（答案不唯一）．【答案】1,（答案不唯一）【解析】令，則，又，所以，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不妨取偶函數(shù)，則，也可取，則，滿足題意.故答案為：,（答案不唯一）【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式.【答案】【解析】對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，令，得，即，又，所以.【變式3-3】（2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是R上的函數(shù)，，并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，求.【答案】【解析】由已知條件得，又，設(shè)，則，所以即∴.此時(shí),而,符合題設(shè)要求，故.【題型4抽象函數(shù)的值域問題】【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以函數(shù)的值域?yàn)?，則的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)椋咀兪?-1】（2022·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域是.【答案】【解析】因?yàn)槭巧现芷跒?的函數(shù)，，故對(duì)任意的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，而，，即，故當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng).則在的值域是【變式4-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，則（）A．B．，C．，D．，【答案】C【解析】因?yàn)?，且的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，則的定義域?yàn)?，，值域?yàn)椋?，由得，所以的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，則，，，，所以，故選：C.【變式4-3】（2023·湖南·高三祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的定義域和值域均為，則（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)镈．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【解析】函數(shù)中的x需滿足，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄正確；函數(shù)中的x需滿足解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蔅正確；函數(shù)和的值域都為，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．【變式4-4】（2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋瑒t下列四個(gè)函數(shù)①；②；③；④，其中值域也為的函數(shù)個(gè)數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，則，①不滿足條件；對(duì)于②，對(duì)于函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)?，②滿足條件；對(duì)于③，因?yàn)椋瑒t，③滿足條件；對(duì)于④，因?yàn)?，，則，④滿足條件.故選：B.【題型5抽象函數(shù)的單調(diào)性問題】滿分技巧判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.【例5】（2023·河北·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)對(duì)于任意x，，總有，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為．【答案】【解析】令得，令，得，則為奇函數(shù)，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，得，所以．可化為，所以，解得．【變式5-1】（2023·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）已知定義在的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，恒有，則（）A．B．函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)D．【答案】ABD【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，恒有，令，則，所以A選項(xiàng)正確.不妨設(shè)，設(shè)，，由于，所以，所以，，所以在為增函數(shù)，所以B選項(xiàng)正確.設(shè)的符號(hào)無法判斷，所以的單調(diào)性無法判斷，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知，函數(shù)在為增函數(shù)，所以，所以，同理，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【變式5-2】（2023·江西上饒·高三婺源縣天佑中學(xué)?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)滿足：①對(duì)，，；②當(dāng)時(shí)，；③.（1）求，判斷并證明的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；在上的單調(diào)遞增，證明見解析；（2）【解析】（1）令，得，解得；在上的單調(diào)遞增.證明如下：任取，即，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，，所以在上的單調(diào)遞增.（2）令，得，因?yàn)?，所以，不等式等價(jià)于，即；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立，①時(shí)，，解得，不等式并非在上恒成立；②時(shí)，只有滿足條件，解得.綜上可得.【變式5-3】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃┖瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，，，且當(dāng)時(shí)，．（1）證明：為減函數(shù)；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）設(shè)，且，則，，因?yàn)?，所以，即為減函數(shù).（2）因?yàn)?，所以，令，則，即，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，所以不等式的解集為.【變式5-4】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值;（2）判斷的單調(diào)性，并證明;（3）解關(guān)于的不等式:.【答案】（1）；（2）是上的減函數(shù)，證明見解析；（3）答案見解析【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有成立，令，則，所以.（2）函數(shù)為上的減函數(shù).證明:令，則，所以，故為奇函數(shù).任取，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，即，所以是上的減函數(shù).（3）根據(jù)題意，可得，由（2）知在上單調(diào)遞減，所以，即，可得，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【題型6抽象函數(shù)的奇偶性問題】滿分技巧奇偶性：抽象函數(shù)奇偶性判定的根本依據(jù)是函數(shù)奇偶性的定義，判斷和的關(guān)系.【例6】（2023·福建寧德·福鼎市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知是定義在上不恒為0的偶函數(shù)，是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù)B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù)D．為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】由題意可知，，所以，所以為偶函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，所以為奇函數(shù)，B項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以為偶函?shù)，C項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以為偶函?shù)，D項(xiàng)正確.故選：BCD.【變式6-1】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)【答案】AD【解析】選項(xiàng)A：設(shè)，因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，故A正確；選項(xiàng)B：，因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，因?yàn)?，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，所以為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)，因?yàn)?，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)槭遣缓銥?的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是奇函數(shù)，因?yàn)槭遣缓銥?的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)，故D正確，故選：AD.【變式6-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，且，則是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．不能確定【答案】A【解析】取，則，因?yàn)?，所?取，則，即.即函數(shù)是偶函數(shù)，故選：A【變式6-3】（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．不是奇函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【答案】BC【解析】令，得，令，得，則，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．由，得，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)．故選：BC【變式6-4】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．（1）求，，的值；（2）判斷的奇偶性，并證明．【答案】（1），，；（2）偶函數(shù)，證明見解析【解析】（1）令，得，因?yàn)?，所以．令，得，因?yàn)?，所以．令，得，即，因?yàn)?，所以，所以．?）為偶函數(shù)．證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)．【題型7抽象函數(shù)的周期性問題】滿分技巧函數(shù)周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；【例7】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足且，，當(dāng)時(shí)，，則=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，有，可得，所以的周期為2．令，代入，可得，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以因?yàn)?，所以，所以．故選：C【變式7-1】（2023·重慶開州·高三重慶市開州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)，滿足，若，則（）A．B．C．0D．1【答案】B【解析】因?yàn)榍?，令，，則，故，即，所以：，，所以函數(shù)是周期為6的周期函數(shù).在中，令，，得，則；令，，得，則；由得：，，，，所以故由函數(shù)的周期性知中，任意連續(xù)6個(gè)數(shù)之和為，而，所以，故選：B【變式7-2】（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，若，則（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】令，得，即，令，得，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，得，令，得，，或，若，解得與已知矛盾，，即，解得，，令，得，，，，，所以函數(shù)的周期為4.，故選：A.【變式7-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A．2024B．C．D．0【答案】D【解析】由題意，在中，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，函數(shù)值周期性變化，周期為3，∵，可得：，故選：D.【變式7-4】（2023·陜西咸陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則.【答案】【解析】依題意，，，令得，所以，則，，所以，所以是周期為的周期函數(shù).令，則，，，，所以，因?yàn)?，所?【題型8抽象函數(shù)的對(duì)稱性問題】滿分技巧1、軸對(duì)稱：（1）函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱（2）函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱.2、中心對(duì)稱：（1）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱3、函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系：（1）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱；（2）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱；（3）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱；（4）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱.【例8】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)(不是常函數(shù)）滿足，則（）A．有對(duì)稱中心B．有對(duì)稱軸C．是增函數(shù)D．是減函數(shù)【答案】B【解析】令，得，∴；令，得，∴；令，得，∴的圖象關(guān)于直線關(guān)于對(duì)稱，故選：B.【變式8-1】（2023·四川南充·高三南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且與曲線交于點(diǎn)，，…，，則為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，所以關(guān)于對(duì)稱，又關(guān)于對(duì)稱，因此，故選：B【變式8-2】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（）A．關(guān)于對(duì)稱B．關(guān)于對(duì)稱C．是周期函數(shù)D．【答案】ACD【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.故A正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則其圖象關(guān)于對(duì)稱，向左平移一個(gè)單位后得到的圖象，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，則有，所以①,又，則②,由①②，則，則，，則，所以8是函數(shù)的一個(gè)周期.，是周期函數(shù)，故C正確；因?yàn)椋?，所以，，所以，故D正確，故選：ACD.【變式8-3】（2024·河南漯河·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由為奇函數(shù)可得，即，，即，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；將代入，得，將代入，得，B選項(xiàng)正確；將代入得，得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；將代入，得，故，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.【變式8-4】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且與均為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的有（）A．關(guān)于對(duì)稱B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．D．【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱.若關(guān)于對(duì)稱，則導(dǎo)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，這與關(guān)于對(duì)稱矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，所以B正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，所以.又關(guān)于對(duì)稱，所以.所以，，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由A知，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，.但無法確定.故D錯(cuò)誤，故選：BC.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域是，滿足，即，又分母不為0，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海蔬x：C.2．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知，所以，所以的定義域?yàn)?，從而的定義域?yàn)?，故選：D.3．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，滿足的為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】（方法1）令，則，．由于，即，所以．而滿足的函數(shù)有對(duì)數(shù)函數(shù)（，），所以，只有B選項(xiàng)符合題意，其它選項(xiàng)均不符合．（方法2）令，則，得．在四個(gè)選項(xiàng)中，只有B選項(xiàng)滿足，其它選項(xiàng)均不符合．故選：B4．（2022·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足：，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，令得：，因?yàn)?，所以，令，得：，即，則，上面兩式子聯(lián)立得：，所以，故，故是以6為周期的函數(shù)，且，所以，故選：A5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，?duì)，恒有，則下列說法錯(cuò)誤的有（）A．B．C．D．若，則周期為【答案】A【解析】由，令，，有，可得或，A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，令，則，，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，令，則，則，函數(shù)是偶函數(shù)，，綜上，B正確；令，則，故，由于，令，即，即有，C正確；若，令，則，所以，則，，所以，則周期為，D正確，故選：A6．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意非零實(shí)數(shù)，都有.則函數(shù)是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)【答案】B【解析】令，則，所以.令，則，所以.令，，則，所以為偶函數(shù)，故排除D選項(xiàng)；由題意可知，函數(shù)滿足定義域?yàn)?，且?duì)任意非零實(shí)數(shù)，都有，符合題意，但不為奇函數(shù)，故排除AC，故選：B.7．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是定義在上