第16講 圓的方程7種常見考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第16講圓的方程7種常見考法歸類回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.知識點1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．2．圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．如圖所示．3．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.當(dāng)a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．注：（1）圓的方程的推導(dǎo)：設(shè)圓上任一點M(x，y)，則|MA|＝r，由兩點間的距離公式，得eq\r(x－a2＋y－b2)＝r，化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)當(dāng)圓心在原點即A(0,0)，半徑長r＝1時，方程為x2＋y2＝1，稱為單位圓．(3)相同的圓，建立坐標(biāo)系不同時，圓心坐標(biāo)不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．(4)圓上的點都滿足方程，滿足方程的點都在圓上．知識點2點與圓的位置關(guān)系(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d＞r?點在圓外；d＝r?點在圓上；d＜r?點在圓內(nèi)．(2)根據(jù)點M(x0，y0)的坐標(biāo)與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系判斷：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點在圓外；(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上；(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點在圓內(nèi)．知識點3圓的一般方程1．圓的一般方程的概念當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．注：將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓．當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).2．圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑長為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).注：圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長需要代數(shù)運(yùn)算才能得出，且圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F(xiàn)為常數(shù))具有以下特點：(1)x2，y2項的系數(shù)均為1；(2)沒有xy項；(3)D2＋E2－4F＞0.3．常見圓的方程的設(shè)法標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0過原點(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圓心在x軸上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圓心在y軸上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0與x軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0與y軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝04.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.知識點4圓的軌跡問題軌跡和軌跡方程區(qū)別：軌跡是指點在運(yùn)動變化中形成的圖形，比如直線、圓等．軌跡方程是點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．1、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑．常用到中點坐標(biāo)公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷．2、判斷點與圓的位置關(guān)系的方法(1)確定圓的方程：化為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)將點的坐標(biāo)代入代數(shù)式(x－a)2＋(y－b)2，比較代數(shù)式的值與r2的大小關(guān)系．(3)下結(jié)論：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示點在圓上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示點在圓外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示點在圓內(nèi)．此外，也可以利用點與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷．當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上；當(dāng)d<r時，點在圓內(nèi)．3、圓的一般方程辨析判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓．此時有兩種途徑：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方變形，看方程等號右端是否為大于零的常數(shù)．4、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓5、利用待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).6、求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．7、用代入法求軌跡方程的一般方法8、圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;①若點在外，則;②若點在上，則;③若點在內(nèi)，則;9、與圓有關(guān)的最值問題常見的幾種類型(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)截距的最值問題．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．考點一：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（一）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心、半徑例1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此圓的圓心及半徑長分別為（

）A． B．C． D．變式1．（2023秋·高二單元測試）圓的圓心和半徑分別是（

）A． B．C． D．變式2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心C的坐標(biāo)為________，圓的面積為________．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2．（2023春·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心為點，且經(jīng)過原點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.變式1．（廣東省廣州市培正中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）求圓心在y軸上，半徑為1，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式2．（福建省泉州外國語中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）與x軸相切，且圓心坐標(biāo)為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________變式3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．變式4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過點和坐標(biāo)原點，并且圓心在直線上的圓的方程．變式5．（廣東省肇慶市百花中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）直線與直線相交于點，直線過點且與直線平行.(1)求直線的方程；(2)求圓心在直線上且過點的圓的方程.考點二：圓的一般方程（一）圓的一般方程辨析例3．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┓匠瘫硎疽粋€圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式1．（2023秋·河南許昌·高二禹州市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．（二）由圓的一般方程求圓心、半徑例4．（上海市第三女子中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）圓的圓心坐標(biāo)是________.變式1．（2023春·湖北武漢·高二武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知圓C：，則圓C的圓心和半徑為（

）A．圓心，半徑 B．圓心，半徑C．圓心，半徑 D．圓心，半徑變式2．（2023秋·高二課時練習(xí)）圓C：的圓心是_____，半徑是_____．（三）求圓的一般方程例5．（2023秋·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學(xué)校考期中）求適合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線上，且過點的圓；(2)過三點的圓.變式1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓經(jīng)過拋物線與軸的交點，且過點，則圓的方程為______.變式2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點四點共圓，則點D到坐標(biāo)原點O的距離為______．變式3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．變式4．（2023秋·高二校考課時練習(xí)）已知圓經(jīng)過點和，該圓與兩坐標(biāo)軸的四個截距之和為，求圓的方程.考點三：根據(jù)對稱性求圓的方程例6．（2023秋·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校校考期中）圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.變式1．（2023秋·高二單元測試）圓關(guān)于直線對稱的圓是（

）A． B．C． D．變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.變式3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．變式4．（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．變式5．（2023秋·高二課時練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對稱圓方程.考點四：點與圓的位置關(guān)系例7．【多選】（2023秋·高二課時練習(xí)）(多選)下列各點中，不在圓的外部的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？變式2．（2023秋·高二校考課時練習(xí)）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．變式3．（2023秋·高二課時練習(xí)）點與圓的位置關(guān)系是（

）A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不確定考點五：圓過定點問題例8．（2023秋·山西晉中·高二山西省平遙中學(xué)校?？计谥校┤魣A過坐標(biāo)原點，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1變式1．（2023·高二課時練習(xí)）點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為_______變式3．（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校θ我鈱崝?shù)，圓恒過定點，則定點坐標(biāo)為__．變式4．（2023秋·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線：．（1）當(dāng)取何值時，方程表示圓？（2）求證：不論為何值，曲線必過兩定點．（3）當(dāng)曲線表示圓時，求圓面積最小時的值．考點六：與圓有關(guān)的軌跡問題例9．（上海市上海中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）點與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為______．變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓：，過點的直線與圓交于點，，線段的中點為，則點的軌跡方程為___________.變式2．（2023秋·安徽阜陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點，且被直線平分.(1)求圓的一般方程；(2)設(shè)是圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程.變式3．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.變式4．（2023秋·高二課時練習(xí)）正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為___________.變式5．【多選】（2023秋·高一單元測試）已知點，動點滿足，則下面結(jié)論正確的為（

）A．點的軌跡方程為 B．點到原點的距離的最大值為5C．面積的最大值為4 D．的最大值為18考點七：與圓有關(guān)的最值問題例10．（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）已知圓C過點，當(dāng)圓C到原點O的距離最小時，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上運(yùn)動，求當(dāng)半徑最小時的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________變式2．（2023秋·高二課時練習(xí)）圓過點，求面積最小的圓的方程為_________變式3．（2023秋·高二課時練習(xí)）如果圓的方程為，那么當(dāng)圓面積最大時，該圓的方程為________，最大面積為________．變式4．（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點到直線的最大距離是（

）A． B． C． D．1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為____________．4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．一、單選題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）將圓平分的直線是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·高二課時練習(xí)）若點是圓的弦的中點，則弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．3．（2022秋·高二課時練習(xí)）過三點的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．4．（2021秋·高二課時練習(xí)）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程是（

）A． B．C． D．5．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：，過點的兩條直線，互相垂直，圓心C到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．47．（2021秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┻^定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．8．（2023春·遼寧·高一遼寧實驗中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，P是直徑為4的圓上的三個動點，且，則最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若直線始終平分圓的周長，則的取值可能是()A． B．-C． D．210．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）過四點中的三點的圓的方程為（

）A． B．C． D．11．（2022·高二課時練習(xí)）設(shè)有一組圓：，下列命題正確的是（）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點C．經(jīng)過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為12．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知曲線（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．