第16講 圓的方程7種常見考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義_第1頁
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文檔簡介

第16講圓的方程7種常見考法歸類回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程與一般方程.知識點1圓的標準方程1.圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓,定點稱為圓心,定長稱為圓的半徑.2.圓的要素:是圓心和半徑,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大?。鐖D所示.3.圓的標準方程:圓心為A(a,b),半徑長為r的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點為圓心、半徑為r的圓.注:(1)圓的方程的推導(dǎo):設(shè)圓上任一點M(x,y),則|MA|=r,由兩點間的距離公式,得eq\r(x-a2+y-b2)=r,化簡可得:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)當圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓.(3)相同的圓,建立坐標系不同時,圓心坐標不同,導(dǎo)致圓的方程不同,但是半徑是不變的.(4)圓上的點都滿足方程,滿足方程的點都在圓上.知識點2點與圓的位置關(guān)系(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷:d>r?點在圓外;d=r?點在圓上;d<r?點在圓內(nèi).(2)根據(jù)點M(x0,y0)的坐標與圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系判斷:(x0-a)2+(y0-b)2>r2?點在圓外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2?點在圓上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2?點在圓內(nèi).知識點3圓的一般方程1.圓的一般方程的概念當D2+E2-4F>0時,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程.注:將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(D,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(E,2)))2=eq\f(D2+E2-4F,4),當D2+E2-4F>0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓.當D2+E2-4F=0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))).2.圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))),半徑長為eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F).注:圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式,其方程是一種特殊的二元二次方程,圓心和半徑長需要代數(shù)運算才能得出,且圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F(xiàn)為常數(shù))具有以下特點:(1)x2,y2項的系數(shù)均為1;(2)沒有xy項;(3)D2+E2-4F>0.3.常見圓的方程的設(shè)法標準方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點x2+y2=r2x2+y2-r2=0過原點(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圓心在y軸上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+eq\f(1,4)D2=0與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+eq\f(1,4)E2=04.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A=C≠0,,B=0,,D2+E2-4AF>0.))5.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.知識點4圓的軌跡問題軌跡和軌跡方程區(qū)別:軌跡是指點在運動變化中形成的圖形,比如直線、圓等.軌跡方程是點的坐標滿足的關(guān)系式.1、求圓的標準方程的方法確定圓的標準方程就是設(shè)法確定圓心C(a,b)及半徑r,其求解的方法:一是待定系數(shù)法,建立關(guān)于a,b,r的方程組,進而求得圓的方程;二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標和半徑.常用到中點坐標公式、兩點間距離公式,有時還用到平面幾何知識,如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等.一般地,在解決有關(guān)圓的問題時,有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷.2、判斷點與圓的位置關(guān)系的方法(1)確定圓的方程:化為(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)將點的坐標代入代數(shù)式(x-a)2+(y-b)2,比較代數(shù)式的值與r2的大小關(guān)系.(3)下結(jié)論:若(x-a)2+(y-b)2=r2,表示點在圓上;若(x-a)2+(y-b)2>r2,表示點在圓外;若(x-a)2+(y-b)2<r2,表示點在圓內(nèi).此外,也可以利用點與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷.當d>r時,點在圓外;當d=r時,點在圓上;當d<r時,點在圓內(nèi).3、圓的一般方程辨析判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時,一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征,當它具備圓的一般方程的特征時,再看它能否表示圓.此時有兩種途徑:一是看D2+E2-4F是否大于零;二是直接配方變形,看方程等號右端是否為大于零的常數(shù).4、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形條件圖形D2+E2-4F<0不表示任何圖形D2+E2-4F=0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))D2+E2-4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))為圓心,以eq\f(\r(D2+E2-4F),2)為半徑的圓5、利用待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程,一般采用圓的標準方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F(xiàn).6、求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)代入法:找到要求點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式等.7、用代入法求軌跡方程的一般方法8、圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)的方程,圓心,點是上的動點,點為平面內(nèi)一點;記;①若點在外,則;②若點在上,則;③若點在內(nèi),則;9、與圓有關(guān)的最值問題常見的幾種類型(1)形如u=eq\f(y-b,x-a)形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(x,y)和(a,b)的動直線斜率的最值問題.(2)形如l=ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線y=-eq\f(a,b)x+eq\f(l,b)截距的最值問題.(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點(x,y)到定點(a,b)的距離的平方的最值問題.考點一:求圓的標準方程(一)由圓的標準方程求圓心、半徑例1.(2023秋·高二課時練習(xí))已知圓的標準方程為,則此圓的圓心及半徑長分別為(

)A. B.C. D.變式1.(2023秋·高二單元測試)圓的圓心和半徑分別是(

)A. B.C. D.變式2.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))已知圓C的標準方程為,則圓心C的坐標為________,圓的面積為________.求圓的標準方程例2.(2023春·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末)已知圓的圓心為點,且經(jīng)過原點,則圓的標準方程為__________.變式1.(廣東省廣州市培正中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)求圓心在y軸上,半徑為1,且過點的圓的標準方程.變式2.(福建省泉州外國語中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題)與x軸相切,且圓心坐標為的圓的標準方程為_______________變式3.(2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中??计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?,已知、兩點,若圓以為直徑,則圓的標準方程為(

)A. B.C. D.變式4.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))求經(jīng)過點和坐標原點,并且圓心在直線上的圓的方程.變式5.(廣東省肇慶市百花中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)直線與直線相交于點,直線過點且與直線平行.(1)求直線的方程;(2)求圓心在直線上且過點的圓的方程.考點二:圓的一般方程(一)圓的一般方程辨析例3.(2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)??计谀┓匠瘫硎疽粋€圓,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.變式1.(2023秋·河南許昌·高二禹州市高級中學(xué)??茧A段練習(xí))方程表示圓,則實數(shù)a的可能取值為(

)A. B.2 C.0 D.(二)由圓的一般方程求圓心、半徑例4.(上海市第三女子中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)圓的圓心坐標是________.變式1.(2023春·湖北武漢·高二武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)校考開學(xué)考試)已知圓C:,則圓C的圓心和半徑為(

)A.圓心,半徑 B.圓心,半徑C.圓心,半徑 D.圓心,半徑變式2.(2023秋·高二課時練習(xí))圓C:的圓心是_____,半徑是_____.(三)求圓的一般方程例5.(2023秋·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學(xué)??计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程:(1)圓心在直線上,且過點的圓;(2)過三點的圓.變式1.(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知圓經(jīng)過拋物線與軸的交點,且過點,則圓的方程為______.變式2.(2023·河南鄭州·模擬預(yù)測)已知點四點共圓,則點D到坐標原點O的距離為______.變式3.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))過坐標原點,且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為(

)A. B.C. D.變式4.(2023秋·高二校考課時練習(xí))已知圓經(jīng)過點和,該圓與兩坐標軸的四個截距之和為,求圓的方程.考點三:根據(jù)對稱性求圓的方程例6.(2023秋·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校??计谥校﹫A關(guān)于直線對稱的圓的標準方程為______.變式1.(2023秋·高二單元測試)圓關(guān)于直線對稱的圓是(

)A. B.C. D.變式2.(2023·全國·高三專題練習(xí))與圓關(guān)于直線對稱的圓的標準方程是______.變式3.(2023秋·高二課時練習(xí))已知圓,圓與圓關(guān)于直線對稱,則圓的方程為(

)A. B.C. D.變式4.(2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末)已知圓與圓關(guān)于直線對稱,則圓的標準方程為(

)A. B.C. D.變式5.(2023秋·高二課時練習(xí))求圓關(guān)于直線的對稱圓方程.考點四:點與圓的位置關(guān)系例7.【多選】(2023秋·高二課時練習(xí))(多選)下列各點中,不在圓的外部的是(

)A. B.C. D.變式1.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))寫出圓心為,半徑為5的圓的標準方程,并判斷點是否在這個圓上.若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)?變式2.(2023秋·高二??颊n時練習(xí))若點在圓的內(nèi)部,則a的取值范圍是().A. B. C. D.變式3.(2023秋·高二課時練習(xí))點與圓的位置關(guān)系是(

)A.點在圓上 B.點在圓內(nèi) C.點在圓外 D.不確定考點五:圓過定點問題例8.(2023秋·山西晉中·高二山西省平遙中學(xué)校??计谥校┤魣A過坐標原點,則實數(shù)m的值為(

)A.1 B.2 C.2或1 D.-2或-1變式1.(2023·高二課時練習(xí))點是直線上任意一點,是坐標原點,則以為直徑的圓經(jīng)過定點(

)A.和 B.和 C.和 D.和變式2.(2023·全國·高三專題練習(xí))若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、,則的外接圓恒過的定點坐標為_______變式3.(2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)??计谥校θ我鈱崝?shù),圓恒過定點,則定點坐標為__.變式4.(2023秋·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)??茧A段練習(xí))已知曲線:.(1)當取何值時,方程表示圓?(2)求證:不論為何值,曲線必過兩定點.(3)當曲線表示圓時,求圓面積最小時的值.考點六:與圓有關(guān)的軌跡問題例9.(上海市上海中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)點與兩個定點,的距離的比為,則點的軌跡方程為______.變式1.(2023秋·高二課時練習(xí))已知圓:,過點的直線與圓交于點,,線段的中點為,則點的軌跡方程為___________.變式2.(2023秋·安徽阜陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓經(jīng)過點,且被直線平分.(1)求圓的一般方程;(2)設(shè)是圓上的動點,求線段的中點的軌跡方程.變式3.(2023秋·山東日照·高二校考階段練習(xí))已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程;(2)若E點為圓C上任意一點,且點,求線段EF的中點M的軌跡方程.變式4.(2023秋·高二課時練習(xí))正方形與點在同一平面內(nèi),已知該正方形的邊長為1,且,則的取值范圍為___________.變式5.【多選】(2023秋·高一單元測試)已知點,動點滿足,則下面結(jié)論正確的為(

)A.點的軌跡方程為 B.點到原點的距離的最大值為5C.面積的最大值為4 D.的最大值為18考點七:與圓有關(guān)的最值問題例10.(2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末)已知圓C過點,當圓C到原點O的距離最小時,圓C的標準方程為______.變式1.(2023秋·高二課時練習(xí))已知圓經(jīng)過點,且圓心在直線上運動,求當半徑最小時的圓的標準方程為_______________變式2.(2023秋·高二課時練習(xí))圓過點,求面積最小的圓的方程為_________變式3.(2023秋·高二課時練習(xí))如果圓的方程為,那么當圓面積最大時,該圓的方程為________,最大面積為________.變式4.(2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中)圓上的點到直線的最大距離是(

)A. B. C. D.1.(2020·山東·統(tǒng)考高考真題)已知圓心為的圓與軸相切,則該圓的標準方程是(

)A. B.C. D.2.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)設(shè)點M在直線上,點和均在上,則的方程為______________.3.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)過四點中的三點的一個圓的方程為____________.4.(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)若直線是圓的一條對稱軸,則(

)A. B. C.1 D.一、單選題1.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))將圓平分的直線是(

)A. B.C. D.2.(2022秋·高二課時練習(xí))若點是圓的弦的中點,則弦所在的直線方程為(

)A. B.C. D.3.(2022秋·高二課時練習(xí))過三點的圓的一般方程為(

)A. B.C. D.4.(2021秋·高二課時練習(xí))已知圓與圓關(guān)于直線對稱,則圓的方程是(

)A. B.C. D.5.(2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和,則圓的標準方程是(

)A.B.C.D.6.(2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知圓C:,過點的兩條直線,互相垂直,圓心C到直線,的距離分別為,,則的最大值為(

)A. B.1 C. D.47.(2021秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)??计谥校┻^定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M,則的最大值是(

)A. B.3 C. D.8.(2023春·遼寧·高一遼寧實驗中學(xué)??计谥校┮阎狝,B,P是直徑為4的圓上的三個動點,且,則最小值為(

)A. B. C. D.二、多選題9.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))若直線始終平分圓的周長,則的取值可能是()A. B.-C. D.210.(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)過四點中的三點的圓的方程為(

)A. B.C. D.11.(2022·高二課時練習(xí))設(shè)有一組圓:,下列命題正確的是()A.不論如何變化,圓心始終在一條直線上B.所有圓均不經(jīng)過點C.經(jīng)過點的圓有且只有一個D.所有圓的面積均為12.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))已知曲線(

)A.若,則C是圓B.若,,則C是圓C.

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