2023-2024學年山西省太原五中高一（下）段考數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年山西省太原五中高一（下）段考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z=1+2i1?i(i為虛數單位)，則復數z?A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知a，b，c是非零向量，則“a=b”是“a?cA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若a/?/α，b/?/a，則b/?/α

B.若a/?/α，b/?/α，a?β，b?β，則β/?/α

C.若α/?/β，b/?/α，則b/?/β

D.若α/?/β，a?α，則a/?/β4.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則(AB+ACA.10 B.12 C.?10 D.?125.在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=(

)A.π6 B.π4 C.π36.如圖，半球內有一內接正四棱錐S?ABCD，該四棱錐的體積為423，則該半球的體積為(

)A.23π

B.4297.《九章算術》是中國古代人民智慧的結晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側面積(單位：平方丈)為(

)A.51+π24π B.58.在△ABC中，已知A=60°，BC=2，D為BC的中點，則線段AD長度的最大值為(

)A.1 B.2 C.3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(?4,3)，b=(7,1)，下列說法正確的是(

)A.(a+b)⊥a B.|a?b|=55

C.與向量10.下列有關復數的說法中(其中i為虛數單位)，正確的是(

)A.i22=1

B.復數z=3?2i的共軛復數的虛部為2

C.若1?3i是關于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根，則q=?8

D.若復數z滿足|z?i|=111.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F分別為棱A1D1A.存在點G，使BG/?/EF

B.存在點G，使平面EFG/?/平面BDC1

C.三棱錐A1?EFG的體積為定值

D.平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設m∈R，復數z=(m2+m?2)+(m?1)i，其中i為虛數單位，若z為純虛數，則m=13.如圖，直角△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，O′對應直角坐標系中的坐標原點O，∠A′C′B′=90°，A′O′=B′C′=2，則AB=______．14.設銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B=2A，則b+ca的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(2,x)，b=(1,2)．

(1)若x=32，求a在b上的投影向量的模；

(2)若a//b，向量c=(1,x?1)16.(本小題15分)

如圖，在梯形ABCD中，AB/?/CD，BC⊥CD，CD=2AB=23，∠ADC=45°，梯形繞著直線AB旋轉一周．

(1)求所形成的封閉幾何體的表面積；

(2)17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=(cosC+cosB,sinA)，b=(cosC?cosB,sinC?sinA)，且a⊥b．

(Ⅰ)求角B的值；

(Ⅱ)若△ABC中，a+c=9，b=18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為平行四邊形，E、F分別為

PD、BC的中點，面PAB∩面PCD=l．

(1)證明：l/?/AB；

(2)證明：EF/?/平面PAB．

(3)在線段PD上是否存在一點G，使FG//面ABE？若存在，求出PGGD的值；若不存在，請說明理由．19.(本小題17分)

如圖，半圓O的直徑為2cm，A為直徑延長線上的點，OA=2cm，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.設∠AOB=α．

(1)當α=π3時，求四邊形OACB的周長；

(2)克羅狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據以上材料，則當線段OC的長取最大值時，求∠AOC．

(3)問：B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值．

參考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.C

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.BD

11.AC

12.?2

13.314.(1+15.解：(1)當x=32時，a=(2,32)，

因為b=(1,2)，

所以a在b上的投影向量的模為|acosθ|=|a?b||b|=|2+3|12+22=5．

(2)因為向量a16.解：依題意旋轉后形成的幾何體可以看作一個圓柱中挖去了一個圓錐后形成的，

(1)其表面積S=圓柱側面積+圓錐側面積+圓柱底面積=12π+32π+3π=(15+32)π．

(2)其體積V=圓柱體積17.解：(Ⅰ)由a⊥b，得a?b=(cosC+cosB)(cosC?cosB)+sinA(sinC?sinA)=0，

化簡得cos2C?cos2B+sinAsinC?sin2A=0，

∴sin2B?sin2C=sin2A?sinAsinC

由正弦定理，得b2?c2=a2?ac，

∴cosB=a2+c18.證明：(1)∵ABCD為平行四邊形，

∴AB/?/CD，又AB?面PCD，CD?面PCD，

∴AB/?/面PCD，∵面PAB∩面PCD=l，∴l(xiāng)/?/AB．

(2)取PA中點M，連接BM，EM，則EM=?/?/12AD，又∵BF=?/?/12AD，

∴EM=?/?/BF，∴四邊形BFEM為平行四邊形，∴EF/?/BM，

∵EF?面PAB，BM?面PAB，∴EF/?/面PAB．

(3)取AD中點N，連接FN，NG，則FN/?/AB，FN?面ABE，AB?面ABE，

∴FN/?/面ABE，又∵FG/?/面ABE，FN?FG=F，FN，FG?面FNG，

∴面FNG/?/面ABE，且面PAD?面ABE=AE，面PAD?面FNG=NG，

∴AE/?/NG，又∵N為AD中點，19.解：(1)在△ABO中，

由余弦定理得AB2=OA2+OB2?2OA?OB?cosα=1+4?2×1×2×12=3，

即AB=3，于是四邊形OACB的周長為OA+OB+2AB=3+23；

(2)因為OB?AC+OA?BC≥AB?OC，