2024年上海市高考數(shù)學(xué)試題答案

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)（網(wǎng)絡(luò)回憶版）一、填空題1．設(shè)全集，集合，則．【答案】【解析】由題設(shè)有，答案：2．已知?jiǎng)t．【答案】【解析】因?yàn)楣?，答案?3．已知?jiǎng)t不等式的解集為．【答案】【解析】方程的解為或，故不等式的解集為，答案：.4．已知，，且是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故即，故，答案：.5．已知，且，則的值為．【答案】15【解析】，，解得．答案：15．6．在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】10【分析】令，解出，再利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)合理賦值即可.【解析】令，，即，解得，所以的展開式通項(xiàng)公式為，令，則，．答案：10．7．已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么點(diǎn)到軸的距離為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，將其再代入拋物線方程即可.【解析】由知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，由題意得，解得，代入拋物線方程，得，解得，則點(diǎn)到軸的距離為．答案：．8．某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．【答案】0.85【解析】根據(jù)題意知，題庫的比例為：，各占比分別為，則根據(jù)全概率公式知所求正確率．答案：0.85．9．已知虛數(shù)，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)為．【答案】2【解析】設(shè)，且.則，，，解得，答案：2.10．設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】329【解析】根據(jù)題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個(gè)；②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有個(gè)數(shù)字可選，百位有個(gè)數(shù)字可選，十位有個(gè)數(shù)字可選，由分步乘法這樣的偶數(shù)共有，最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為個(gè)．答案：329．11．已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則(精確到0.1度)【答案】【分析】設(shè)，在和中分別利用正弦定理得到，?！窘馕觥吭O(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在△BCA中，由正弦定理得，即，即，②因?yàn)椋?，利用?jì)算器即可得，答案：.12．無窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對任意的恒成立，故可求的取值范圍.【解析】由題設(shè)有，因?yàn)?，故，故，?dāng)時(shí)，，故，此時(shí)為閉區(qū)間，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若，則，若，則，若，則，綜上，，又為閉區(qū)間等價(jià)于為閉區(qū)間，而，故對任意恒成立，故即，故，故對任意的恒成立，因，故當(dāng)時(shí)，，故即.答案：.二、單選題13．已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（

）A．氣候溫度高，海水表層溫度就高B．氣候溫度高，海水表層溫度就低C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢【答案】C【解析】AB。當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，AB錯(cuò)誤.CD.因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時(shí)，海水表層溫度呈上升趨勢，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.14．下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.，周期，A正確；B.，周期，B錯(cuò)誤；C.，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，C錯(cuò)誤；D.，周期，D錯(cuò)誤，故選：A．15．定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意知這三個(gè)向量共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，A.由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無法推出，A錯(cuò)誤；B.由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無法推出，B錯(cuò)誤；C.由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則由能推出，C正確。D.由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無法推出，D錯(cuò)誤.故選：C．16．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是嚴(yán)格增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對于B，構(gòu)造函數(shù)即可判斷.【解析】A.若存在是偶函數(shù),取,則對于任意,而,矛盾,A錯(cuò)誤；B.可構(gòu)造函數(shù)滿足集合，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)的最大值是，B正確；C.假設(shè)存在，使得嚴(yán)格遞增，則，與已知矛盾，C錯(cuò)誤；D.假設(shè)存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，D錯(cuò)誤；故選：B.三、解答題17．如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)(2)【解析】（1）正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，由圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，由圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是（2）連接，根據(jù)題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.18．若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價(jià)于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)榈膱D象過，故，故即（負(fù)的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.（2）因?yàn)榇嬖谑沟贸傻炔顢?shù)列，故有解，故，因?yàn)椋?，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域?yàn)?，故?19．為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長（精確到0.1）(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？（附：其中，．）【答案】(1)(2)(3)有【解析】（1）由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為．（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為．則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).（3）由題列聯(lián)表如下：其他合計(jì)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．其中．．則零假設(shè)不成立，即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．20．已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)若離心率時(shí)，求的值．(2)若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)連接并延長，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.【解析】（1）根據(jù)題意得，則，．（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，因?yàn)闉榈妊切?，則①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；②當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，則,聯(lián)立解得或或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，錯(cuò)誤，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，則有，解得，即．答案：.（3）根據(jù)題知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，則設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長線交雙曲線于點(diǎn)，根據(jù)雙曲線對稱性知，聯(lián)立有，顯然二次項(xiàng)系數(shù)，其中，①，②，

，則，因?yàn)樵谥本€上，則，，即，即，將①②代入有，即化簡得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因?yàn)?，則，由上知，，．21．對于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．(1)對于，求證：對于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；(2)對于，請判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．【答案】(1)見解析(2)存在，(3)嚴(yán)格單調(diào)遞減【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據(jù)題意得到，對兩等式化簡得，再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數(shù)單調(diào)性.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故對于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”．（2）由題設(shè)可得，則，因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)，而，故在