2024八年級數(shù)學下冊重點突圍專題09中心對稱與平行四邊形的判定含解析新版浙教版

Page1專題09中心對稱與平行四邊形的判定【考點一】判定中心對稱圖形例題：（廣東·梅州市學藝中學八年級期末）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．【詳解】解：選項B、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；故選：A．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是理解定義，找出對稱中心．【變式訓練】1．（山東日照·九年級期末）在下列中國傳統(tǒng)圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：假如一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，依據(jù)定義即可推斷．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：C．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是正確駕馭中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：假如一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．2．（江蘇·靖江市試驗學校八年級階段練習）下列四個圖形中，屬于中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)中心對稱圖形的概念解答．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．【詳解】解：A．不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)度后和原圖形完全重合，故選項錯誤，不符合題意；B．不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)度后和原圖形完全重合，故選項錯誤，不符合題意；C．能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)度后和原圖形完全重合，故選項正確，符合題意；D．不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)度后和原圖形完全重合，故選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了是中心對稱圖形的概念．解體的關(guān)鍵是要找尋對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3．（云南昆明·九年級期末）昆明市作為全國文明城市，提倡市民：“垃圾分類，人人參與”．下列四個圖形是生活中常見的垃圾分類標記，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析推斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是找尋對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要找尋對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．4．（安徽銅陵·九年級期末）下列圖形中，即是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有(

)

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】依據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進行推斷即可．【詳解】A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選B．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別．識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是找尋對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，識別中心對稱圖形是要找尋對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．【考點二】已知兩點關(guān)于原點坐標，求參數(shù)例題：（山東日照·九年級期末）若點與關(guān)于原點對稱，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)列出方程即可解答．【詳解】解：點與關(guān)于原點對稱，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是駕馭好對稱點的坐標規(guī)律．【變式訓練】1．（四川達州·八年級期末）已知和關(guān)于原點對稱，則___________．【答案】?1【解析】【分析】平面直角坐標系中，關(guān)于原點對稱的兩點，其橫坐標與縱坐標分別互為相反數(shù)，由此可求得a與b的值，從而求得結(jié)果．【詳解】∵和關(guān)于原點對稱∴a=-4，b=3∴故答案為：?1【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標特征，求代數(shù)式的值，駕馭關(guān)于原點對稱的點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．2．（山東德州·九年級期末）若點P（m－1，3）與點Q（3，2－n）關(guān)于原點成中心對稱，則m＋n的值是______．【答案】3【解析】【分析】依據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：∵點P（m?1，3）與點Q（3，2?n）關(guān)于原點成中心對稱，∴m?1＝?3，2?n＝?3，解得：m＝?2，n＝5，則m＋n＝?2＋5＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)．3．（四川廣安·九年級期末）若點關(guān)于原點對稱的點是，則__________．【答案】9【解析】【分析】依據(jù)兩點關(guān)于原點對稱，則橫坐標之和，縱坐標之和分別為零，建立一元一次方程求解即可．【詳解】解：∵點關(guān)于原點對稱的點是，∴3-a-1=0，3b+1+8=0，解得a=2，b=-3，∴，故答案為：9．【點睛】本題考查了點的坐標關(guān)于原點對稱，一元一次方程的解法，乘方運算，嫻熟駕馭兩個點關(guān)于原點對稱的坐標特點是解題的關(guān)鍵．4．（河北廊坊·九年級期末）在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點為，則_______．【答案】-1【解析】【分析】依據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，可得a，b，然后代入求解即可．【詳解】解：由點關(guān)于原點對稱的點為，得∴，故答案為：．【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標的特征，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于明確：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．【考點三】坐標內(nèi)畫中心對稱圖形例題：（重慶永川·九年級期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，在所給的平面直角坐標系中解答下列問題：(1)分別寫出兩點的坐標；(2)作出關(guān)于坐標原點成中心對稱的；(3)求出的面積．【答案】(1)A（-1，0）、B（-2，-2）(2)見解析(3)【解析】【分析】（1）依據(jù)圖形所示，即可得出、兩點的坐標；（2）依據(jù)圖形寫出點坐標，再依據(jù)關(guān)于原點對稱的兩點橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，得出、、的坐標，連接各點，即可得；（3）利用的面積長方形的面積三個直角三角形的面積即可求出答案．(1)解：由圖形可知，，；(2)解：由圖形知，三點關(guān)于原點的中心對稱坐標，，，順次連接得到，如圖所示：(3)解：的面積．【點睛】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換，關(guān)于坐標原點成中心對稱的兩圖形的對應點的坐標關(guān)系：它們的橫縱坐標都互為相反數(shù)；也考查了坐標的表示以及三角形的面積，駕馭關(guān)于原點成中心對稱的兩個圖形的坐標是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（四川成都·八年級期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，2），B（1，0），C（3，4）．(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是__________；(2)若點D與點C關(guān)于原點對稱，則點D的坐標為__________；(3)已知P為x軸上一點，若△ABP的面積為4，畫出△ABP．【答案】(1)畫△ABC見解析，4(2)（-3，-4）(3)見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)A，B，C的坐標，畫出圖形即可，利用分割法求出△ABC的面積；（2）利用中心對稱的性質(zhì)解決問題即可；（3）設P（m，0），構(gòu)建方程，解決問題即可．(1)解：如圖，△ABC即為所求，S△ABC=3×4-×1×2-×2×3-×2×4=4，故答案為：4．(2)解：∵C（3，4），C，D關(guān)于原點對稱，∴D（-3，-4）；故答案為：（-3，-4）；(3)解：設P（m，0），則有×|1-m|×2=4，解得m=-3或5，∴P（-3，0），P′（5，0），△ABP或△ABP′如圖所示．【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，三角形的面積等學問，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題．2．（安徽宿州·八年級期末）△ABC在直角坐標系內(nèi)的位置如圖所示．(1)分別寫出A、B、C的坐標；(2)請在這個坐標系內(nèi)畫出，使與△ABC關(guān)于x軸對稱；(3)請在這個坐標系內(nèi)畫出，使與△ABC關(guān)于原點對稱，并寫出的坐標．【答案】(1)A(0，3)，B(-4，4)，C(-2，1)(2)圖見解析(3)圖見解析，B2(4，-4)【解析】【分析】（1）由點A，B，C在坐標系中的位置即可得；（2）分別作出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點，再順次連接即可得；（3）分別作出點A，B，C關(guān)于原點的對稱點，再順次連接即可得．(1)解：A(0，3)，B(-4，4)，C(-2，1)，(2)解：如圖所示，△A1B1C1即為所作，(3)解：如圖所示，△A2B2C2即為所作，B2(4，-4)．【點睛】本題主要考查作圖一旋轉(zhuǎn)變換和軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭軸對稱變換和旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)．3．（江蘇·洪澤新區(qū)中學八年級階段練習）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題：(1)作出△ABC關(guān)于y軸成軸對稱的△A1B1C1，(2)作出△ABC關(guān)于坐標原點O成中心對稱的△A2B2C2，(3)作出點C關(guān)于x軸的對稱點P．若點P向右平移x個單位長度后落在△A2B2C2的內(nèi)部（不含落在△A2B2C2的邊上），請干脆寫出x的取值范圍．（提示：每個小正方形邊長為1個單位長度）【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)點P位置見解析，5.5＜x＜8．【解析】【分析】（1）利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征找出A1、B1、C1的坐標，然后描點連線即可；（2）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征找出A2、B2、C2的坐標，然后描點連線即可；（3）利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征作出點P，再依據(jù)所畫的圖形可確定x的范圍．(1)解：如圖，△A1B1C1為所作；(2)解：如圖，△A2B2C2為所作；(3)解：點P位置如圖所示，由圖可知x的取值范圍是：5.5＜x＜8．【點睛】本題考查了作圖——軸對稱、中心對稱，嫻熟駕馭軸對稱和中心對稱的性質(zhì)，找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵．4．（江蘇揚州·八年級期中）如圖，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．(1)畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形；(2)P（a，b）是△ABC的AC邊上一點，將△ABC平移后點P的對稱點，請畫出平移后的；(3)若和關(guān)于某一點成中心對稱，則對稱中心的坐標為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)（2，1）【解析】【分析】（1）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；（2）利用點P與P′的坐標特征確定平移的方向與距離，再利用此平移規(guī)律寫出點A、B、C的對應點A2、B2、C2的坐標，然后描點即可；（3）連接A1A2、B1B2、C1C2，它們的交點為對稱中心．(1)如圖所示，即為所求；(2)∵點P向右平移4個單位，向上平移4個單位得到點P′，∴△ABC向右平移4個單位，向上平移2個單位得到，如圖所示：(3)依據(jù)圖象可知，連接、、后，它們交于點，且點的坐標為（2，1），所以和的對稱中心的坐標為（2，1）．故答案為（2，1）．【點睛】本題考查了作圖?旋轉(zhuǎn)變換：依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．【考點四】添加一個條件成為平行四邊形例題：（全國·八年級課前預習）中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，則當AD＝________時，四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】6【變式訓練】1．（全國·八年級課前預習）四邊形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四邊形，須要增加條件________（只需填一個條件即可）．【答案】AD=BC【解析】略2．（河南省直轄縣級單位·八年級期中）在四邊形ABCD中，AD＝BC，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需添加一個條件，這個條件可以是_____．（只要填寫一種狀況）【答案】AB＝CD或AD∥BC(答案不唯一)【解析】【分析】干脆利用平行四邊形的判定方法一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形或者兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，進而得出答案．【詳解】解：∵在四邊形ABCD中，AD＝BC，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需添加一個條件，這個條件可以是：AB＝CD或AD∥BC等．故答案為：AB＝CD或AD∥BC等．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，正確駕馭判定方法是解題關(guān)鍵．3．（吉林四平·八年級期中）如圖，在平行四邊形中，、分別是、上的點，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形為平行四邊形，則添加的條件是______．（答案不唯一，添加一個即可）．【答案】FC=AE【解析】【分析】依據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，CD∥AB，CD=AB，因此只須要證明DF=EB即可推斷四邊形EBFD是平行四邊形，由此求解即可．【詳解】解：添加條件FC=AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，CD=AB∵CF=AE，∴DF=BE，∴四邊形EBFD是平行四邊形，故答案為：FC=AE．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠嫻熟駕馭平行四邊形的性質(zhì)與判定條件．4．（全國·八年級課時練習）如圖，點E、F是的對角線上的點，要使四邊形是平行四邊形，還須要增加的一個條件是______（只須要填一個正確的即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由已知OA=OC，OB=OD，則只要OE=OF即可判定四邊形AECF是平行四邊形，故可增加條件DE=BF即可．【詳解】增加條件DE=BF，可使四邊形AECF是平行四邊形∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC，OB=OD∵DE=BF∴OD-DE=OB-BF即OE=OF∴四邊形AECF是平行四邊形

故答案為：DE=BF（答案不唯一）【點睛】本題考查了平行四邊形的判定性質(zhì)，關(guān)鍵是駕馭平行四邊形的各種判定方法．【考點五】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明例題：（山東煙臺·八年級期末）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE//AB交AC于點F，CE//AM，連結(jié)AE．(1)如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析【解析】【分析】（1）先推斷出∠ECD=∠ADB，進而推斷出△ABD≌△EDC，即可得出結(jié)論；（2）先推斷出四邊形DMGE是平行四邊形，借助（1）的結(jié)論即可得出結(jié)論．(1)證明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB，∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB=ED，∵AB∥ED，∴四邊形ABDE是平行四邊形；(2)解：結(jié)論成立，理由如下：如圖，過點M作MG∥DE交CE于G，∵CE∥AM，∴四邊形DMGE是平行四邊形，∴ED=GM，且ED∥GM，由（1）知，AB=GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出幫助線是解綁的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（甘肅·金昌市第五中學八年級期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線BD上的兩點，∠1＝∠2．

(1)求證：DE＝BF；(2)求證：四邊形AECF是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）通過利用“ASA”證明，再依據(jù)全等三角形對應邊相等即可得到結(jié)論；（2）通過對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行證明即可．(1)證明：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，在和中，，，；(2)，，由（1）得，，四邊形AECF是平行四邊形．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟駕馭學問點是解題的關(guān)鍵．2．（黑龍江·哈爾濱德強學校九年級階段練習）已知：是的角平分線，點E，F(xiàn)分別在上，且，．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，若為等邊三角形，在不添加幫助線的狀況下，請你干脆寫出全部是軸對稱但不是中心對稱的圖形．【答案】(1)證明見解析(2)等邊，等邊，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形【解析】【分析】（1）由角平分線可知，由平行可知，可得，，進而結(jié)論得證；（2）由題意可得四邊形是菱形，是等邊三角形的中點，然后依據(jù)在平面內(nèi)，把一個圖形圍著某個點旋轉(zhuǎn)180°，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；對圖中的三角形與四邊形的對稱性進行推斷即可．(1)證明：∵是的角平分線∴∵∴∴∴∵，∴四邊形是平行四邊形．(2)解：由（1）知四邊形是平行四邊形∴∵是等邊三角形∴∴∴四邊形是菱形∴∴是等邊三角形的中點∴∴由軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義可知，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的有：等邊，等邊，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形．【點睛】本題考查了角平分線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，軸對稱圖形，中心對稱圖形等學問．解題的關(guān)鍵在于對學問的嫻熟駕馭與靈敏運用．3．（浙江省東陽市外國語學校八年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD交于點O，且AO=OC，過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F．(1)求證：四邊形ABCD為平行四邊形；(2)連接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)16°【解析】【分析】（1）通過ADBC，AO=OC，證明△AOD≌△COB（ASA），推出AD＝CB，結(jié)合ADBC，即可證明四邊形ABCD為平行四邊形；（2）設∠ABE＝x，先證EF為BD的垂直平分線，推出BE＝DE，再利用平行線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，即可求解．(1)證明：∵ADBC，，又∵AO=OC，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵ADBC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；(2)解：設∠ABE＝x，則∠DBF＝2x，由（1）得：四邊形ABCD為平行四邊形，∴OB＝OD，∵EF⊥BD，∴EF為BD的垂直平分線，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵ADBC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，∴100°+x+2x+2x＝180°，解得：x＝16°，即∠ABE＝16°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等學問，結(jié)合題意綜合運用上述學問是解題的關(guān)鍵．4．（江蘇南通·八年級階段練習）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD，BC邊上的點，且∠ABE=∠CDF．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)連接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的長【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，依據(jù)條件可證明△ABE≌△CDF（ASA），可得DE=BF，即可證明四邊形BFDE是平行四邊形．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，依據(jù)內(nèi)錯角相等及題意可知△CDE為等腰三角形，即DE=DC=5，可知△CDF為直角三角形，即△EBC為直角三角形，再依據(jù)勾股定理即可解得CE的長．(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AD=BC，∠A=∠DCF，AB=CD，∵∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，∴DE=BF，∵DE//BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；(2)∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE=DF，，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠DEC=∠ECB，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠ECB，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC，在△DFC中，CF=3，DF=4，DE=DC=5，∴DC2=CF2+DF2，∴△DFC是直角三角形，∴∠DFC=90°，∴∠EBC=90°，在Rt△EBC中，．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等學問點，嫻熟駕馭上述學問點并結(jié)合題意依據(jù)勾股定理解答是解出本題的關(guān)鍵．5．（重慶試驗外國語學校八年級階段練習）在四邊形中，、交于點，，．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)過點作交于點，連接．若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，即可利用“ASA”證明，即得出，由此可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形；（2）依據(jù)題意易證，即得出，從而可求出．再由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可求出．(1)∵，∴．即在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；(2)∵，即，∴在和中，，∴∴，即．∵，∴，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．駕馭三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．6．（江蘇·淮安市洪澤試驗中學八年級階段練習）如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F(xiàn)分別為垂足．(1)求證：△ABE≌△CDF．(2)求證：四邊形AECF是平行四邊形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）只須要利用AAS證明兩個三角形全等即可；（2）依據(jù)△ABE≌△CDF，得到AE=CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF，由此即可證明結(jié)論．(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS）；(2)解：∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)與判定條件．7．（海南三亞·八年級期末）如圖，D是的邊AB上一點，，DN交AC于點M，若MA=MC．(1)求證：四邊形ADCN是平行四邊形；(2)若ACDN，CAN30，MN=1，求四邊形ADCN的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)由，MA=MC，易證得△ADM≌△CNM，則可得AD=CN，即可證得：四邊形ADCN是平行四邊形；(2)首先依據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再依據(jù)勾股定理可求得AM的長，即可求得，再由即可求得．(1)證明：在與中又四邊形ADCN是平行四邊形；(2)解：ACDN，CAN30，MN=1，四邊形ADCN是平行四邊形【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等學問，解題的關(guān)鍵是正確找尋全等三角形解決問題．【考點六】動態(tài)中求值平行四邊形例題：（江西九江·八年級期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA＝5cm，E，F(xiàn)為直線BD上的兩個動點（點E，F(xiàn)始終在?ABCD的外面），連接AE，CE，CF，AF．（1）若DE＝OD，BF＝OB，①求證：四邊形AFCE為平行四邊形；②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四邊形AFCE的周長．（2）若DE＝OD，BF＝OB，四邊形AFCE還是平行四邊形嗎？請寫出結(jié)論并說明理由．若DE＝OD，BF＝OB呢？請干脆寫出結(jié)論．【答案】（1）①見解析；②40；（2）都是，理由見解析．【解析】【分析】（1）①由平行四邊形的性質(zhì)可知OA＝OC、OB＝OD，結(jié)合DE＝OD，BF＝OB可得出OE＝OF，依據(jù)“對角線相互平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形AFCE為平行四邊形；②依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合CA平分∠BCD，即可得出AD＝CD，進而可得出OE是AC的垂直平分線，再依據(jù)∠AEC＝60°可得出△ACE是等邊三角形，依據(jù)OA的長度即可得出AE、CE的長度，套用平行四邊形周長公式即可求出四邊形AECF的周長；（2）由DE＝OD，BF＝OB可得出OE＝OF，依據(jù)“對角線相互平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形AFCE為平行四邊形，由此可得出原結(jié)論成立，同理可得DE＝OD，BF＝OB，四邊形AFCE還是平行四邊形．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵DE＝OD，BF＝OB，∴DE＝BF，∴OE＝OF，∴四邊形AFCE為平行四邊形；②解：在?ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD．∵OA＝OC，∴OE⊥AC，∴OE是AC的垂直平分線，∴AE＝CE．∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等邊三角形，∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），∴C四邊形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）；（2）解：若DE＝OD，BF＝OB，四邊形AFCE是平行四邊形，理由：∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，∴DE＝BF，∴OB+BF＝OD+DE，即OF＝OE，∵OA＝OC，∴四邊形AFCE為平行四邊形．若DE＝OD，BF＝OB，則四邊形AFCE為平行四邊形，理由：∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB．∴DE＝BF，∴OB+BF＝OD+DE，即OF＝OE，∵OA＝OC，∴四邊形AFCE為平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，駕馭平行四邊形的對角線相互平分是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（河南省直轄縣級單位·八年級期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，動點P從A起先沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；動點Q從點C起先沿CB邊向B以3cm/s的速度運動．P、Q分別從點A、C同時動身，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動．設運動時間為ts，(1)當t＝6.5s時，試推斷四邊形ABQP的形態(tài)；(2)當t為何值時，PQ截四邊形ABCD的兩部分有一個平行四邊形？【答案】(1)四邊形ABQP為平行四邊形(2)t＝6.5或6【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得到，依據(jù)平行四邊形的判定定理得出結(jié)論；（2）分四邊形為平行四邊形、四邊形為平行四邊形兩種狀況，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)定理列出方程，解方程得到答案．(1)解：由題意得：，，則，當時，，，，，四邊形為平行四邊形；(2)解：由（1）可知：當時，四邊形為平行四邊形，當時，四邊形為平行四邊形，此時，，解得：，綜上所述，當或時，截四邊形的兩部分有一個平行四邊形．【點睛】本題考查的是梯形、平行四邊形的判定和性質(zhì)，駕馭平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（陜西·銅川市耀州區(qū)教化體育局教學探討室八年級期末）如圖，已知是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點（點D不與B、C重合）是以AD為邊的等邊三角形，過點F作BC的平行線交射線AC于點E，連接BF．(1)求證：；(2)請推斷四邊形BCEF的形態(tài)，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形BCEF是平行四邊形，理由見解析【解析】【分析】（1）利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AFB≌△ADC；（2）四邊形BCEF是平行四邊形，因為△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，進而證明∠ABF=∠BAC，則可得到FBAC，又BCEF，所以四邊形BCEF是平行四邊形；(1)證明：∵△ABC和△ADF都是等邊三角形，∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，又∵∠FAB=∠FAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，∴∠FAB=∠DAC，在△AFB和△ADC中，，∴△AFB≌△ADC（SAS）(2)解：由①得△AFB≌△ADC，∴∠ABF=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABF=∠BAC，∴FBAC，又∵BCEF，∴四邊形BCEF是平行四邊形；【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，嫻熟駕馭性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．3．（江蘇·八年級專題練習）如圖①，點B是∠MAN的邊AM上的定點，點是邊AN上的動點，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且點A的對應點D恰好落在邊AN上，連結(jié)CE．（1）若∠A＝50°，求∠BCE的度數(shù)；（2）如圖②，當BC＝AC時，①求證：四邊形ABEC是平行四邊形；②若AB＝15，AD＝18，求AC的長．【答案】（1）50°；（2）①見解析；②【解析】【分析】（1）由△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，知AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，從而有∠BCE=∠A即可；（2）①依據(jù)（1）問可證出∠ECD=∠A=∠BEC，得到，，即可證明結(jié)論；②過點B作BH⊥AD，先得出AH=9，設AC=BC=x，則CH=x-9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，∴∠BDA=∠A=50°，∴∠ABD=80°，∴∠CBE=∠BAD=80°，∵BC=BE，∴∠BCE=（180°-∠CBE）÷2=50°；（2）①∵BC=CA，∴∠A=∠ABC，∴∠BCD=∠A+∠ABC=2∠A，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠BCE=∠A，∴∠ECD=∠A=∠BEC，∴，，∴四邊形ABEC是平行四邊形；②如圖，過點B作BH⊥AD，垂足為H，∵BD=BA，BH⊥AD，∴AH=AD＝9，在Rt△ABH中，由勾股定理得：，設AC=BC=x，則CH=x-9，在Rt△HCB中，由勾股定理得：，解得x=，∴AC的長為．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理等學問，作出幫助線，利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．4．（福建·三明一中九年級開學考試）如圖，點B是∠MAN的邊AM上的定點，點C是邊AN上的動點，將△ABC繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且點A的對應點D恰好落在邊AB上，連結(jié)CE．當BC=AC時，（1）求證：四邊形ABEC是平行四邊形；（2）若AB＝15，AD＝18，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，證明BE=AC，BE∥AC，即可證明結(jié)論；（2）過點B作BH⊥AD，先得出AH=12，設AC=BC=x，則CH=x-9，在Rt△