2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第二章2.10　函數(shù)的圖象(學(xué)生版+解析)

§2.10函數(shù)的圖象考試要求1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)畫簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題．知識(shí)梳理1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的方法步驟：化簡(jiǎn)、________、________、________.2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)伸縮變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，橫坐標(biāo)縮短為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變,0<a<1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變))y＝________.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝________.(3)對(duì)稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝________.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝________.③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝________.④y＝ax(a>0，且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝____________.(4)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝________.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝______.常用結(jié)論1．左右平移僅僅是相對(duì)x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進(jìn)行操作．如果x的系數(shù)不是1，需要把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換．2.函數(shù)圖象自身的對(duì)稱關(guān)系(1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．3．兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝|f(x)|為偶函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．()(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．()(4)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．()教材改編題1．函數(shù)y＝1－eq\f(1,x－1)的圖象是()2．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．33．函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)＝________.題型一作函數(shù)圖象例1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(3)y＝x2－2|x|－1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華函數(shù)圖象的常見畫法及注意事項(xiàng)(1)直接法：對(duì)于熟悉的基本函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，直接作圖．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作圖．(4)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域．跟蹤訓(xùn)練1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(3)y＝|log2x－1|.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二函數(shù)圖象的識(shí)別例2(1)(2023·許昌質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝y(tǒng)＝eq\f(22x＋1ln|x|,2x)的圖象大致為()聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·全國(guó)乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[－3,3]上的大致圖象，則該函數(shù)是()A．y＝eq\f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq\f(x3－x,x2＋1)C．y＝eq\f(2xcosx,x2＋1) D．y＝eq\f(2sinx,x2＋1)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷．(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷．(3)利用特殊函數(shù)值判斷．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·呂梁模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(2xsinx,4x＋1)的大致圖象為()(2)(2023·泉州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1－1，x≤1，,log2x，x>1，))則函數(shù)y＝f(1－x)的圖象大致為()題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用命題點(diǎn)1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例3已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－1)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對(duì)稱D．函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2利用圖象解不等式例4(2023·商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示，則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A．(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)D．(－2，－eq\r(2))∪(0，eq\r(2))∪(2，＋∞)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3利用圖象求參數(shù)的取值范圍例5已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若關(guān)于x的方程f(x)－m＝0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0,1) B．[0,1)C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}聽課記錄：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)把函數(shù)f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的最大值為()A．1B．2C．3D．4(2)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．§2.10函數(shù)的圖象考試要求1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)畫簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題．知識(shí)梳理1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的方法步驟：化簡(jiǎn)、列表、描點(diǎn)、連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)伸縮變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，橫坐標(biāo)縮短為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變,0<a<1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變))y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)．(3)對(duì)稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)．③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)．④y＝ax(a>0，且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0，且a≠1)．(4)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝f(|x|)．常用結(jié)論1．左右平移僅僅是相對(duì)x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進(jìn)行操作．如果x的系數(shù)不是1，需要把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換．2.函數(shù)圖象自身的對(duì)稱關(guān)系(1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．3．兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝|f(x)|為偶函數(shù)．(×)(2)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．(×)(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(4)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(×)教材改編題1．函數(shù)y＝1－eq\f(1,x－1)的圖象是()答案B解析將函數(shù)y＝－eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即得到y(tǒng)＝1－eq\f(1,x－1)的圖象，故選B.2．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析由于函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，開口向上，所以作出f(x)，g(x)的圖象如圖所示，故函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．3．函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)＝________.答案e－x＋1解析∵f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.題型一作函數(shù)圖象例1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖①所示．(2)原函數(shù)解析式可化為y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，如圖②所示．(3)因?yàn)閥＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，最后得函數(shù)圖象如圖③所示．思維升華函數(shù)圖象的常見畫法及注意事項(xiàng)(1)直接法：對(duì)于熟悉的基本函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，直接作圖．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作圖．(4)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域．跟蹤訓(xùn)練1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(3)y＝|log2x－1|.解(1)根據(jù)絕對(duì)值的意義，可將函數(shù)式化為分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))可見其圖象是由兩條射線組成，如圖①所示．(2)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖②實(shí)線部分所示．(3)先作出y＝log2x的圖象，再將其圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖③所示．題型二函數(shù)圖象的識(shí)別例2(1)(2023·許昌質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝y(tǒng)＝eq\f(22x＋1ln|x|,2x)的圖象大致為()答案B解析由解析式知，定義域?yàn)閧x|x≠0}，f(－x)＝eq\f(2－2x＋1,2－x)·ln|－x|＝eq\f(1＋22x,2x)·ln|x|＝f(x)，故y＝eq\f(22x＋1ln|x|,2x)為偶函數(shù)，排除D；又f(1)＝0，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(3ln2,\r(2))<0，排除A，C.(2)(2022·全國(guó)乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[－3,3]上的大致圖象，則該函數(shù)是()A．y＝eq\f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq\f(x3－x,x2＋1)C．y＝eq\f(2xcosx,x2＋1) D．y＝eq\f(2sinx,x2＋1)答案A解析對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，與圖象不符，故排除B；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝eq\f(1,5)sin3＞0，與圖象不符，故排除D；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)0＜x＜eq\f(π,2)時(shí)，0＜cosx＜1，故y＝eq\f(2xcosx,x2＋1)＜eq\f(2x,x2＋1)≤1，與圖象不符，所以排除C.故選A.思維升華識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷．(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷．(3)利用特殊函數(shù)值判斷．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·呂梁模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(2xsinx,4x＋1)的大致圖象為()答案A解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(sinx,2x＋2－x)，所以f(x)的定義域?yàn)镽，又f(－x)＝eq\f(－sinx,2－x＋2x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C選項(xiàng)；因?yàn)閑q\f(π,4)<1<eq\f(π,3)，所以0<f(1)＝eq\f(sin1,2＋\f(1,2))＝eq\f(2,5)sin1<eq\f(2,5)，排除B，D選項(xiàng)．(2)(2023·泉州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1－1，x≤1，,log2x，x>1，))則函數(shù)y＝f(1－x)的圖象大致為()答案B解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1－1，x≤1，,log2x，x>1，))所以y＝g(x)＝f(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－1，x≥0，,log21－x，x<0，))所以當(dāng)x＝0時(shí)，g(0)＝e0－1＝0，故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤；當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)＝e－x－1單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確．題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用命題點(diǎn)1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例3已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－1)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對(duì)稱D．函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸答案C解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(2x,x－1)＝eq\f(2x－1＋2,x－1)＝eq\f(2,x－1)＋2，所以該函數(shù)圖象可以由y＝eq\f(2,x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)成中心對(duì)稱，在(－∞，1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，C正確，A，B錯(cuò)誤；易知函數(shù)f(x)的圖象是由y＝eq\f(2,x)的圖象平移得到的，所以不存在兩點(diǎn)A，B使得直線AB∥x軸，D錯(cuò)誤．命題點(diǎn)2利用圖象解不等式例4(2023·商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示，則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A．(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)D．(－2，－eq\r(2))∪(0，eq\r(2))∪(2，＋∞)答案C解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的圖象，如圖所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2>0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2<0，,fx<0，))解得x<－2或eq\r(2)<x<2或－eq\r(2)<x<0，故不等式的解集為(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2)．命題點(diǎn)3利用圖象求參數(shù)的取值范圍例5已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若關(guān)于x的方程f(x)－m＝0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0,1) B．[0,1)C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}答案D解析因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)－m＝0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如圖所示，所以當(dāng)m∈[1,3)∪{0}時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,3)∪{0}．思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)把函數(shù)f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的最大值為()A．1B．2C．3D．4答案B解析把函數(shù)f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)＝ln|x＋2－a|的圖象，則函數(shù)g(x)在(a－2，＋∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)樗煤瘮?shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值為2.(2)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過點(diǎn)A時(shí)，斜率為eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).課時(shí)精練1．為了得到函數(shù)y＝2x－3－1的圖象，只需把函數(shù)y＝2x的圖象()A．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度答案A解析將函數(shù)y＝2x的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝2x－3的圖象，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝2x－3－1的圖象．2．(2022·全國(guó)甲卷)函數(shù)y＝(3x－3－x)·cosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的圖象大致為()答案A解析方法一(特值法)取x＝1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))cos1＝eq\f(8,3)cos1>0；取x＝－1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－3))cos(－1)＝－eq\f(8,3)cos1<0.結(jié)合選項(xiàng)知選A.方法二令y＝f(x)，則f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函數(shù)y＝(3x－3－x)cosx是奇函數(shù)，排除B，D；取x＝1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))cos1＝eq\f(8,3)cos1>0，排除C，故選A.3．(2023·黑龍江模擬)已知某個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列解析式中與此圖象最為符合的是()A．f(x)＝eq\f(ln|x－1|,x) B．f(x)＝eq\f(x,ln|x－1|)C．f(x)＝eq\f(x－2,|x|－1) D．f(x)＝eq\f(x－2,xx－1)答案A解析對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ln|x－1|)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,ln|x－1|≠0，))解得x≠0且x≠1且x≠2，故不滿足，錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)f(x)＝eq\f(x－2,|x|－1)有意義，則|x|－1≠0，解得x≠±1，故不滿足，錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝eq\f(x－2,xx－1)>0，故不滿足，錯(cuò)誤．故根據(jù)排除法得f(x)＝eq\f(ln|x－1|,x)與此圖象最為符合．4．若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為()答案C解析要想由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先作出y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象y＝－f(x)，然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確．5.已知f(x)是定義在[－5,5]上的偶函數(shù)，當(dāng)－5≤x≤0時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式eq\f(fx,sinx)<0的解集為()A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]B．(－π，－2)∪(π，5]C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]D．[－5，－2)∪(π，5]答案A解析因?yàn)閒(x)是定義在[－5,5]上的偶函數(shù)，觀察圖象結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得f(x)>0的解集為[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0的解集為(－2,2)，當(dāng)x∈[－5,5]時(shí)，sinx>0的解集為[－5，－π)∪(0，π)，sinx<0的解集為(－π，0)∪(π，5]，不等式eq\f(fx,sinx)<0等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx>0，,sinx<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx<0，,sinx>0，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx>0，,sinx<0，))解得x∈(－π，－2)∪(π，5]，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx<0，,sinx>0，))解得x∈(0,2)，所以不等式eq\f(fx,sinx)<0的解集為(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]．6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x，x≥0，,－e－x＋1，x<0，))方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，則下列判斷正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(3,2)對(duì)稱B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減C．當(dāng)m∈(1,2)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根D．當(dāng)m∈(－1,0)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，顯然函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(3,2)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，f(x)＝－e－x＋1在(－∞，0)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，作出函數(shù)y＝|f(x)－1|的圖象，如圖所示，當(dāng)m∈(1,2)時(shí)，2－m∈(0,1)，結(jié)合圖象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)m∈(－1,0)時(shí)，2－m∈(2,3)，結(jié)合圖象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故D正確．7．將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)為奇函數(shù)，則f(0)＋f(2)＝________.答案－2解析由函數(shù)f(x)的圖象先向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1，故f(x)＝g(x－1)－1，所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2.8．(2023·衡水質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,x)的圖象與直線y＝kx＋1交于不同的兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＋y2＝________.答案2解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(x＋1,x)＝eq\f(1,x)＋1，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，而直線y＝kx＋1過(0,1)點(diǎn)，故兩圖象的交點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，所以eq\f(y1＋y2,2)＝1，即y1＋y2＝2.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,\f(1－x,x)，x>0.))(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)f(x)≥2時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．解(1)由題得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,\f(1,x)－1，x>0，))其圖象如圖所示，(2)由題可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,\f(1－x,x)≥2，))解得x≤－eq\r(2)或0<x≤eq\f(1,3)，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－eq\r(2)]∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).10．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,－x2＋2x，x≥0))是定義在R上的奇函數(shù)．(1)請(qǐng)畫出f(x)的大致圖象并在圖象上標(biāo)注零點(diǎn)；(2)已知a>1，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解(1)根據(jù)題意，列表如下，x－2－1012f(x)0－1010f(x)的大致圖象如圖所示，其中有A，O，B三個(gè)零點(diǎn)，(2)由(1)的函數(shù)圖象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，則－1<a－2≤1，即1<a≤3，故a的取值范圍為1<a≤3.(3)φ(x)＝f(x)－ex的零點(diǎn)即為f(x)與y＝ex圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又y＝ex在R上單調(diào)遞增，值域?yàn)?0，＋∞)，結(jié)合(1)的圖象，易知f(x)與y＝ex的圖象在(－∞，0)有一個(gè)交點(diǎn)，即φ(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．11．函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,x＋c2)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)>0 B．b<0C．c<0 D．a(chǎn)bc<0答案D解析函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－c}，由圖可知－c>0，則c<0，由圖可知f(0)＝