高中數(shù)學(xué)競賽講義九

高中數(shù)學(xué)競賽講義(九)

—不等式

一、基礎(chǔ)知識(shí)

不等式的基本性質(zhì)：

(1)a>b=a-b>0；(2)a>b,b>c=a>c；

(3)a>b=a+c>b+c；(4)a>b,c〉O=ac>bc；

(5)a>b,c<0=ac<bc;(6)a>b>0,c>d>0-ac>bd;

(7)a>b>0,nGN.=an>bn;(8)a>b>0,nGM=%>班；

(9)a>0,|x|<a--a<x<a,|x|>a=x>a或

(10)a,b￡R,則|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|;

(11)a,b￡R,HJ(a—b)2》0=a2+b2e2ab;

則》

zGR\x+y2d^,x+y+zN訴

(12)x,y,

前五條是顯然的，以卜.從第六條開始給出證明。

（6）因?yàn)閍>b>0,c>d>0,所以ac>bc,bc>bd,所以ac>bd；重復(fù)利用性質(zhì)（6）,可

得性質(zhì)（7）；再證性質(zhì)（8）,用反證法，若石s加，由性質(zhì)（7）得函rM嫡丫,

即aWb,與a>b矛盾-，所以假設(shè)不成立，所以據(jù)>驅(qū)；山絕對值的意義知(9)成立；

一|：&W@W|0|，Tb|WbW|b|,所以-(|a|+|b|)Wa+bW|a|+|b|,所以|a+b|W|a|+|b|；下

面再證(10)的左邊，因?yàn)閨a|<a+b-b1W|a+b|+|b|,所以|a|-|b|W|a+b|,所以(10)成

立；(11)顯然成立；下證(12),因?yàn)閤+y-2l/E=(?-折'>0,所以x+y22'田，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號成立，再證另一不等式，令茹=,五=瓦注=8，因?yàn)?/p>

x3+b'!+c-3abc=(a+b)i+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)a+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-

ca)=-(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)']-0,所以a：'+b"+。'》3abc,即x+y+z^^/^^,

等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)成立。

二、方法與例題

1.不等式證明的基本方法。

A

(1)比較法，在證明A>B或A〈B時(shí)利用A-B與0比較大小，或把6(A,B>0)與1比

較大小，最后得出結(jié)論。

例1設(shè)a,b,ceR\試證：對任意實(shí)數(shù)x,y,z,有

------xy-2

【證明】左邊-右邊=x2+y2+z：+c*+a)

ca豆a

----------------x_r=---&--xi-2%J-J---------------。+----ya+,--c-y

JS+SXfr+c)b￥cW+lc+d)c+ac+a

JMb1.<11J8

2l---------------?+------z14-------z1-2Aj---------------xz-l-------JT=

Yg+/c+a）a￥bd+6VQ+5）S+e）b￥c

電仔q+（忌，十（后”怎q之。

所以左邊與右邊，不等式成立。

例2若a〈x〈l,比較大?。簂logKl-x）|與|log,（l+x）].

I—+切

【解】因?yàn)?-xwl,所以log“（l-x）W0,1版?0-幻1

=1log（i-x）（1+x）|=-loga-x）（l+x）=log（i-x）1+X>log（iX）（l—x）=l（因?yàn)?<l-x2<l,所以

l+X>l-x>0,0<l-x<l).

所以|10ga(l+X)|>|lOga(l-X)|.

(2)分析法，即從欲證不等式出發(fā)，層層推出使之成立的充分條件，直到已知為止,

敘述方式為：要證……，只需證……。

例3已知a,b,c￡R,求證：a+b+c-3%2a+b—2jS.

【證明】要證a+b+c-垢二不2a+b-2疝.只需證。+2石2金的，

因?yàn)閏+2石=。+&+日2距]不=第石所以原不等式成立。

例4已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足(KaWbWcW二，求證：卻一吟卻一切》(1一?)

【證明】因?yàn)?KaWbWcW二，由二次函數(shù)性質(zhì)可證a(l-a)Wb(Lb)Wc(Lc),

之二

所以AC-A)H-c),

+

所以《-a)*O-A)*(1-*)<l-G,

----+----X----+----

所以只需證明的一。)A。一即《叫*C-?),

也就是證H-=1-.)如-aXl-A),

只需證b(a-b)Wa(a-b),即(a-b”2O,顯然成立。所以命題成立。

(3)數(shù)學(xué)歸納法。

例5對任意正整數(shù)n(23),求證：nn+1>(n+l)n.

【證明［1)當(dāng)n=3時(shí)，因?yàn)?'=81>64=43,所以命題成立。

9+嚴(yán)

2)設(shè)n=k時(shí)有kk+，Xk+l)k,當(dāng)n=k+l時(shí),只需證(k+l)">(k+2)R即0+&**>1.因

****,■+產(chǎn)/

為(t+小，所以只需證a+25)"(L,即證(k+l嚴(yán)2>[k(k+2)]k”,只需證

(k+l)2>k(k+2),即證k、2k+l>k2+2k.顯然成立。

所以山數(shù)學(xué)歸納法，命題成立.

(4)反證法。

例6設(shè)實(shí)數(shù)a0,ai,???,也滿足ao=an=O,且ao-2ai+a2^O,ai-2a2+a3^0,???,

an-2-2an-i+an20,求證ak〈O(k=l,2,???,n-1).

【證明】假設(shè)ak(k=l,2,???,n-1)中至少有一個(gè)正數(shù),不妨設(shè)施是由,a&…,an-i

中第?個(gè)出現(xiàn)的正數(shù)，則aWO,a2<0,a.WO,ar>0.于是a「arT>0,依題設(shè)

ak4i-ak>ak-aki(k=l,2,???,n-1)。

所以從k=r起有an-aki^an-i-an-2，…DO.

=

因?yàn)閍n2ak-i2…，a「+i2%>0與an0矛盾。故命題獲證。

(5)分類討論法。

例7已知x,y,z￡R',求證：/+=x+y

【證明】不妨設(shè)x2y,x2z.

i)x2y2z,則*x+w>+N,x2^y2^z2,由排序原理可得

￡_+￡+￡)上

A+zr+xx+jry+tz+x*+尸，原不等式成立。

——―

ii)x'z》y,則*+,M+/>+N,x2)z22y2,由排序原理可得

X3，/V*X*X’

>+,r+xx+y>+zM+*M+?,原不等式成立.

(6)放縮法，即要證A>B,可證A>G,GeCz…,C?T2C?,C?>B(n￡N.).

1■城3(＜心之然

例8求證:

【證明】

5=1+已-占,

2-272,得證。

abc

-----+----->------

例9已知a,b,c是△ABC的三條邊長，m>0,求證：(HF?A+?C+?

ababa+b.M

------+------>----------+----------=----------

【證明】o-t-Mb+ma+b4-M-----------------o+A+*

M

c+mc+m(因?yàn)閍+b>c),得證。

（7）引入?yún)⒆兞糠ā?/p>

例10已知x,yeR1,1,a,b為待定正數(shù)，求f（x,y）=，的最小值。

=京*==___

【解】設(shè)改—，則-1+*-1+*,f(x,y)=

?Qv，Qk.k，尸

\(aJ+b3+3a2b+3ab2)=

g+A??=*

7一,等號當(dāng)且僅當(dāng)M7時(shí)成立。所以f(x,yLFF-'

例11設(shè)Xl2X2eX32x.ie2,X2+X3+XBX1,求證：(X1+X2+X3+X4)2<4X1X2X3X4.

【證明】設(shè)X1=k（X2+X3+X。，依題設(shè)有，WkWl,X3X424,原不等式等價(jià)于

22

（1+k）（X2+X3+X4）^4kx2X3X4（X2+X3+X4），即

。+1PJ

4/(X2+X3+X。WX2X3X1,因?yàn)閒(k)=k+1:在I?」上遞減,

1（*4-1+2）

所以缺（X2+X3+X4）=4k（X2+X3+X4）

3+-+2

3

W4?3X2=4XZWX2X3X4.

所以原不等式成立。

(8)局部不等式。

■A■+3+三之建

例12已知x,y,z￡R'，且x，y2+zJl,求證：1一”1一)”"2

-----5-2---

【證明】先證1-72

因?yàn)樘?/p>

X_xa、_3/^

寸=印3'二亍

所以S

同理言牽

號曾

例13已知0<a,b,cWl,求證：*c+tca+l&+1<2。

。弓2a

【證明】先證展+1a+b+c'①

即a+b+cW2bc+2.

即證(bT)(cT)+l+bc2a.

因?yàn)镺Wa,b,cWl,所以①式成立。

A.普《12c

同理8+1a+b-i-c'ab+la+b+c

三個(gè)不等式相加即得原不等式成立。

(9)利用函數(shù)的思想。

例14已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=l,求f(a,b,c)=，+3。+cc+a

的最小值。