高中數(shù)學(xué)必修四復(fù)習(xí)題含有答案詳解

高中教學(xué)必修四復(fù)習(xí)題

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高中數(shù)學(xué)必修四復(fù)習(xí)題

一、填空題：

1.巳知扇形的半徑是16,圓心角是2弧度，則扇形的弧長(zhǎng)是一.

【答案】32

2.函數(shù)片tan（2『g）的圖象與直線(xiàn)尸-a（a《R）的交點(diǎn)中距離的最小值為.

【答案】y

【解析】尸tan（2kg）的最小正周期版■，故廠tan（2『g）與y=-a的交點(diǎn)中距離的最小值為最

3.在△中，—\EF〃BC交AC于點(diǎn)F,設(shè)（=,（=,用a,6表示向量

5

一為_(kāi).

【答案】:-

O

丸2sin(—)—cos(n+)

4.己知cos(萬(wàn)+a)=2cos(n-a),則/代一)+,,“(王)

【答案】3

Isin2V5

【解析】通解由cos(萬(wàn)+a)=2cos(n-a)得sina=2cosa,Xcos2aAin'。=1,所叫

IcosV5

T

■._2巡

Sin=~,2sin(-)-cos(丸+)_-2sin+cos

5/5)、sin(-^?一)+cos(^y?一)cos-sin

cos=——,

2sin(—)—cos(n+)——2sin+cos_—3cos

優(yōu)解由cos(]+Q)=2COS(n一。)得sin。=2cos所以sin(,-)+cos(y—)cos-sin-cos

5.圓的一段弧長(zhǎng)等于這個(gè)圓的內(nèi)接正三角形的一條邊長(zhǎng),那么這段弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為.

【答案】V3

【解析】設(shè)圓的半徑為r,則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為a=V3r,故弧長(zhǎng)l=a=V3r,所以這段弧所對(duì)的圓心角

的弧度數(shù)為0=-=隨=a.

6.已知向量(與'的夾角為120°,且/―7=2,/―7=3,若=4――*,且*,則實(shí)

數(shù)A的值為.

【答案】7

【解析】由,?―=(^--'+~()?(-~~')=0得4-->-4(~r+(-r-

,**=0—3A-4A用+3=

(M*.

7.已知€(〃「)，且sin(—今)=*,則sin+cos=_.

【答案】\

0

【解析】因?yàn)閟in(-5)=3(sin—cos)=/二sin—cos1—2sincos=

,2sincos=2＞〃依題意知：6僅習(xí),又(sin+cos)-=1+2sincos=￡,

???sin+cos=；.故答案為3

8.己知向量——\|一＞|=5,|一＞|=3,則一'(=_.

【答案】16

＞2，2(

(解析]由已知條件構(gòu)造Rt△ABC,斜邊AC,則一J一-一,一=1-;則易求一,一"的

值.由已知條件構(gòu)造Rt△ABC,斜邊AC,則一，2=-，2--，2=16,一,=—1+一；則—1一＞=

X，+)=＞2=16.

9.將函數(shù)/?5)=$簡(jiǎn)(3*《)刊(。＞0)的圖像向左平移：個(gè)單位,所得圖像關(guān)于曠軸對(duì)稱(chēng),則正數(shù)3的最小

值為.

【答案】2

【解析】函數(shù)圖像向左平移g個(gè)單位后所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為片/?(x《)=sin[3(x^)-

7]已知在△?團(tuán)中，向量―^與一)的夾角為X/―7=2,則/_7的取值范圍

b3b3bz6

是.

【答案】(0,4]

[解析]???/―7=/―'+―7=J|—＞|2+1—)|2+2|—'II—'Icos^,???/―7+/―7-

V3/17/―7=4,把/~7看作未知量,得到一個(gè)一元二次方程/~7^/3/~7/―7+(〃川⑷=o,

這個(gè)方程的判別式4=(75/一7)々(|—,|2-i)=i6-|—.?."W/■―VW4,根據(jù)實(shí)際意義，知

0＜/—7W4.

11.若cosxcosy-^sinxsin尸\貝ljcos(2*一2同二.

【答案】3

y

【解析】由cosxcosy飛inxsin啟，可知cos(x-力=：,貝!Jsin2(x-j)=l-(；)'=，，

cos(2x-2y)=cos~(x-y)-sin2(x~y)=(1)J卷

12.設(shè)向量=[1,2),=(-2)，且〃，則2+3=.

【答案】(-幺-$

【解析】由〃得,IX+2x2=0,解得=一4,所以=(一2-4),2+3=(2,4)+

(-6,-12)=(-4,-8).

13.已知角，的終邊在第三象限，tan2。=-2近，則tan0-,cos0=.

【答案】2T

【解析】由tan2夕=一2調(diào)得tan2。-「，工-一2即調(diào)tar?0-tan8-^/2=0,解得tan。=近或tan

0=S,又角9的終邊在第三象限，故tan0=y[2.故工=調(diào)，由sin20A：OS20=1得cos2，=1,即cos

2cos3

0=^1

3

.的sin(T+)+sin(y-)

14.化間：-4———-4_0

COS(y+)+COS(y-)

【答案】V3

【解析】原式告上*一二tarr^=6.

2cos彳COS3

15.將函數(shù)片sinx的圖象向左平移;個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的;，縱坐標(biāo)不變,

便得到函數(shù)f(x)的圖象，則f(x)解析式為.

【答案】()=sin(2+：)

【解析】將函數(shù)尸sinx的圖象向左平移;個(gè)單位，則所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為尸sinj4),再將所

得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的:，縱坐標(biāo)不變，便得到函數(shù)/"(X)的圖象，則()=sin(2+?).

16.函數(shù)=sin(2+)(0＜＜3)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是=/則的值是

【答案】|

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)=sin(2+)(。＜＜勺圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是=巳所以sin信+)=±/,

又因?yàn)椤＃迹夹t看＜看+＜4,即?+解得=々；故填盤(pán)

17.已知?i=aii=a且？=/z則向量在方向上的投影為二

【答案】[

5

【解析】由？=/需||||cos=12而|1=31|=5,所以cos=，所以||cos=3x

所以向量在方向上的投影為二

DOO

18.當(dāng)產(chǎn)。時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx-3cosx取得最大值,則cos。的值為.

【答案】—亞

10

【解析】因?yàn)镠x)=sinx-3cosx=V7^(sin?曹一cos=VTOsin(一)，其中cos=

噂,sin=當(dāng)^當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，。—=/+2n,cos=cos(y+n+j=-sin=

一筆故填—甯

19.已知￡(一三,。,且cosZ=sin(一今，則tan萬(wàn)等于—

【答案】

3

【解析】由cosZ=sin(一])有為os"4-cos-2=0,而€(一巳，。，解得cos=：得=-j,

故tan下=tan(_V)=_@.

403

4

20.已知B為銳角，cos2B=—,則cos石二.

5-

【答案】匚

10

AA/in

【解析】由cos23=-=可得2cos21=一]，而B(niǎo)為銳角，所以所以cosB=土上.

5510

二、解答題

21.已知函數(shù)()=sin(+)(>0,0<S")為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最

低點(diǎn)間的距離為

(I)求()的解析式；

(H)若()+sin=；,求包空二迦的值.

【答案】解：(I)因?yàn)?)=sin(+)(>0,0<S又)為偶函數(shù)，故=士；

從而()=sin(+4)=cos.

由()圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為,4+員2,知=2",故=/.所以()=

cos.

/5、h1、sin2—cos2+7久incos+2sin^o.

(ID原式=----TiT-----='~，“、+.”，----=2sincos.

/H-------------

coscos

由條件知cos+sin=y平方得/+2sincos=[；

從而原式=2sincos=—1

22.已知函數(shù)()=/+2sin(2

⑴當(dāng)e[7,7],求/"(x)的最大值和最小值.

(2)求/1(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.

⑶若不等式f(x)-欣2在€[7,歹上恒成立，求實(shí)數(shù)卬的取值范圍.

nK

【答案】(1)因?yàn)橐?x<一，

42

所以2兀42%一兀上42上乃.

633

5

當(dāng)2x--rr=二rr，即x=」-萬(wàn)時(shí),

3212

當(dāng)即11時(shí)，

4

(2)最小正周期T=2=%.

CO

令一萬(wàn)+2<2-y<-+^(€)

得一行+-+(6),

所以單調(diào)遞增區(qū)間為

［一行+，％+K6).

(3)由題設(shè)條件可知-兀今對(duì)X€T'T恒成立，

_42_

乳乳

又當(dāng)xe［15］時(shí),

所以7彳至三，所以

23.已知向量a=(l,2),ZF(T,3),c=4界6,AeR.

⑴求向量a與6的夾角0-

(2)求|c|的最小值.

【答案】⑴?；|a|=倔|引=VTU,a-k5,

Acos0-~:-==—.

I|||VsxVTo2

Wn,二哪.

⑵???Ic|=〃+—y=J5(+1)2+5,

...當(dāng)4=T時(shí)，|c取得最小值，即c?in=V5.

24.2知己用C的坐標(biāo)分別為4(4,0),8(0,4),C(3cos%3sina).

(1)若ae(-n,0),且|-'|=|-N.求角a的值；

⑵若一,?-=0,求2si>+sin2的值.

1+n

【答案】(1)-(3cos。-4,3sina),-(3cosa,

3sin。-4).

由I*|=|1,得(3cos。-4)2+9sii?a=9cos2a+(3sin。-4)；所以sin。二cosa.

因?yàn)閍e(-n,0),所以。=-卜.

4

(2)因?yàn)?si.+sin2

2sincos(cos+sin).

-----------------^=2nsin^COSQ,

cos+sin

又*?=o,

所以3coso(3cosa-4)+3sino(3sin4)=0.

所以sinq+cos3

7

兩邊平方得2sinacos^=~~

16f

所以2sin2+sin27

1+n

25.已知點(diǎn)4(2,0),5(0,2),C(cos%sina)(其中0<a<n),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若|—?+—(=V7,求—>與一*的夾角；

(2)若一11一(，求tan。的值.

【答案】(1)由己知得-―一=(2^osa,sina).

,：1'+(2A;OSa)‘飛in2a=7,即4I14COSaA:os2ai^sin2a=7,.".cosa=^.

又aG(0,Ji),Z.o=y,.'.sin。哼；.1=?,%

r,、一—'jX0+fx2V3

又=(0,2),cosZB0C=--------=——=-y，

I*1一I*11XZ4

4BOO總故一>與一?的夾角為總

OO

(2)由已知得-(cosa-2,sina),-(cosa,sina-2),

??----\??.>?=0,

/.cosa(cos。-2)行ina(sina-2)=0,Asinoycos。二

；?兩邊平方得(sin。九os。)三，即2sin4cos。，二0,

即2sin4cos4d(sir?。化os2a)=0,

4

即3sir?。對(duì)sinacosq+3cos'a=0.

兩邊同時(shí)除以cos2a，得3tan2o-/gtana+3=0,

解得tana=W或士g

33

o

V2sincos。=)<0,aG(0,n),Asino>0,cos^<0.

4

Xsina-/cos。4〉0,?\sina>~cosa,<-l,

2cos

即tan。<-1,，tana二一"",T應(yīng)舍去,故tana二一"一".

33

26.已知年W.

(I)若。與i的夾角為60",求(a+2A>(a-33)；

(II)若(2。-3彷,(2a+5)=61,求。與j的夾角.

【答案】(I)：I正q俘W,。與j的夾角為60°,，a.b=|a|?他卜cos60°=6.

.,.(a+2*).(a-3A)=a2-?d-6ft2=-44.

(ID,/(2a-3A)-(2a+b)=4a2-4a?A-3A2=37-4a-A=61,-.ab=-Q，

:.cos8=:匕=Y,