高中數(shù)學(xué)：培養(yǎng)逆向思維的方法

高中數(shù)學(xué)：培養(yǎng)逆向思維的方法

逆向思維，可以開(kāi)拓我們的視野，還可以提高思維的敏

捷性和靈活性。

一、利用概念數(shù)學(xué)，滲透逆向思維

例1.已知函數(shù)f(x)=(m-l*-mx+2是偶函數(shù),比較股75)與

f(a?-a+l)的大小。

解：由f(x)=(m-l*-mx+2得

f(-x)=(m-l)x2+mx+2

又f(x)為偶函數(shù)，所以(m-l)x2-mx+2=(m-l*+mx+2

則m=0,

所以f(x)=-x?+2,所以f(x)在血+8)上為減函數(shù)，又

a2-a+l=(a-0,5)2+0,7520.75,所以f(0.75)2f(a?-a+1).

例2.函數(shù)y=(a「3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有()

A.a=l或a=2

B.a=1

C.a=2

D.a=1且a=2

略解：由指數(shù)函數(shù)定義知a?-3a+3=1同時(shí)a>0且”1,所以

a=2.答案選C。

點(diǎn)撥：以上兩例為偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)概念的逆應(yīng)用。

二、利用運(yùn)算律，公式及題目中條件的逆用強(qiáng)化逆向思

維

例1.求值lg，+lg51g2+lg5

解：原式=lg2Qg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=lgl0=l

例2.化簡(jiǎn)sm2a(0°<2a<90°)

解：原式Vl-2sinacostx

=vsin2a-2sincxcos(x+cos2(x

=J(sin(x-cose)2=|sina-coscx|

又因?yàn)?。<2&<90。所以0。<二<45。

則cosex>sinex所以原式=cosa-sinoc

點(diǎn)撥：以上兩例是對(duì)數(shù)運(yùn)算律及三角公式的逆用。

例3.已矢口l。ga*=（l。gb'=4（a>0，b>。，a*l，b*l）求值l。gx必

解:易知一由蠅臚工（

得W=與則a=x?同理b=x3.

所以ab=x§從而logx必=51ogxx=5.

點(diǎn)撥：本例突出對(duì)數(shù)與指數(shù)形式的互化。

例4.已知增函數(shù)y=f3)的定義域?yàn)?。，+8),且

f⑵=l,f(xy)=f(x)+f(y)求滿足f(x)+f(x-3)K2的x的范圍。

解：由f的)=f(x)+f(y)知

f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]=f(x2-3x)

又f(4)=f(2x2)=f⑵+f⑵=2要使

f(x)+f(x-3)42需x>Q①，x-3>0②

f(x2-3x)4f(4)③同時(shí)成立。

又y=f(x)是增函數(shù)，由③得爐-3x44④

聯(lián)立①②④解得34.

點(diǎn)撥：本例條件的逆用是解答本題的關(guān)鍵。

三、在分析解題思路的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維

例1.若不等式M+bx+Z＞。的解集是則a-b

()

A.-10

B.-14

C.10

D.14

11

解：由題意一,可是方程強(qiáng)2+收+2=。的兩根，由根與系數(shù)

關(guān)系得

解得a=T2,b=-2.

所以a-b=TO,因而選Ao

點(diǎn)撥：本題是一元二次不等式解法思路的逆過(guò)程。

例2.函數(shù)y=ig國(guó)*+2x+i)值域?yàn)镽,求a的范圍。

解：由題意知ax2+2x+l應(yīng)取到一切正數(shù)，

當(dāng)a=0時(shí)顯然符合題意

當(dāng)a#0時(shí)需a>0,AN0解得OvaMl綜上可得04aq.

點(diǎn)撥：本題由值域?yàn)镽反推真數(shù)部分應(yīng)取到一切正數(shù)，

從而找到了突破口。

四、在逆反轉(zhuǎn)換中拓展逆向思維

例1.甲，乙，丙，丁四名射擊運(yùn)動(dòng)員同時(shí)向某一目標(biāo)射

擊，若他們各自單獨(dú)命中目標(biāo)的概率依次是0.8,

0.85,0.9,0.95。請(qǐng)問(wèn)該目標(biāo)被擊中的概率是多少？

解：“該目標(biāo)被擊中”記作事件A,

則它的對(duì)立事件為“四人都未擊中目標(biāo)”，

其發(fā)生的概率是Q-0.8)x(l-0.85)x(1-0.9)x(1-0.95)=0.00015,

故P(A)=1-0.00015=0.99985.

點(diǎn)撥：本題利用逆反轉(zhuǎn)換避免了分類討論，也減少了計(jì)

舁里。

例2.已知點(diǎn)（1,2）既在函數(shù)曠=瘍忑的圖象上，又在

它的反函數(shù)的圖象上，求a,b的值。

解：因?yàn)辄c(diǎn)（1,2）在函數(shù)丫=巨石的圖象上，

所以2=Ja+b即a+b=4①

又點(diǎn)（1,2）在它的反函數(shù)的圖象上，

所以（2,1）也在函數(shù)丫=反鵬圖象上，

所以1=J2a+b即2a+b=1②

聯(lián)立①②解得a=-3,b=7.

點(diǎn)撥：本題利用函數(shù)及其反函數(shù)的互反關(guān)系避免了求反

函數(shù)，抓住了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

例3.k為何值時(shí)，一元二次方程（k+Dx2-4x+k-2=0至少有

一正根。

略解：滿足下列條件時(shí)，所給方程有兩負(fù)根①，

Xl+X2<0②,