高中數(shù)學(xué)-根式教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

2.1.1根式

教學(xué)目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

理解根式的概念，掌握〃次方根的性質(zhì).

二、過程與方法

1.通過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相交流，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)共同學(xué)習(xí).

2.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的邏輯合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性，做一個(gè)具備嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)

度的人.

3.通過探究、思考，培養(yǎng)學(xué)生思維遷移能力和主動(dòng)參與的能力.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)是因?yàn)槊媾R的問題以原有的知識(shí)得不到解決所引發(fā)出來的思考，通過學(xué)

習(xí)根式的概念，使學(xué)生認(rèn)清基本概念的來龍去脈，加深對(duì)人類認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律的理解和

認(rèn)識(shí)，體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)

的科學(xué)精神.

2.在教學(xué)過程中，通過學(xué)生的自主探索，來加深理解〃次方根的性質(zhì)，具有探索能力是

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的重要方面.

教學(xué)重點(diǎn)

1.根式的概念.

2.〃次方根的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)

1.根式概念的理解.

2.77次方根性質(zhì)的理解.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

師：你們知道考古學(xué)家是怎樣來判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的嗎？

生：對(duì)生物體化石的研究.

師：那么他們是怎樣來判斷該生物體所處的年代的?你們知道嗎？

師：考古學(xué)家是按照這樣一個(gè)規(guī)律來推測(cè)的.

問題：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730

年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14

含量尸與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢?我們可以先來考慮這樣的問

題：

當(dāng)生物死亡了5730,2X5730,3X5730,…年后，它體內(nèi)碳14的含量—分別為原來的

多少？

師：當(dāng)生物體死亡了6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原

來的多少？

60001000010000()

I------1-------I---------

生：(乙)573。，(1)5730,(J.)5730.

222

師：由以上的實(shí)例來推斷關(guān)系式應(yīng)該是什么？

生：片（_L）麗

2

師：考古學(xué)家根據(jù)上式可以知道，生物死亡t年后，體內(nèi)碳14含量。的值.那么這些數(shù)

[6000100001100000

（-）而，（-）礪，（-）K的意義究竟是什么呢？它和我們初中所學(xué)的指數(shù)有什

222

么區(qū)別？

生：這里的指數(shù)是分?jǐn)?shù)的形式.

師：指數(shù)可以取分?jǐn)?shù)嗎？除了分?jǐn)?shù)還可以取其他的數(shù)嗎？我們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)規(guī)律是怎

樣的？

生：自然數(shù)----整數(shù)----分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）----實(shí)數(shù).

師：指數(shù)能否取分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）、無理數(shù)呢？如果能，那么在脫離開上面這個(gè)具體問題

以后，關(guān)系式尸（上）583。就會(huì)成為我們后面將要相繼研究的一類基本初等函數(shù)一一“指

2

數(shù)函數(shù)”的一個(gè)具體模型.為了能水到渠成地研究指數(shù)函數(shù)，我們有必要認(rèn)識(shí)一下指數(shù)概念

的擴(kuò)充和完善過程，這就是我們下面三節(jié)課將要研究的內(nèi)容：分?jǐn)?shù)指數(shù)幕（有理數(shù)指數(shù)累）、

無理數(shù)指數(shù)嘉.

（引入課題，書寫課題一一指數(shù)與指數(shù)累的運(yùn)算）

二、講解新課

（一）探求"次方根的概念

師：（±2）2=4,則稱±2為4的；

生：平方根

師：23=8,則稱2為8的；

生：立方根

師：（±2）4=16,則±2叫做16的；

生：4次方根

師:25=32,則2叫做32的

生：5次方根

師：n次方根如何定義的呢？

生：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根.

師：上述結(jié)論中的"的取值有沒有什么限制呢？

（生探索，完善〃次方根的定義，并強(qiáng)調(diào)〃的取值范圍，師板書如下定義）

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根（n—throot）,其中〃>1,且〃eN”.

（二）〃次方根的性質(zhì)

合作探究：觀察并分析以上各數(shù)的方根，你能發(fā)現(xiàn)什么？

（學(xué)生交流，師及時(shí)捕捉與如下結(jié)論有關(guān)的信息、，并簡(jiǎn)單板書）

1.以上各數(shù)的對(duì)應(yīng)方根都是有理數(shù)；

2.第（1）、第（3）的答案有兩個(gè)，第（2）、第（4）的答案只有一個(gè)；

3.第（1）、（3）題的答案中的兩個(gè)值互為相反數(shù).

師：請(qǐng)仔細(xì)分析以上各題，你能否得到一個(gè)一般性的結(jié)論？

（提供一個(gè)比較發(fā)散的問題，給學(xué)生提供廣闊的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力和數(shù)

學(xué)的分析問題、解決問題的能力）

生甲：一個(gè)數(shù)的奇次方根只有一個(gè).

生乙：一個(gè)數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù).

師：是否任何一個(gè)數(shù)都有偶次方根？0的〃次方根如何規(guī)定更合理？

生：因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的〃次實(shí)數(shù)方根

等于0.

師：你能否把你所得到的結(jié)論再敘述的具體一些呢？

（組織學(xué)生交流，得出以下結(jié)論）

n次方根的性質(zhì)實(shí)際上是平方根和立方根性質(zhì)的推廣，因此跟立方根和平方根的情況一

樣，方根也有如下性質(zhì)：

（1）當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的力次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí),

a的〃次方根用符號(hào)后表示.

（2）當(dāng)"是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)a的正

的n次方根用符號(hào)右表示，負(fù)的〃次方根用符號(hào)一心表示.正的〃次方根與負(fù)的n次方根

可以合并寫成土標(biāo)（a>0）.

注：①負(fù)數(shù)沒有偶次方根；

②0的任何次方根都是0,記作而=0；

③當(dāng)aNO時(shí)，標(biāo)20,所以類似折？=±2的寫法是錯(cuò)誤的.

（三）根式的概念

式子后叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

例如遙叫做根式，其中5叫做根指數(shù)，6叫做被開方數(shù).

（四）〃次方根的運(yùn)算性質(zhì)

求下列各式的值

（啦廣（百兒（45/2）4

（生板演，師組織學(xué)生評(píng)析）

解：

（V2）3=2

（戶1=-2

（4V2）4=4

師：上面的例題中涉及了什么問題？

生：主要涉及了（加）"的問題.

合作探究：（1）（后）"的含義是什么？其化簡(jiǎn)結(jié)果是什么呢？

（組織學(xué)生結(jié)合例題及其解答，進(jìn)行分析討論、歸納出以下結(jié)論）

（1）（y[a）"-a

師：該公式的適用范圍是什么？

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aWR；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a》0.

求下列各式的值：

⑴疔=,—2)3=

收=((—2)4=

解：2；-2：3；3；4；4

師：上面的例題中涉及了什么問題？

生：主要涉及了行的問題.

師：行的含義是什么？其化簡(jiǎn)結(jié)果是什么呢？

（組織學(xué)生結(jié)合例題及其解答，進(jìn)行分析討論、歸納出以下結(jié)論）

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，行=a；

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，行=|a|=1"'a-0,對(duì)n和a的兩種討論

l-a,a<0.

三、例題講解

【例1】化簡(jiǎn)：

75+276

（師板演，師組織學(xué)生進(jìn)行課堂評(píng)價(jià)）

探究、展示

例2

（1）V4a2-4a+l（a<

（2）；

變式訓(xùn)練

化簡(jiǎn)下列各式:

（1）y（x_2（；

（2）73-2V2；

【提升總結(jié)】

根式化簡(jiǎn)或求值的步驟：

1.首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式;

2.運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值.

四、課堂小結(jié)

師：請(qǐng)同學(xué)們互相交流一下你在本課學(xué)習(xí)中的收獲.

（生互相交流，而后由師多媒體顯示如下內(nèi)容）

1.若〃￡2），則x叫做a的〃次方根.當(dāng)?shù)妒瞧鏀?shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的〃次方根

用符號(hào)后表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的〃次方根用符號(hào)土右表示，負(fù)數(shù)的偶次方根無

意義.式子后叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).正數(shù)的偶

次方根是兩個(gè)絕對(duì)值相等符號(hào)相反的數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義；0的任何次方根都是0.

3.（1）（Va）-a.

（2）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，行=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，行=|a|=a,a>0,

-a,a<0.

五、課堂練習(xí)

1.若xCR,yGR,下列各式中正確的是

A.#(x+y)4=底了B.y[x^—-x—y

C.J(X+3)2+J(X—3)2=2XD.Vx-3+V3-x=0

2.、口成立的條件是

Vx-1

x—2

A.----20B.xWlC.x<lD.xN2

x—1

參考答案：

1.D2.D

六、布置作業(yè)

（一）固學(xué)案29-30頁(yè)，熟悉鞏固有關(guān)概念和性質(zhì);

（二）書面作業(yè)：課本P69習(xí)題2.1A組第1題.

板書設(shè)計(jì)

2.1.1根式

一、基本概念和性質(zhì)

1.〃次方根的定義

2.〃次方根的性質(zhì)

3.根式的定義

4.〃次方根的運(yùn)算性質(zhì)

二、例題解析例1.求下列各式的值

例1.化簡(jiǎn)

【學(xué)情分析】

學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方運(yùn)算以及二次根式的概念，并且已經(jīng)掌握了

正整數(shù)指數(shù)、零指數(shù)和負(fù)整數(shù)指數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)。另外，盡管學(xué)生的基礎(chǔ)參差不齊，但

是，高一的學(xué)生個(gè)性活躍，思維活躍，動(dòng)手實(shí)踐，實(shí)踐的積極性高。綜上，學(xué)生還是非常

容易接受并掌握這部分內(nèi)容的。

【效果分析】

1.本節(jié)課能注重學(xué)生發(fā)展的自主性（設(shè)置分層式練習(xí)和開放性作業(yè)）和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)踐

性（設(shè)置數(shù)字實(shí)踐），主張給學(xué)生多一點(diǎn)空間、時(shí)間，使學(xué)生在親歷知識(shí)結(jié)論的探索中獲得

對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)。

2.整個(gè)教學(xué)過程突出三個(gè)注重，即①注重學(xué)生參與知識(shí)的形成過程，體驗(yàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)

解決問題的樂趣；②注重師生間、同學(xué)間的互動(dòng)協(xié)作，共同提高；③注重從現(xiàn)實(shí)生活中提煉

有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，形成用數(shù)學(xué)思想方法思考實(shí)際問題的習(xí)慣。

3.面對(duì)不同程度的教學(xué)對(duì)象，學(xué)生的基礎(chǔ)反應(yīng)情況和感悟情況不一，因此在教學(xué)時(shí)間上

應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，對(duì)課堂競(jìng)技場(chǎng)等環(huán)節(jié)視實(shí)際情況作靈活的增刪。

【教材分析】

本節(jié)內(nèi)容是選自新人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第2章第1節(jié)第1部分的內(nèi)容。學(xué)生在初中

己學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、負(fù)整

數(shù)指數(shù)累的概念，以及整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則?，F(xiàn)是在此基礎(chǔ)上，將平方根與立方根的概念

擴(kuò)充到n次方根，將二次根式的概念擴(kuò)充到一般根式的概念。“根式”是“指數(shù)與指數(shù)累的

運(yùn)算”第一課時(shí)，以新授課為主，主要學(xué)習(xí)根式的概念和性質(zhì)。根式是后面學(xué)習(xí)所必備的，

為以后的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

【評(píng)測(cè)練習(xí)】

1.若xCR,yWR,下列各式中正確的是

A.#(x+y)4=x+yB.-x—y

C.J(x+3)2+J(