高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊 總體取值規(guī)律的估計(jì)

9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)

【新知初探】

要點(diǎn)一畫頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中與的差.

(2)決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分成組，一般取等

長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”.

(3)將數(shù)據(jù)分組.

(4)列頻率分布表：一般分四列，即分組、、頻數(shù)、.其中頻

數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是—.

(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻矗率.小長方形的面積=

組距頻率*端=.各小長方形的面積和等于1.

要點(diǎn)二其它統(tǒng)計(jì)圖表

統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用

扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例

條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率

折線圖描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢

【基礎(chǔ)自測】

［判斷］

1.頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組

距的比值.()

2.頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個(gè)體數(shù).()

3.扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是比例，條形統(tǒng)計(jì)圖不表示比例.()

［訓(xùn)練］，賣給不法收購者1%

扔到垃圾里

1.把過期的藥品隨意丟棄，會造成對土壤和水體的污染，(產(chǎn)-拆拆開沖，f進(jìn)F水道2出%

\\+封存家中等待處理1朋

危害人們的健康.如何處理過期藥品，有關(guān)機(jī)構(gòu)隨機(jī)對若vjy

干家庭進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖，其中對過期藥品處理不正確的家庭達(dá)到()

C.18%D.82%

2.如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則

由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在［15,20］內(nèi)的頻數(shù)為()［輯

0.1..........

51()1520數(shù)據(jù)

【題型通關(guān)】

題型一畫頻率分布直方圖

【例1】從某校高三學(xué)生中抽取50名參加數(shù)學(xué)競賽，成績分組(單位：分)及

各組的頻數(shù)如下：

[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；

[90,100],8.

(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；

(2)畫出頻率分布直方圖；

(3)估計(jì)成績在[60,90)分的學(xué)生比例.

題型二頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用

[例2]為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳

繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直

方圖（如圖所示），圖中從左到右各小矩形的面積之

比為2：4：17：15：9：3,第二小組的頻數(shù)為12.

（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？

（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，則該校全

體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約是多少？

【變式1】（變結(jié)論）在例2條件下，試求樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù).

【變式2】（變結(jié)論）在例2條件下，試求次數(shù)在130以上（含130次）的學(xué)生人

數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2某校100名學(xué)生期中考試語文成績（單位：分）的頻率分布直方圖

如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100].

⑴求圖中a的值；器

(2)若這100名學(xué)生的語文成績在某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)"加

與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(力之比如下表所示，求頡

數(shù)學(xué)成績在［50,90)之外的人數(shù).

[80,

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)

90)

X：y1:12：13：44：5

題型三統(tǒng)計(jì)圖的考查

角度1條形統(tǒng)計(jì)圖

［例3］為了豐富校園文化生活，某校計(jì)劃在午間校園廣播臺播放“百家講壇”

的部分內(nèi)容.為了了解學(xué)生的喜好，抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(每人只選一

項(xiàng)內(nèi)容)，整理調(diào)查結(jié)果，繪制統(tǒng)計(jì)圖如圖所

示.

請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息回答以下問題：

(1)求抽取的學(xué)生數(shù)；

(2)若該校有3000名學(xué)生，估計(jì)喜歡收聽易

中天《品三國》的學(xué)生人數(shù)；

(3)估計(jì)該校喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學(xué)生人數(shù)約占全校學(xué)生人數(shù)的百

分比.

角度2折線統(tǒng)計(jì)圖

［例4］小明同學(xué)因發(fā)熱而住院，下圖是根據(jù)

護(hù)士為他測量的體溫所繪制的體溫折線圖.根據(jù)

61218061218061218時(shí)間/時(shí)

9月7日9月8日9月9日

圖中的信息，回答以下問題：

(1)護(hù)士每幾小時(shí)給小明測量一次體溫？

(2)近三天來，小明的最高體溫、最低體溫分別是多少？

(3)從體溫看，小明的病情是在惡化還是在好轉(zhuǎn)？

(4)如果連續(xù)36小時(shí)體溫不超過37.2攝氏度的話，可認(rèn)為基本康復(fù)，那么小明

最快什么時(shí)間出院？

角度3扇形統(tǒng)計(jì)圖

【例5】下圖是46兩所學(xué)校藝術(shù)節(jié)期間收到的各類藝術(shù)作品的情況的統(tǒng)計(jì)

圖：

(1)從圖中能否看出哪所學(xué)校收到的水粉畫作品

數(shù)量多？為什么？

(2)已知A學(xué)校收到的剪紙作品比6學(xué)校的多20

件，收到的書法作品比6學(xué)校的少100件，請問

這兩所學(xué)校收到藝術(shù)作品的總數(shù)分別是多少

件？

跟蹤訓(xùn)練3如圖是甲、乙、丙、丁四組人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的

部分結(jié)果，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的情況可以知道丙、丁兩組人數(shù)和

為（）

A.250B.150C.400D.300

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.200輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)地區(qū)，時(shí)速的頻率分布直方

圖如圖

所示，則時(shí)速超過60km/h（含60km/h）的汽車數(shù)量為

（）

A.65輛B.76輛C.88輛D.95輛

2.如圖是某中學(xué)高一學(xué)生體重（單位：kg）的頻率分布直方圖，已知圖中從左到

右的前三組的頻率之比為1：2：3,則第三小組的頻率為（）

A.0.125B.0.250產(chǎn)率/組班

C.0.375D.0.500

3.甲、乙兩個(gè)城市2018年4月中旬每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)圖"防:卜口…:

如圖所示,則這9天里，氣溫比較穩(wěn)定的是城市（填“"十門十口

505560657075體,收/kg

“甲”“乙”）.

4.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，

繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組

的頻率之比為2：3：4：6：4：1,且前三

組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,則n=

0111213141516171819日期/日

5.已知一個(gè)容量是40的樣本，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別是5,

6,7,10,第五組的頻率是0.2,求第六組的頻數(shù)和頻率.

【札記】

參考答案

【新知初探】

最大值

最小值

5-12

頻數(shù)累計(jì)

頻率

1

頻率

【基礎(chǔ)自測】

［判斷］

1.V

2.X頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率.

3.X條形圖可以表示頻率或頻數(shù).

［訓(xùn)練］

1.解析79%+1%+2%=82%

答案D

2.解析樣本數(shù)據(jù)落在［15,20］內(nèi)的頻數(shù)為100X［l-5X（0.04+0.1）］=30.

答案B

【題型通關(guān)】

【例1】

解（1）頻率分布表如下：

（3）學(xué)生成績在［60,90）分的頻率為0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估計(jì)成

績在［60,90）分的學(xué)生比例為74%

跟蹤訓(xùn)練1解（1）頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[1.30,1.34)40.04

[1.34,1.38)250.25

[1.38,1.42)300.30

[1.42,1.46)290.29

[1.46,1.50)100.10

［1.50,1.54］20.02

合計(jì)1001.00

頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

7.5-標(biāo)

（2）利用樣本估計(jì)總體，則纖度落在［1.38,1.50）的可能性即為纖度落在［1.38,

1.50）的頻率，即為0.30+0.29+0.10=0.69=69%.

纖度小于1.42的可能性即為纖度小于1.42的頻率，即為0.04+0.25+0.30=

0.59=59%.

［例2］解（1）頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻

率大小的，

4

因此第二小組的頻率為08.

乙I4I1（I1DIyIo

,一,1中/，吊號第二小組的頻數(shù)

因1T為弟一小組的頻率一樣本容量,

所卜1坪土死曰第二小組的頻數(shù)__12__

所以樣本合里=第二小組的頻率=或而=150.

17+15+9+3

⑵由直方圖可估計(jì)該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為

2+4+17+15+9+3

X100%=88%.

【變式1】解樣本的達(dá)標(biāo)率為88%,樣本容量為150,不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1

-0.88=0.12.所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150X0.12=18.

【變式2】解次數(shù)在130以上（含130次）的學(xué)生人數(shù)為

Z十4十1/十71b7十TV十3

X150=36.

跟蹤訓(xùn)練2解(1)依題意得，10X(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=

0.005.

(2)數(shù)學(xué)成績在［50,60)之間的人數(shù)為100X0.05=5,數(shù)學(xué)成績在［60,70)之間

14

的人數(shù)為100X0.4X5=20,數(shù)學(xué)成績在［70,80）之間的人數(shù)為100X0.3義鼻=

乙O

5

40,數(shù)學(xué)成績在［80,90）之間的人數(shù)為100X0.2X：=25,所以數(shù)學(xué)成績在［50,

90）之外的人數(shù)為100—5—20—40—25=10.

［例3］解（1）從統(tǒng)計(jì)圖上可以看出，

喜歡收聽于丹析《莊子》的男生有20人，女生有10人；

喜歡收聽《故宮博物院》的男生有30人，女生有15人；

喜歡收聽于丹析《論語》的男生有30人，女生有38人；

喜歡收聽易中天《品三國》的男生有64人，女生有42人；

喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的男生有6人，女生有45人.

所以抽取的學(xué)生數(shù)為20+10+30+15+30+38+64+42+6+45=300（人）.

（2）喜歡收聽易中天《品三國》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占

所抽取總?cè)藬?shù)的比例為黑，由于該校有3000名學(xué)生，因此可以估計(jì)喜歡收聽

易中天《品三國》的學(xué)生有端X3000=1060（人）.

DUU

（3）該校喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學(xué)生人數(shù)約占學(xué)校學(xué)生人數(shù)的比例為

45

—X100%=15%.

【例4】解（1）根據(jù)橫軸表示的意義，可知護(hù)士每6小時(shí)給小明測量一次體溫.

（2）從折線統(tǒng)計(jì)圖中的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對應(yīng)的縱軸意義，可知最高體溫是39.5

攝氏度，最低體溫是36.8攝氏度.

（3）從圖中可知小明的體溫已經(jīng)下降，并趨于穩(wěn)定，因此病情在好轉(zhuǎn).

（4）9月8日18時(shí)小明的體溫是37攝氏度，其后的體溫未超過37.2攝氏度，自

9月8日18時(shí)起計(jì)算，連續(xù)36小時(shí)后對應(yīng)的時(shí)間為9月10日凌晨6時(shí)，因此

小明最快可以在9月10凌晨6時(shí)出院.

【例5】解（1）不能.因?yàn)閮伤鶎W(xué)校收到藝術(shù)作品的總數(shù)不知道.

（2）設(shè)/學(xué)校收到藝術(shù)作品的總數(shù)為x件，3學(xué)校收到藝術(shù)作品的總數(shù)為y件,

x~~~500

10%^-5%y=20,解得］尸6。。：即,學(xué)校收到藝術(shù)作品的總數(shù)為50°件,

則

50%y-40%jf=100,

3學(xué)校收到藝術(shù)作品的總數(shù)為600件.

跟蹤訓(xùn)練3解析甲組人數(shù)是120,占30%,則總?cè)藬?shù)是而=400,乙組人數(shù)是

OU/0

400X7.5%=30,丙、丁兩組人數(shù)和為400—120—30=250.

答案A

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.解析由頻率分布直方圖可得數(shù)據(jù)落在［60,80)內(nèi)的頻率是(0.028+0