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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,若,則()A. B. C. D.2.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計(jì)算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.3.已知,且,則的值為()A. B. C. D.4.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(上一年同月)變化圖表,則以下說法錯(cuò)誤的是()(注:圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份;圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是北京、天津、上海、重慶)A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過102C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長幅度波動(dòng)較小D.僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長呈上升趨勢5.已知,是兩條不重合的直線,是一個(gè)平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則6.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若,則直線的斜率為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A. B. C. D.8.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為點(diǎn),延長交橢圓于點(diǎn),若為等腰三角形,則橢圓的離心率A. B.C. D.11.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.12.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論,其中關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個(gè)程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則的最小值是______.14.“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的_______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).15.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則________.16.滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線分別交橢圓于和,且,問是否存在常數(shù),使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18.(12分)已知,.(1)當(dāng)時(shí),證明:;(2)設(shè)直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線,若直線也與相切,求正整數(shù)的值.19.(12分)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和,又單調(diào)遞增的等比數(shù)列,,.(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和,并求證:.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)把曲線向下平移個(gè)單位,然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€(縱坐標(biāo)不變),設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.21.(12分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn),且,點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵.2、C【解析】
根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時(shí)不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算,意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.3、A【解析】
由及得到、,進(jìn)一步得到,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,又,所以,,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.4、D【解析】
采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)圖表,可得結(jié)果.【詳解】A正確,從圖表二可知,3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大B正確,從圖表二可知,4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102C正確,從圖表一中可知,只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大D錯(cuò)誤,從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長呈上升趨勢故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圖表的認(rèn)識(shí),審清題意,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】
利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解:選項(xiàng)A中直線,還可能相交或異面,選項(xiàng)B中,還可能異面,選項(xiàng)C,由條件可得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標(biāo),然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,設(shè),則,故,此時(shí),即.則直線的斜率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.7、B【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)幾何概率計(jì)算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題,是基礎(chǔ)題.9、A【解析】
本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D;根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B;【詳解】對于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對于選項(xiàng)B:當(dāng),且無限接近于0時(shí),接近于,,此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.10、B【解析】
設(shè),則,,因?yàn)椋裕簦瑒t,所以,所以,不符合題意,所以,則,所以,所以,,設(shè),則,在中,易得,所以,解得(負(fù)值舍去),所以橢圓的離心率.故選B.11、D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時(shí)退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.12、B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí),的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí),的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點(diǎn)睛:本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項(xiàng)的綜合,屬于中檔題,解題時(shí)注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項(xiàng)滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項(xiàng)積等).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8【解析】
根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),等號(hào)成立.時(shí),取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式,構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.14、必要不充分【解析】
先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件,然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1:與直線l2:平行”等價(jià)于a=±2,故“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的必要不充分條件.故答案為:必要不充分.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定,把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類問題的關(guān)鍵,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).15、【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程,結(jié)合題意可求得正實(shí)數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于該雙曲線的一條漸近線方程為,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、-2【解析】
可行域是如圖的菱形ABCD,代入計(jì)算,知為最小.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,.【解析】
(1)由條件建立關(guān)于的方程組,可求得,得出橢圓的方程;(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可求得,求得,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出線段,再由得出線段,根據(jù)等差中項(xiàng)可求得,得出結(jié)論.【詳解】(1)由條件得,所以橢圓的方程為:;(2),①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,此時(shí),②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè),聯(lián)立消元得,設(shè),,直線的斜率為,同理可得,所以,綜合①②,存在常數(shù),使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題,當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時(shí),可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長,屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)令,求導(dǎo),可知單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),在此取得最小值,再證最小值大于零即可.(2)根據(jù)題意得到在點(diǎn)處的切線的方程①,再設(shè)直線與相切于點(diǎn),有,即,再求得在點(diǎn)處的切線直線的方程為②由①②可得,即,根據(jù),轉(zhuǎn)化為,,令,轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點(diǎn),則只需,求解.【詳解】(1)證明:設(shè),則,單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而的最小值為.所以,即.(2),故,故切線的方程為①設(shè)直線與相切于點(diǎn),注意到,從而切線斜率為,因此,而,從而直線的方程也為②由①②可知,故,由為正整數(shù)可知,,所以,,令,則,當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),且,從而在上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使得在上存在零點(diǎn),則只需,,因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),,所以;因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),且,因此;因?yàn)闉檎麛?shù),且,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.19、(1),;(2)詳見解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足,∴,∵等比數(shù)列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,顯然數(shù)列是遞增數(shù)列,∴,即.)20、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以得,進(jìn)而可化簡得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)變換得出的普通方程為,可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】(1)由(為參數(shù)),得,化簡得,故直線的普通方程為.由,得,又,,.所以的直角坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得曲線的直角坐標(biāo)方程為,向下平移個(gè)單位得到,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).故點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)時(shí),最小為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點(diǎn)到直線的距離最值的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由原式可得,等式兩端同時(shí)除以,可得到,即可證明結(jié)論;(2)由(1)可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式,然后求出的前項(xiàng)和即可.【詳解】(1)證明:因?yàn)?所以,所以,從而,因?yàn)?所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知,則,因?yàn)?所以,則.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查
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