解二元一次方程組的消元法

解二元一次方程組的消元法解二元一次方程組的消元法一、消元法的定義和解題步驟1.消元法的定義：消元法是一種解決二元一次方程組的方法，通過加減乘除等運(yùn)算，消去一個未知數(shù)，將二元方程組轉(zhuǎn)化為一個一元方程，然后求解得到另一個未知數(shù)的值，最后回代求解得到所有未知數(shù)的值。2.解題步驟：(1)選擇適當(dāng)?shù)姆匠套鳛橄匠蹋?2)對消元方程進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，消去一個未知數(shù)；(3)解得消元后的方程中的未知數(shù)；(4)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的任意一個方程，求解得到另一個未知數(shù)的值；(5)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的另一個方程，求解得到最后一個未知數(shù)的值。二、常用的消元方法1.代入消元法：(1)從方程組中選出一個方程，將其中一個未知數(shù)表示為另一個未知數(shù)的函數(shù)；(2)將選定的方程代入到另一個方程中，消去一個未知數(shù)；(3)解得代入后的方程中的未知數(shù)；(4)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的任意一個方程，求解得到另一個未知數(shù)的值；(5)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的另一個方程，求解得到最后一個未知數(shù)的值。2.加減消元法：(1)將方程組中的方程進(jìn)行加減運(yùn)算，消去一個未知數(shù)；(2)解得加減后的方程中的未知數(shù)；(3)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的任意一個方程，求解得到另一個未知數(shù)的值；(4)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的另一個方程，求解得到最后一個未知數(shù)的值。3.乘除消元法：(1)將方程組中的方程進(jìn)行乘除運(yùn)算，消去一個未知數(shù)；(2)解得乘除后的方程中的未知數(shù)；(3)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的任意一個方程，求解得到另一個未知數(shù)的值；(4)將求得的未知數(shù)值代入原方程組中的另一個方程，求解得到最后一個未知數(shù)的值。三、消元法的應(yīng)用實(shí)例1.實(shí)例1：解方程組\begin{cases}2x+3y=8\\\end{cases}(1)選擇第二個方程\(x-y=1\)作為消元方程；(2)將第二個方程乘以2，得到\(2x-2y=2\)；(3)將第一個方程\(2x+3y=8\)與乘以2后的第二個方程相減，消去未知數(shù)\(y\)，得到\(5x=6\)；(4)解得\(x=\frac{6}{5}\)；(5)將\(x=\frac{6}{5}\)代入第二個方程\(x-y=1\)，解得\(y=\frac{1}{5}\)。2.實(shí)例2：解方程組\begin{cases}x+2y=7\\3x-4y=-7\end{cases}(1)選擇第一個方程\(x+2y=7\)作為消元方程；(2)將第一個方程乘以3，得到\(3x+6y=21\)；(3)將第二個方程\(3x-4y=-7\)與乘以3后的第一個方程相加，消去未知數(shù)\(x\)，得到\(10y=28\)；(4)解得\(y=\frac{28}{10}\)；(5)將\(y=\frac{28}{10}\)代入第一個方程\(x+2y=7\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)。四、注意事項(xiàng)1.在選擇消元方程時，應(yīng)根據(jù)方程組的特點(diǎn)和未知數(shù)的系數(shù)進(jìn)行選擇，以達(dá)到消元的效果；2.在進(jìn)行加減乘除運(yùn)算時，要注意變量的符號和系習(xí)題及方法：1.習(xí)題：解方程組\begin{cases}3x-2y=11\\4x+y=16\end{cases}解題思路：選擇第二個方程\(4x+y=16\)作為消元方程，將第一個方程\(3x-2y=11\)與第二個方程相加，消去未知數(shù)\(y\)，得到\(7x=27\)，解得\(x=3\)。將\(x=3\)代入第二個方程\(4x+y=16\)，解得\(y=4\)。所以方程組的解為\(x=3,y=4\)。2.習(xí)題：解方程組\begin{cases}2x+5y=17\\3x-4y=11\end{cases}解題思路：選擇第一個方程\(2x+5y=17\)作為消元方程，將第二個方程\(3x-4y=11\)與第一個方程相減，消去未知數(shù)\(x\)，得到\(9y=1\)，解得\(y=\frac{1}{9}\)。將\(y=\frac{1}{9}\)代入第一個方程\(2x+5y=17\)，解得\(x=\frac{23}{9}\)。所以方程組的解為\(x=\frac{23}{9},y=\frac{1}{9}\)。3.習(xí)題：解方程組\begin{cases}4x-3y=12\\2x+y=5\end{cases}解題思路：選擇第二個方程\(2x+y=5\)作為消元方程，將第一個方程\(4x-3y=12\)乘以2，得到\(8x-6y=24\)。然后將第二個方程與乘以2后的第一個方程相減，消去未知數(shù)\(x\)，得到\(7y=-7\)，解得\(y=-1\)。將\(y=-1\)代入第二個方程\(2x+y=5\)，解得\(x=3\)。所以方程組的解為\(x=3,y=-1\)。4.習(xí)題：解方程組\begin{cases}5x+2y=23\\-3x+4y=-11\end{cases}解題思路：選擇第一個方程\(5x+2y=23\)作為消元方程，將第二個方程\(-3x+4y=-11\)乘以5，得到\(-15x+20y=-55\)。然后將第一個方程與乘以5后的第二個方程相加，消去未知數(shù)\(x\)，得到\(22y=32\)，解得\(y=\frac{32}{22}\)。將\(y=\frac{32}{22}\)代入第一個方程\(5x+2y=23\)，解得\(x=\frac{17}{11}\)。所以方程組的解為\(x=\frac{17}{11},y=\frac{32}{22}\)。5.習(xí)題：解方程組\begin{cases}x-4y=1\\2x+y=7\end{cases}解題思路：選擇第二個方程\(2x+y=7\)作為消元方程，將第一個方程\(x-4y=1\)乘以2，得到\(2x-8y=2\)。然后將第二個方程與乘以2后的第一個方程相減，消去未知數(shù)\(x\)，得到\(7y=5\)，解得\(y=\frac{5}{7}\)。將\(y=\frac{5}{7}\)代其他相關(guān)知識及習(xí)題：一、一元一次方程的解法1.習(xí)題：解方程\(2x-5=3\)解題思路：將方程兩邊同時加5，得到\(2x=8\)，然后同時除以2，得到\(x=4\)。答案：\(x=4\)2.習(xí)題：解方程\(3x+2=7\)解題思路：將方程兩邊同時減2，得到\(3x=5\)，然后同時除以3，得到\(x=\frac{5}{3}\)。答案：\(x=\frac{5}{3}\)二、一元一次不等式的解法1.習(xí)題：解不等式\(2x-5>3\)解題思路：將不等式兩邊同時加5，得到\(2x>8\)，然后同時除以2，得到\(x>4\)。答案：\(x>4\)2.習(xí)題：解不等式\(3x+2\leq7\)解題思路：將不等式兩邊同時減2，得到\(3x\leq5\)，然后同時除以3，得到\(x\leq\frac{5}{3}\)。答案：\(x\leq\frac{5}{3}\)三、二元一次方程的解法1.習(xí)題：解方程組\begin{cases}x+y=6\\2x-y=4\end{cases}解題思路：將第一個方程乘以2，得到\(2x+2y=12\)，然后與第二個方程相加，消去未知數(shù)\(y\)，得到\(3x=10\)，解得\(x=\frac{10}{3}\)。將\(x=\frac{10}{3}\)代入第一個方程\(x+y=6\)，解得\(y=\frac{8}{3}\)。所以方程組的解為\(x=\frac{10}{3},y=\frac{8}{3}\)。答案：\(x=\frac{10}{3},y=\frac{8}{3}\)2.習(xí)題：解方程組\begin{cases}3x-2y=11\\-4x+y=-3\end{cases}解題思路：將第二個方程乘以2，得到\(-8x+2y=-6\)，然后與第一個方程相加，消去未知數(shù)\(y\)，得到\(-5x=5\)，解得\(x=-1\)。將\(x=-1\)代入第二個方程\(-4x+y=-3\)，解得\(y=1\)。所以方程組的解為\(x=-1,y=1\)。答案：\(x=-1,y=1\)四、二元一次方程組的解法1.習(xí)題：解方程組\begin{cases}x+y=7\\2x-3y=8\end{cases}解題思路：將第一個方程乘以2，得到\(2x+2y=14\)