2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識梳理第10章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第4講事件的獨(dú)立性條件概率與全概率公式

第四講事務(wù)的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式知識梳理學(xué)問點(diǎn)一事務(wù)的相互獨(dú)立性設(shè)A、B為兩個事務(wù)，假如P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立．若事務(wù)A、B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)；事務(wù)A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)都相互獨(dú)立．注：“相互獨(dú)立”與“事務(wù)互斥”的區(qū)分．兩事務(wù)互斥是指兩個事務(wù)不行能同時發(fā)生，兩事務(wù)相互獨(dú)立是指一個事務(wù)發(fā)生與否對另一事務(wù)發(fā)生的概率沒有影響．兩事務(wù)相互獨(dú)立不愿定互斥．學(xué)問點(diǎn)二條件概率1．定義：設(shè)A，B為兩個事務(wù)，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的條件概率．2．求法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(PAB,PA).3．乘法公式：由條件概率的定義，對隨意兩個事務(wù)A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．4．性質(zhì)：(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．學(xué)問點(diǎn)三全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，A3，…，An是一組兩兩互斥的事務(wù)，A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，則對隨意的事務(wù)B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我們稱此公式為全概率公式．*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事務(wù)，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對隨意事務(wù)B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiB,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.歸納拓展1．事務(wù)的表示(1)A、B中至少有一個發(fā)生的事務(wù)為A∪B.(2)A、B都發(fā)生的事務(wù)為AB.(3)A、B都不發(fā)生的事務(wù)為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).(4)A、B恰有一個發(fā)生的事務(wù)為(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\x\to(A)B)．(5)A、B至多有一個發(fā)生的事務(wù)為(eq\x\to(A)B)∪(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))．2．一般結(jié)論(1)若事務(wù)A，B，C兩兩相互獨(dú)立，則P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)；(2)P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A)；(3)若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)·P(B|A)；(4)若A、B相互獨(dú)立，則①A、B至少有一個發(fā)生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)．P(A＋B)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))．②A、B恰有一個發(fā)生的概率P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)·P(B)．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若事務(wù)A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(√)(2)P(B|A)表示在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率；P(BA)表示事務(wù)A，B同時發(fā)生的概率，確定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(×)(3)袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，其次次取到白球的概率是0.5.(√)(4)拋擲兩枚質(zhì)地勻整的骰子，記事務(wù)A＝“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事務(wù)B＝“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為7”．則A與B獨(dú)立．(√)題組二走進(jìn)教材2．(多選題)(選擇性必修3P48T3)一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，2個白球，每次從中隨機(jī)摸出1個球，則下列結(jié)論中正確的是(BCD)A．若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為eq\f(3,10)B．若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下其次次摸到紅球的概率為eq\f(1,2)C．若有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率為eq\f(18,125)D．若有放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為eq\f(54,125)[解析]第一次摸到紅球的概率為eq\f(3,5)，故A錯誤；不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下其次次摸到紅球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故B正確；有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(18,125)，故C正確；有放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\f(2,5)＝eq\f(54,125)，故D正確．故選BCD.3．(必修2P250T4改編)(2024·云南曲靖一中質(zhì)檢)甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯一份密碼，分別譯出的概率為eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，則密碼能被譯出的概率為(C)A.eq\f(1,8) B．eq\f(11,12)C．eq\f(7,8) D．eq\f(1,12)[解析]P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(7,8).題組三走向高考4．(2024·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事務(wù)“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事務(wù)“其次次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(B)A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立[解析]P(甲)＝eq\f(1,6)，P(乙)＝eq\f(1,6)，P(丙)＝eq\f(5,36)，P(丁)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝eq\f(1,36)＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝eq\f(1,36)≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故選B.5．(2024·高考全國甲卷)有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為(A)A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1[解析]報名兩個俱樂部的人數(shù)為50＋60－