用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題教學(xué)課件

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題⑵

敵材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決計(jì)算空間角問(wèn)題。

在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線線角、線面角及二面角問(wèn)題，首先轉(zhuǎn)化為向量語(yǔ)言，進(jìn)而運(yùn)用向

量的

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖坐標(biāo)

表示，

核心素養(yǎng)目標(biāo)

從而

實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決空間角問(wèn)題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提

供了更廣闊的空間。

教學(xué)目標(biāo)與被心需兼

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解兩異面直線所成角與它們的方向向1.數(shù)學(xué)抽象：向量語(yǔ)言表述空間角

量之間的關(guān)系，會(huì)用向量方法求兩異面2.邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算求解空間角的原理；

直線所成角.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間角問(wèn)題.

B.理解直線與平面所成角與直線方向向量

和平面法向量夾角之間的關(guān)系，會(huì)用向量

方法求直線與平面所成角.

C.理解二面角大小與兩個(gè)面法向量夾角之

間的關(guān)系，會(huì)用向量方法求二面角的大小.

教學(xué)重難息

1.教學(xué)重點(diǎn)：理解運(yùn)用向量方法求空間角的原理

2.教學(xué)難點(diǎn)：掌握運(yùn)用空間向量求空間角的方法

課前發(fā)備

多媒體

敢學(xué)過(guò)程

一、情境導(dǎo)學(xué)

地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”，黃道面與地球赤道面

交角（二面角的平面角）為23。26.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.

黃道及其附近的南北寬9。以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶，太陽(yáng)及大多數(shù)行星

在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個(gè)星座，稱為“黃道十通過(guò)生活中的

地軸現(xiàn)實(shí)情況，幫助學(xué)生

二宮”.從春分（節(jié)氣）

春分日（3月21日前后）回顧空間角的概念，

M夏至日

點(diǎn)起，每30。便是一D（6月22日前后）并提出運(yùn)用向量解

,冬至日

宮,并冠以星座名，如公轉(zhuǎn)方向.（12月22日前后空間角的問(wèn)題，引導(dǎo)

秋分日（9月23日箱后）

0匕極星

學(xué)生回顧空間中線

白羊座、獅子座、雙《北極\

8634'

線、線面、面面的平

子座等等，這便是星

行問(wèn)題的解法方法，

（黃道平面）

座的由來(lái).進(jìn)一步體會(huì)空間幾

南極

何問(wèn)題代數(shù)化的基

問(wèn)題：空間角包括哪些角？求解空間角常用的方法有哪些?

答案：線線角、線面角、二面角；傳統(tǒng)方法和向量法.本思想

二、探究新知

L利用向量方法求兩異面直線所成角

若兩異面直線也所成角為仇它們的方向向量分別為a,b,則有

cos9^|cos<a,b>I.

\a\\b\

特別提醒：不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起

來(lái)，因?yàn)閮僧惷嬷本€所成角的范圍是（0,*而兩個(gè)向量夾角的范圍是

[0兩,事實(shí)上，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)

的關(guān)系.

1.若異面直線/,/的方向向量分別是2=（0,-2,-1）力=（2,0,4）,則異面直線

12

4與72的夾角的余弦值等于（）

解析因?yàn)閍-b=-4,|a|=V^,|b|=2V^,所以cos6(=|cos<a,b>|=|^|=

舄上答案：B

2.利用向量方法求直線與平面所成角

若直線1與平面?所成的角為。，直線/的方向向量為a,平面a的

法向量為n,則有sin8=|cos<a,n>|=^

特別提醒直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳

角的余角.

2.若直線1的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。,則直線1與

平面a所成的角等于（）

A.1200B.60°C.150°D.30°

解析：因?yàn)橹本€/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。,所

以它們所在直線的夾角為60。,則直線1與平面a所成的角等于

90。-60。=30。.答案：D

3.利用向量方法求二面角由基本問(wèn)題出

（1）若二面角a-1-P的平面角的大小為仇其兩個(gè)面a,13的法向量分別為

發(fā)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用

n,n,貝IJ|cos6|—|cos<n,n>|=1zl

1212|ni||n2|空間向量解決空間

（2）二面角的大小還可以轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角.在二面角角問(wèn)題的基本原理，

a-1-p的兩個(gè)半平面a,p內(nèi)，各取一條與棱/垂直的直線,則當(dāng)直線的方實(shí)現(xiàn)將立體幾何問(wèn)

向向量的起點(diǎn)在棱上時(shí),兩個(gè)方向向量的夾角即為二面角的大小.題向量化。發(fā)展學(xué)生

特別提醒：由于二面角的取值范圍是［0㈤,而兩個(gè)面的法向量的邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象

方向無(wú)法從圖形上直觀確定，因此不能認(rèn)為二面角的大小就是其兩個(gè)和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

面法向量夾角的大小，需要結(jié)合具體圖形判斷二面角是銳角還是鈍角，素養(yǎng)。

從而求得其大小.

3.二面角a-1-p中，平面a的一個(gè)法向量為m=（今-1甸，平面6的一

個(gè)法向量是112=（0,|,加）,那么二面角a-1-P的大小等于（）

A.120°B.1500C.30°或150°D.60?；?20°

解析：設(shè)所求二面角的大小為。，貝"cos。|=臀含=￥，所以8=30?；?/p>

1九加212

150。.答案：C

例1.如圖所示，在三棱柱ABC-ABC中A4J_底面

1111

ABC,AB=BC=AA，乙48C=90。,點(diǎn)&F分別是棱的中點(diǎn)，試求直

11

線所和3C所成的角.

1

B

思路分析:建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線E尸和的方向向量的坐

標(biāo),求它們的夾角即得直線所和所成的角.

1

解:分別以直線BA,BC,BB］為x9y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如右圖).

B

設(shè)AB=\,貝IJB(O,O,O),EQ,0,0),F(0,0,0,Ci(0,l,l),所以加=

(彳。)8。1=(。，1，1).于是cosvBQ,七F>=黑篇=’后?=也所以

直線EF和BCi所成角的大小為60°.

1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟.

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo).

(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.

(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.

2.求兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn).

(1)余弦值非負(fù):兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值,而對(duì)應(yīng)

的方向向量的夾角可能為鈍角.

⑵范圍:異面直線所成角的范圍是(0,引,故兩直線方向向量夾角的余

弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對(duì)值.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正四棱柱ABCD-ABCD中,A4=24民則異面直

11111

線A8與所成角的余弦值為

1?--------------

解析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn),QAQCQq所在直線為X軸,y軸,Z軸建立空

間直角坐標(biāo)系。孫z,設(shè)43=1.則

5(1,1,0)41(1,0,2)4(1,0,0),01(0,0,2),^=(0,1,-2),而=(-1,0,2),

cos＜砧，屈＞=項(xiàng).=熹=-3，故異面直線A1B與AD1所成角

硒甌I

的余弦值為：答案W

例2.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PAL底面4802?！?/p>

通過(guò)典型例題

BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC

的分析和解決，讓學(xué)

的中點(diǎn).

⑴證明〃平面PAB;生感受空間向量坐

(2)求直線AN與平面所成角的正弦值.標(biāo)運(yùn)算在解決立體

幾何問(wèn)題的應(yīng)用。發(fā)

展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏

輯推理的核心素養(yǎng)。

BC

思路分析：(1)線面平行的判定定理平面PAB.

⑵利用空間向量計(jì)算平面PMN與AN方向向量的夾角今直線AN與

平面RWN所成角的正弦值.

⑴證明:由已知得AM=/D=2.如圖，取3尸的中點(diǎn)T,連接AT,7W,

由N為PC的中點(diǎn)知TN//BC,TN^BC=2.

又A￡)〃BC,故TN//AM且TN=AM,

所以四邊形AMNT為平行四邊形，

于是MN//AT.

因?yàn)锳Tu平面平面PAB,

所以MN〃平面PAB.

⑵解:如圖，取BC的中點(diǎn)瓦連接AE.由AB=AC得從而AEL

AD,且AE=ylAB2-BE2=JAB2-(Y)2=V5.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，荏的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由題意知尸(0,0,4),M(0,2,0),C(%,2,0),N(孚,1,2),

麗=(0,2,-4),麗=(字1,-2)前=律,1,2).

設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量很叱“上=

\n-PN=0,

'2y-4z=0,__

即卜.C可取n=(0,2,l).于是|cos<n,而>1=%!；=8V5

—x+y-2z=0,回MM"25~,

所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為誓.

若直線I與平面a的夾角為。，利用法向量計(jì)算Q的步驟如下:

跟蹤訓(xùn)練2在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中,E為CC的中點(diǎn),

11111

則直線AB與平面BDE所成的角為()

1

A.-B.-C.-D.-7t

6326

解析:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可求得平面BDE的法向量

n=(l,-l,2),而瓦彳=(0,-1,1),所以cos6=親=泉?jiǎng)t6=30°,故直線AiB

與平面BDE成60。角.

答案：B

例3.如圖，在正方體ABERDCE尸中,MN分別為AC,BF的中點(diǎn)，求平

面MNA與平面MNB所成銳二面角的余弦值.

思路分析:有兩種思路，一是先根據(jù)二面角平面角的定義，在圖形中作

出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夾角從而得到所成二面角

通過(guò)典例解析，進(jìn)一

的大小;另一種是直接求出兩個(gè)面的法向量，通過(guò)法向量的夾角求得二

面角的大小.步讓學(xué)生體會(huì)空間

解:設(shè)正方體棱長(zhǎng)為L(zhǎng)以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，胡乃邑BC所在直線分別為x向量坐標(biāo)運(yùn)算在解

軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,^\

決立體幾何中的應(yīng)

M(|,0,|),朋,1,0)4(l,0,0),B(0,0,0).

用，提升推理論證能

（方法1）取MN的中點(diǎn)G,連接BG4G,則G（|,i,J.力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)

因?yàn)闉榈妊切?，所以AG±MN,BG±MN,運(yùn)算及邏輯推理的

故/AGB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.

核心素養(yǎng)。

^_GA'GB_

又因?yàn)閼??,［，1）,方所以cos<G4GB

Z44/~\GA\\GB\~

故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為:

（方法2）設(shè)平面AMN的法向量m={x,y,z）.

由于前=(-|,o,|),x]v=(-|,|,0),

則.竺=0,即0,令尸1,解得y=l,z=l,于是

(.n^AN=0,^--x+-y=0,

ni=(l,l,l).

同理可求得平面BMN的—Is法向量112=(1,-1,-1),

ULI、I7li'Tlo-11

所以cos<m,n2>=兩兩=反而=々

故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為

利用平面的法向量求二面角

利用向量方法求二面角的大小時(shí)，多采用法向量法，即求出兩個(gè)

面的法向量，然后通過(guò)法向量的夾角來(lái)得到二面角的大小，但利用這種

方法求解時(shí)，要注意結(jié)合圖形觀察分析，確定二面角是銳角還是鈍角，

不能將兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來(lái).

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在直三棱柱ABC-AQq中A4J=BC=AB=2AB_LBC,

求二面角B-AC-C的大小.

解：如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.則

A(2,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),8(0,0,2),C(0,2,2),

111

即BM=(l,l,0)是平面AiCiC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面AiBiC的一個(gè)法向量是"=(尤,y,z),不？=(-2,2,-2),石瓦=(-2,0,0),

所以n-?l1B1=-2x=0,n-41C=-2x+2y-2z=0,

令z=l,解得x=0,y=l,故n=(0,l,l).

設(shè)法向量n與前的夾角為外

二面角Bi-AiC-Ci的大小為。，顯然9為銳角.

因?yàn)閏os6*=|cos夕尸嘴=/解得吟，

所以二面角Bi-AiC-Ci的大小為熱

金題典例如圖,四棱柱ABCD-ABCD的所有棱長(zhǎng)都相

iiii

等2cnB￡)=(Mcnso=0,

11111

四邊形ACCA和四邊形均為矩形.

1111

⑴證明：。］。,底面ABCD

⑵若/CBA=60。,求二面角C-OB-D的余弦值.

(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛CqA1和四邊形BDD巴均為矩形，

所以CCLAC,DD_LB。,又CC//DD〃。。，所以00VAC,00±

1111111

BD,因?yàn)锳CnBO=。,所以001.底面4BCD

?

(2)解：因?yàn)樗睦庵乃欣忾L(zhǎng)都相等，所以四邊形ABC。為菱形，

AC_L2D又Oy_L底面ABCD,所以0B,0C,00、兩兩垂直.

如圖，以。為原點(diǎn),。民。(7,。0］所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角

坐標(biāo)系.

設(shè)棱長(zhǎng)為2,因?yàn)?C8A=60。,所以0B的0C=\,

所以0(0,0,0)11(遮,0,2),G(0,l,2),

平面BDD\B\的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),

設(shè)平面OCiB\的法向量為m=(無(wú),y,z),則由111_1函>,1]1_1沆；,所以

。'取z=-百廁x=2,y=2g,所以m=(2,2V3,-V3),

所以|cos<m,n>|=|線|=第=誓?

由圖形可知二面角Ci-OBi-D的大小為銳角，

所以二面角Cr-OBi-D的余弦值為誓.

延伸探究1本例條件不變，求二面角B-A]C-D的余弦值.

解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)棱長(zhǎng)為2,

則4(0,-1,2),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(-V3,0,0).

所以麗=(-8,1,0),中=(0,2,-2),CD=(-V3,-l,0).

設(shè)平面A\BC的法向量為ni=(xi,yi,zi),

即｛鬻;3，取

則xi=V3,則yi二zi=3,故

111=(遍,3,3).設(shè)平面4?！?gt;的法向量為n2=(x2j2,Z2),

則［*'C^y2~^z2=°,

t-V3x2-y2=°,

取X2=V5,則y2=Z2=-3,故112=(百,-3,-3).所以|cos<m,n2>|=|已需|=

由圖形可知二面角B-AiC-D的大小為鈍角，所以二面角B-AiC-D的余

弦值為

延伸探究2本例四棱柱中,/CBA=60。改為/CBA=90。,設(shè)E,F分別

是棱BC,C。的中點(diǎn)，

求平面ABE與平面ADF所成銳二面角的余弦值.

11

解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)此棱柱的棱長(zhǎng)

為1,則A(0,0,0),Bi(l,0,l),￡(1,1,0),￡)i(0,l,1,0),AF=(1,i,0

設(shè)平面ABiE的法向量為ni=(xi,yi,zi),

則小絲i=0,I。令刀=2,則xi=-l,zi=l,

[n^AE=0,(%i+*=0，

所以ni=(-l,2,l).

設(shè)平面AD\F的法向量為112=(冗2)2/2).

n2,麗*=0,丫2+Z2=°，

幾2,標(biāo)=0+丫2=0.

令上二2,則>2=-1/2=1.所以02=(2,-1,1).

所以平面ABiE與平面AD.F所成銳二面角的余弦值為

Ini-nol31

cos<ni,n2>=；~--=-p-7==

\n^n2\V6xV62

向量法求二面角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的四個(gè)步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求出兩個(gè)半平面的法向量n,n;

12

(3)設(shè)二面角的平面角為4則|cos6)|=|cos<n],n^>|;

(4)根據(jù)圖形判斷0為鈍角還是銳角，從而求出仇或其三角函數(shù)值).

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

L平面?的斜線I與它在這個(gè)平面上射影/'的方向向量分別為

通過(guò)練習(xí)鞏固本

a=(lQl),b=(0,1,1),則斜線I與平面a所成的角為()

節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)

A.30°B.45°C.60°D.90°

解析：/與?所成的角即為a與b所成的角(或其補(bǔ)角)，因?yàn)樯鉀Q問(wèn)題，發(fā)展學(xué)

cos<a,b>=黑;=所以<a,b>=60。.答案：C生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

回網(wǎng)2

2.已知向量m,n分別是直線I和平面a的方向向量和法向量，若推理、數(shù)學(xué)建模的核

cos<m,n>=-之,則/與a所成的角為()心素養(yǎng)。

A.30°B.60°C.120°D.1500

解析：由已知得直線/和平面a法向量所夾銳角為60。,因此/與a所

成的角為30。.答案：A

3.在正方體ABCD-ABCD中,M、N分別為棱BC和棱CC的中點(diǎn),

11111

則異面直線AC和MN所成的角為()

A.3O0B.45°C.90°D.60°

解析以D為原點(diǎn)，分別以ZMQCQR所在直線為x軸,y軸,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD-ABCD中棱長(zhǎng)為2,

1111

：加、N分別為棱3c和棱CC的中點(diǎn)，

1

ZM(l,2,0),M0,2,l)4(2,0,0),C(0,2,0),

麗=(-1,0』)"(-220),

設(shè)異面直線AC和MN所成的角為仇.cos=-=3

則又。是銳角,?：6=60。

?:異面直線AC和所成的角為60。,故選D.

答案D

4.在三棱錐P-ABC中