高中數(shù)學人教A版必修五《應用舉例第一課時》

《應用舉例第一課時》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進一步應用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應用。

通過運用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實際問題，使學生進一步體會數(shù)學

在實際問題中的應用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生由實際問題抽象出數(shù)學問題并加

以解決的能力。

?教學目標

【知識與能力目標】

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常

用的測量相關術語。

【過程與方法目標】

首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結合學生的

實際情況，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多

媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。

【情感態(tài)度價值觀目標】

激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號

表達題意和應用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力。

?教學重難點

【教學重點】

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解。

【教學難點】

實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定，即根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖。

?課前準備

電子課件調(diào)整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調(diào)試好。

?教學過程

新課導入

1、［復習舊知］

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

1.正弦定理:

語言表述在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等

符號表示a_b_c

sin/1sini?sinC

比值的含義sin力sin8sinC

（其中々為的外接圓半徑）

(1),a=27feinAfb=2/fsinB,c=2/feinC\

變形(2)sinA=—sinB=—sinC=—；

2Rf2Rf2R

(3)a\bIc-sin/：sin4：sinC

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

作用

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

2.余弦定理:

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩

語言表述

邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

#=Z/+d—22ccos力;

符號表示=#+d-2accos_B；

c2aAeosC.

余弦定理

.b-+c2-a2c2+a2-b2

cosA=----------------；cosBD=-----------------

2bc2ca

推論

222

「a+b-c

cosC=----------------

2ah

①.已知三邊求三角；

作用

②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

2、［設置情境］

請學生回答完后再提問：前面引言第一章''解三角形"中，我們遇到這么一個問題，“遙

不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出

了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度

等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借

助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實

施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。

于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理

在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。

二、研探新知，建構概念

解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條

件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解。

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，

在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離是55m,ZBAC=51°,NACB=75°。求A、B兩

點的距離（精確到0.Im）。

B

圖1.2-1

啟發(fā)提問1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題

目條件告訴了邊AB的對角，AC為己知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知

角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得ABAC

sinZACBsinZABC

_ACsinZACB_55sinZACB_55sin75°-55sin75°七gg7的

sinZABCsinZABCsin(180°-51°-75°)sin54°

答:A、B兩點間的距離為65.7米。

變式訓練：

一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行.在A處看燈塔S

在船的北偏東20的方向，30min后航行到B處，在B處看燈

塔在船的北偏東65的方向，已知距離此燈塔6.5nmile以外

的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？

解：在AASS中，乙%4=115。，

NS=45°,由正弦定理得

eABsin20°16.1sin20°

SB----------------=-------------------7.787(nmile)

sin45°sin45°

設點室U直線力剛距離為無則

h=SBsin65°?7.06(〃mile)

???A>6.5/7mile此船可以繼續(xù)沿正北方向航行

答：此船可以繼續(xù)沿正I匕方向航行

例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方

法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要

構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊

既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

圖1.2-2

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D,測得CD二a,并且在C、D兩點分別測得NBCA二

NACD二萬，NCDB=7,ZBDA=^,在AADC和ABDC中，應用正弦定理得

AC=asin(7+b)=asin(7+b)

sin[180°-(/?+/+^)]sin(—+：+b)

Be=asin/二asin/

sin[180°-(a+^+/)]sin(a+/7+/)

計算出AC和BC后，再在AABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離

AB=VAC2+BC2-2ACxBCcosa

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：

如圖，為了測量正在海面勻速行駛的某船的速度，在海岸上選取距離1千米的兩個觀察

點C,I),在某天10：00觀察到該船在A處，此時測得/ADC=30°,2分鐘后該船行駛至B

處，此時測得NACB=60°,ZBCD=45°,NADB=60°,則船速為多少千米/分鐘?

解：在aBCD中，ZBDC=30°+60°=90°,CD=1,ZBCD=45°,所以BC=a.

在4ACD中，ZCAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,所以衛(wèi)-=￡?,AC=—.

sm45°sin3002

在aABC中，AB=AC2+BC2-2ACXBCXcos60°二，

2

r—V6_

所以AB￥，所以船速為心半千米/分鐘。

224

學生閱讀課本12頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。

四、鞏固訓練：

課本第14頁練習第2題

五、課堂小結：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中,

建立一個解斜三角形的數(shù)學模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解

(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

六、作業(yè)布置：

課本第22頁第2、3題

?S

?教學反思

略。

《應用舉例第二課時》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進一步應用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應用。

通過運用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實際問題，使學生進一步體會數(shù)學

在實際問題中的應用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生由實際問題抽象出數(shù)學問題并加

以解決的能力。

?教學目標

【知識與能力目標】

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量

的問題。

【過程與方法目標】

本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會

正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來

鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導一一討論一一歸納，目的不在

于讓學生記住結論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣

闊的思考空間。

【情感態(tài)度價值觀目標】

進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力。

?教學重難點

【教學重點】

結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題。

【教學難點】

能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件。

?課前準備

電子課件調(diào)整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調(diào)試好。

?教學過程

塞樂斯生于公元前624年，是古希臘第一位聞名世界的大數(shù)學家。他原是一位很精明的

商人，靠賣橄欖油積累了相當財富后，塞樂斯便專心從事科學研究和旅行。他游歷埃及時，

曾用一種巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及國王阿美西斯欽羨不已。賽樂斯的測量

方法是什么？

答：選一個天氣晴朗的日子，在金字塔邊豎立一根小木棍，然后觀察木棍陰影的長度變

化，等到陰影長度恰好等于木棍長度時，趕緊測量金字塔影的長度，因為在這一時刻，金字

塔的高度也恰好與塔影長度相等。也有人說，塞樂斯是利用棍影與塔影長度的比等于棍高與

塔高的比算出金字塔高度的。如果是這樣的話，就要用到三角形對應邊成比例這個數(shù)學定理。

塞樂斯自夸，說是他把這種方法教給了古埃及人但事實可能正好相反，應該是埃及人早就知

道了類似的方法，但他們只滿足于知道怎樣去計算，卻沒有思考為什么這樣算就能得到正確

的答案。

二、研探新知，建構概念

1.解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解。

2.在解決實際問題時常會遇到一些有關角的術語：

(1)方向角：從指定方向到目標方向線所成的水平角。

(2)仰角與俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視

線在水平線上方時叫仰角，目標視線在水平線下方時叫俯角。(如下圖所示)

目標視線

水平視線

目標視線

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物

高度AB的方法。

分析:求AB長的關鍵是先求AE,在△ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA,

再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀

器測得A的仰角分別是a、p,CD=a,測角儀器的高是h,那么，在AACD中，根據(jù)正弦

八。_?sin0

定理可得

sin(a-p)

AB=AE+h=ACsina+h=asinasin/?+卜

sin(a-fi)

例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角a=54°40',在塔底C處測得

A處的俯角￡=50°1'。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD（精確到1m）

圖1.2-5

師:根據(jù)已知條件,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在AABD中求

CI）,則關鍵需要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)NBAD=a求得。

解：在AABC中，ZBCA=90°+6，NABC=90°-a,NBAC=a-尸，/BAD=。.根據(jù)正弦

BCAB

定理知：=

疝（a-夕）sin（90'+/3）

ARJCsin（90'+-）_BCcos.

所以

sin（a-p）sin（a-夕）

解Rt△ABD中，得BD=ABsinZBAD="期網(wǎng)11。

sin(a-(J)

27.3cos50Tsin54’40'

將測量數(shù)據(jù)代入上式,得BD

sin(54°40'-50ol')

27.3cos50Tsin54=4(y

^177(m)

sin4°39'

CD=BD-BCg177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米。

師：有沒有別的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC?

生：同理，在AABC中，根據(jù)正弦定理求得。(解題過程略)

例3、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側遠處一山頂D

在東偏南15°的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25°的方向上,仰角為8°,

求此山的高度CDo

圖1.2-6

師：欲求出CD,大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？

生：在△BCD中

師：在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計算出哪條邊的長?

生：BC邊

解:在AABC中，ZA=15°,NC=25°-15°=10°,根據(jù)正弦定理,

BC_AB

sinAsinC

ABsinA5sin15

sinCsin1()

.7.4524(km)

CD=BCxtanZDBC^BCxtan8°七1047(m)

答：山的高度約為1047米。

四、鞏固訓練：

1.在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為6,沿BE方向前進30m,至點C處測得頂端

A的仰角為26,再繼續(xù)前進10后m至D點，測得頂端A的仰角為40,求。的大小和建筑

物AE的高。

師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。

生：上臺板演方位圖（上圖）

教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板

演，然后教師補充講評。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10V3,

ZADC=180°-40,

.1OV3=30。

sin20sin(18O°—46)

因為sin46=2sin29cos2。

cos20=無，得2。=30°

2

6=15°,

.?.在RtAADE中，AE=ADsin60°=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法二：(設方程來求解)設DE=x,AE=h

在RtAACE中，(106+x)2+h2=302

在RtAADE+,x2+h2=(1073)2

兩式相減，得x=5石，h=15

LC

.,.在RtAACE中，tan26=---z=---二——

10V3+X3

.?.2。=30°,6=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m。

解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8,由題意，得

ZBAC=6?,ZCAD=261,

AC=BC=30m,AD=CD=1073m

x

在RtzXACE中，sin29二----------①

30

4

在Rt^ADE中，sin48=-廣，---------②

10V3

/o

②+①得cos26=?,20=30°,。=15°,AE=ADsin60°=15

2

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m。

2.課本第15頁練習第1、2、3題

五、課堂小結：

利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的

背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?/p>

六、作業(yè)布置：

1、課本第19頁練習第6、7、8題

2、為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30°,

測得塔基B的俯角為45°,則塔AB的高度為多少m?

答案：20+-----(m)

3

?教學反思

略。

《應用舉例第三課時》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進一步應用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應用。

通過運用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實際問題，使學生進一步體會數(shù)學

在實際問題中的應用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生由實際問題抽象出數(shù)學問題并加

以解決的能力。

?教學目標

【知識與能力目標】

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題。

【過程與方法目標】

本節(jié)課是在學習了相關內(nèi)容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應

通過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1,還針對性地選擇了既具典型性

有具啟發(fā)性的2道例題，強調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地

位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過

程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

【情感態(tài)度價值觀目標】

培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的

探索精神。

?教學重難點

【教學重點】

能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系。

【教學難點】

靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題。

?課前準備

電子課件調(diào)整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調(diào)試好.

?教學過程

三、新課導入

提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊

和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中，人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海

面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量

問題。

二、研探新知，建構概念

1.解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解。

2.方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角。

方向角：從指定方向到目標方向線所成的水平角。

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75。的方向航行67.5nmile后到達海島B,然

后從B出發(fā),沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后達到海島C.如果下次航行直接從A出

發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？（角度精確到0.1",距離精確到

0.Olnmile）

?/cI

北

▲

東

西

一

倒

南

圖1.2-7

學生看圖思考并講述解題思路

教師根據(jù)學生的回答歸納分析:首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角/ABC,

即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角/CAB。

解：在AABC中，ZABC=180°-75°+32°=137°,根據(jù)余弦定理,

AC=7AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC

=V67.52+54X)2_2X67.5X54.0XCOS137°

^113.15

根據(jù)正弦定理，BC=4c

sinZCABsinZABC

sinZCAB=BCsinZA3c

AC

_54.0sin137°

113.15

?=0.3255,

所以/CAB=19.0°,75°-NCAB=56.0°

答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行，需要航行113.15nmile

例2、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的

方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向

追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？

師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型

分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。

解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75°+45°=120°

(14x)2=92+(lOx)2-2x9x10xcosl20°

T.a

化簡得32x2-30x-27=0,即x=—,或x=——(舍去)

216

所以BC=lOx=15,AB=14x=21,

又因為sin/BAC"sin⑶=@乂旦二巫

AB21214

NBAC=38°13',或NBAC=141°47'(鈍角不合題意,舍去),

38°13'+45°=83°13'

答：巡邏艇應該沿北偏東83°13'方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船。

評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關現(xiàn)實生活的

應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

四、鞏固訓練:

1.課本第18頁練習;

2.如圖，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測得小.島A在船的南

偏東30°,航行30海里到C處，在C處測得小島力在船的南偏東45°,

如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？

解：在ZkABC中，8c=30,8=30°,

NACB=18O°-45°=135°,

由正弦定理知二￡=-^30AC

sinAsinBsin15。-sin30°

...AC=30sin30°=60cos15°=1576+1572..,.A到BC所在直線的距離為

sin15°

ACsin45°=（1576+I5V2）----=15（百+1）~40.98>38（海里）,

2

???不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險。

答：不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險。

五、課堂小結：

解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角

形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這

時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。

六、作業(yè)布置：

課本第20頁練習第9題

?教學反思

略。

《應用舉例第四課時》

?教材分析

本節(jié)主要是正弦定理、余弦定理的進一步應用，利用正弦定理、余弦定理解決高度、距

離、角度以及三角形的綜合應用。

通過運用正弦定、余弦定理解決工業(yè)、農(nóng)業(yè)等方面的實際問題，使學生進一步體會數(shù)學

在實際問題中的應用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生由實際問題抽象出數(shù)學問題并加

以解決的能力。

■、

?教學目標

【知識與能力目標】

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題，掌握三角形

的面積公式的簡單推導和應用。

【過程與方法目標】

本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特

點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運

用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，

能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進

一步突破難點。

【情感態(tài)度價值觀目標】

讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學

生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗。

?教學重難點

【教學重點】

推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目。

【教學難點】

利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題。

?課前準備

電子課件調(diào)整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調(diào)試好.

?教學過程

一、新課導入

如果已知底邊和底邊上的高，可以求三角形面積.那么如果知道三角形兩邊及夾角，有

沒有辦法求三角形面積？

二、研探新知，建構概念

1.解決實際三角形問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里

的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解。

2.在AABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h〃、院、hf,那么它們?nèi)绾斡靡阎?/p>

和角表示？

hfl=bsinC=csinB；h/,=csinA=asinC；h(.=asinB=bsinaA

三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

例1、在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.Icn^)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)己知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關

系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可

以求出三角形的面積。

解：(1)應用S=」acsinB,得S=—x14.8x23.5xsinl48.5°9(cm2)

22

bsmC

(2)根據(jù)正弦定理，——---c---c=--------

sinBsinC--------------sinB

S二—bcsinA=—b2s1nosm'

22sinB

A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5

1sin65.8sin51.5

S=-x3.1602x----------------^4.0(zcm20

2sin62.7

(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2^-a2-b2

DcosB=-----------

2ca

38.72+41.42-27.32

2x38.7x41.4

公O7697

sinB=Vl-cos2B弋71-0.7697240.6384

應用S='acsinB,得

2

S-x41.4x38.7x0,6384^511.4(cm2)

2

例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中，要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園，經(jīng)過測量

得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127叫這個區(qū)域的面積是多少？(精確到

0.1cm2)?

師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。

由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。

解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，

c2+a2-b2

cosDB=-----------

2ca

=1272+682-882-.7532

2x127x68

sinB=Vl-0.75322?0.6578

應用S=—acsinB

2

Sx68x127x0.6578^2840.38(m2)

2

答：這個區(qū)域的面積是2840.38m2。

例3、在△ABC中，求證：

/八a2+b2sin2A+sin2B

(1)；—=------T-------------;

c2sin~C

(2)a2+h2+C2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到

用正弦定理來證明

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設