高中數(shù)學-課三角函數(shù)模型的簡單應用一教學設計學情分析教材分析課后反思

《三角函數(shù)模型的簡單應用（一）》教學設計

【課標分析】：

1、課標表述：

會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期

變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。

2、目標分解

教科書通過4個例題，循序漸進地從四個層次來介紹三角函數(shù)模

型的應用，根據(jù)圖像建立解析式，根據(jù)解析式作出圖像，將實際問題

抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型。利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點

圖，并根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型，根據(jù)材料的安

排，分兩個課時完成這部分內(nèi)容。例一、例二、例三為第一課時，例

四為第二課時。本節(jié)進行第一課時。

3、具體目標

初步學會由函數(shù)求解析式的方法；

體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；

體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。

【教材分析】：

1、地位和作用

《三角函數(shù)模型的簡單應用》是高中數(shù)學新課標人教A版必修4

的第一章最后一節(jié)的第一課時。其目的是讓學生感受三角函數(shù)在解

決具有周期性變化規(guī)律的實際問題中的作用，體驗三角函數(shù)與日常

生活的聯(lián)系，增強應用意識，初步掌握在實際問題中建立函數(shù)模型

的基本方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

2、教學重點、難點

a、用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題；

b、將某些實際問題抽象為三角函數(shù)模型。

【教學目標】

1、知識目標：a通過對三角函數(shù)模型的簡單應用的學習，使學

生初步學會由圖象求解析式的方法；b根據(jù)解析式作出圖象并研究性

質(zhì)；c體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；d體會三角函

數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

2、能力目標：讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題

的數(shù)學“建?！彼枷耄瑥亩囵B(yǎng)學生的建模、分析問題、數(shù)形結合、

抽象概括等能力.

3、情感目標：讓學生切身感受數(shù)學建模的過程，體驗數(shù)學在解

決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)鍥而不

舍的鉆研精神；培養(yǎng)學生勇于探索、勤于思考的精神。

【學情分析】

在學習了必修1第四章中函數(shù)的應用，學生已經(jīng)有了數(shù)學建模的

基本思想和方法，又經(jīng)過必修4第一章中三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學

習，應用三角函數(shù)的基本知識解決實際問題，對學生來說順理成章。

所以對本節(jié)《三角函數(shù)模型的簡單應用》的學習，應該讓學生多參與、

多思考，培養(yǎng)他們分析解決問題的能力，提高對所學知識的應用能力。

【教法分析】

1、本節(jié)課的內(nèi)容示三角函數(shù)模型的簡單應用，特點是三角函數(shù)的應

用。所以在教學中，要使學生“知其然”，更要是學生“知其所以然二

要讓學生多參與、多探究，然后在老師的總結提煉中升華為分析解決

問題的能力。

2、多媒體輔助教學。通過幾何畫板、動畫等技術制作多媒體課件，

直觀反映生活總的三角函數(shù)例子，并用多媒體反應圖像的變化過程。

【教學設計過程及設計意圖】

一、復習回顧

如何繪制函數(shù)y=Asin（3：+0）（其中A>O,（y>0）的圖像。

師：函數(shù)y=Asin（5+。）,Xe/?（其中的A>0,刃>0）的圖象，

可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲線上所有的點向左（當夕>0時）或向右（當0<0時一）

平行移動個單位長度，

再把所得各點的橫坐標縮短（當G>1時一）或伸長（當0<6><1）

到原來的一倍（縱坐標不變），

再把所得各點的縱坐標縮短（當A>1時）或伸長（當0<A<l）

時到原來的倍（橫坐標不變）而得到.

生：學生獨立完成，回答。

設計意圖：復習舊知，喚醒對新知的渴望

一、課題引入(多媒體展示)

物理情景心理、生理現(xiàn)象地理情景日常生活現(xiàn)象

①簡諧運動①情緒的波動①氣溫變化①漲潮與退潮

②星體的環(huán)②智力變化狀況規(guī)律②車輪轉動

繞運動③血壓變化狀況②月圓與月③峰谷電

缺

生：觀察并思考、發(fā)現(xiàn)并感受身邊的數(shù)學

師：引導學生進入三角函數(shù)模型的簡單應用的學習。

師生：由此共同認識數(shù)學與生活的密切關系。

設計意圖：通過靜態(tài)圖片和動態(tài)動畫的展示，讓學生在熟悉的問題中

進入課題，能充分激發(fā)學生的學習熱情和興趣。

三、由圖像探究三角函數(shù)模型的解析式

例題1

如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)

y=Asin（5+（p）+bo

(1)求這一天的最大溫差；

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

師：從圖像可以看出哪些量的值能直接得到？哪些量的值需要計算得

到？可用怎樣的方式計算得到?

生：觀察、思考、回答問題。

設計意圖：切入本節(jié)課的課題，讓學生明確學習任務和目標，同時以

設問和探索的方式導入新課，創(chuàng)設情境，激發(fā)思維，讓學生帶著問題

有目的地參與以下教學活動。

解：（1）觀察圖象可知，這段時間的最大溫差是20℃。

（2）從圖中可以看出，從6時到14時的圖象是函數(shù)

y=Asin（0r+o）+b的半個周期的圖象，=14-6=8

.,.7=16,：.0)=%

O

又"=型』=10,戒四生=2。

22

77

，y=lOsin(—x+0)+2O,

8

377

將點(6,10)代入得:sin(—+<^)=-1

4

—+0=2kji+—,keZ

42

(D=2k7i+—,k&Z,取°=—,

44

TT37r

y=10sin(1x+亍)+20,(6<%<14)

引導學生探究：1、總結A、b的計算公式

2、探求夕的求法，精確掌握五點作圖法的原理。

設計意圖：提出問題，由學生動腦分析，自主探究。通過代多個點出

現(xiàn)問題從而體會點（10,20）在增區(qū)間上點區(qū)別于減取間上的平衡點，

培養(yǎng)數(shù)形結合的數(shù)學思考習慣。通過總結歸納總結這種方法解題的思

路方法，培養(yǎng)概括的能力。

總結：一般情況下，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫某天某個時段的

溫度變化情況，因此應當特別注意自變量的取值范圍。

7T

練習1、函數(shù)y=Asin(5+0)(其中A>OM>O,|0]<])的部分圖像

如圖所示，則f(x)的解析式為

四、由解析式作出圖像并研究其性質(zhì)

例題2.畫出函數(shù)y=binx|的圖象并觀察其周期.

師：提出問題

(1)該函數(shù)與哪個常見函數(shù)類似？

(2)類比作出函數(shù)圖像；

(3)畫出函數(shù)圖像并根據(jù)圖像求周期；

(4)從定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、對稱性等方面與丁=sin%

作比較；

(5)用周期的定義和誘導公式驗證觀察結果。

生：回答問題并到黑板作圖。

設計意圖：通過畫函數(shù)的圖象來研究性質(zhì)。由已知函數(shù)模型來研究函

數(shù)，培養(yǎng)學生應用已知函數(shù)解決問題方法。

分析與簡解：如何畫圖？

法L去絕對值，化為分段函數(shù)(體現(xiàn)轉化與化歸！)；

法2：圖象變換一一對稱變換，可類比丁=國的作法.

從圖中可以看出，函數(shù)y=|sinjc|是以"為周期的波浪形曲線.

反思與質(zhì)疑：

①利用圖象的直觀性，通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質(zhì)的認識，是研

究數(shù)學問題的常用方法；本題也可用代數(shù)方法即周期性定義驗證：

f(x+7r)=|sin(x+^-)|=|一sinX=|sinA:|=f(x)

.,./(%)=Winx|的周期是〃.(體現(xiàn)數(shù)形結合思想！)

總結：根據(jù)解析式模型建立圖像模型，是近幾年高考考查的一個熱點。

練習2：/(x)=binx|+sin%的周期是.

TT

/(%)=sin(x+j)的周期是.

五、應用數(shù)學知識解決實際問題。

例題3

如圖所示,大風車的半徑為2m,每12s旋轉一周，它的最低點0離

地面0.5m.風車圓周上一點A從最低點。開始,運動t(s)

后與地面的距離為力m.

⑴求函數(shù)力=/1①的關系式.

⑵畫出函數(shù)力=/1〃)的圖象.(2]

解：(1)以圓心為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則以0*

為始邊,。6為終邊的角為匹

62

故點B的坐標為(2cos(勺-馬,2sin(勺-馬).

6262

師：觀察圖片，結合本地風電建設，與實際問題結合，利用三角函數(shù)

建立數(shù)學模型研究有關的周期問題，并提出問題：

(1)求解析式的前提條件；

(2)根據(jù)實際確定不同的建系方式；

(3)要求學生根據(jù)自己選擇的模型進行求解；

(4)根據(jù)計算過程的差異互相評價。

生：小組討論，解決問題。

設計意圖：利用三角函數(shù)解決生活中的實際問題，培養(yǎng)解決實際問題

的能力。

引導學生總結將實際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚：

理解題意——求解一還原解答

設計意圖：優(yōu)化學生的知識結構，使之系統(tǒng)化、條理化，加強知識間

內(nèi)在聯(lián)系的理解和認識。知識性、方法性內(nèi)容的小結，可把課堂所學

知識盡快化為學生的素質(zhì)；數(shù)學思想方法的小結，可使學生更深刻地

理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好

的個性品質(zhì)。

六.拓展練習：

1、函數(shù)y=-xcosx的部分圖像是（）

2、函數(shù)y=45由（0￥+9）（其中24>0,69>0,0<、）的部分圖像如圖所

示，則該函數(shù)的表達式為()

57r

A、y=2sin(2%+——)

6

5萬

B、y=2sin(2x--)

7T

C、y=2sin(2x+—)

TT

D、y=2sin(2x--)

設計意圖：通過兩個練習，鞏固對三角函數(shù)模型的簡單應用。

【教學反思】

1.本教案設計指導思想是：充分喚起學生已有的知識方法，調(diào)動

起相關學科的知識，盡量降低實例背景的相對難度，加大實際問題的

鮮明、活躍程度，以引發(fā)學生探求問題的興趣.

2.應用三角函數(shù)模型解決問題，首先要把實際問題抽象為數(shù)學問

題,確定它的周期,從而建立起適當三角函數(shù)模型.如果學生選擇了不

同的函數(shù)模型，教師應組織學生進行交流，或讓學生根據(jù)自己選擇的

模型進行求解,然后再根據(jù)所求結果與實際情況差異進行評價.

3.由于實際問題常常涉及一些復雜數(shù)據(jù)，因此要鼓勵學生利用計

算機或計算器處理數(shù)據(jù)，有條件的要用多媒體進行動態(tài)演示，以使學

生有更多的時間用于對問題本質(zhì)的理解。

【學情分析】

在學習了必修1第四章中函數(shù)的應用，學生已經(jīng)有了數(shù)學建模的

基本思想和方法，又經(jīng)過必修4第一章中三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學

習，應用三角函數(shù)的基本知識解決實際問題，對學生來說順理成章。

所以對本節(jié)《三角函數(shù)模型的簡單應用》的學習，應該讓學生多參與、

多思考，培養(yǎng)他們分析解決問題的能力，提高對所學知識的應用能力。

效果分析

通過本節(jié)課的學習，學生能用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題,

更深入的體會到三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。

例題和練習的選擇，根據(jù)循序漸進的原則，從三個層面來介紹三

角函數(shù)模型的應用:

例題1是根據(jù)圖像建立解析式，學生能夠根據(jù)圖像給出的信息進

行提煉解決問題，觀察法和待定系數(shù)法并列進行，求出解析式中的參

數(shù)，從而確定其解析式。從理解例題的意圖和對相應練習的解答來看,

學生對這一類題型的掌握情況良好，對各個系數(shù)的計算把握到位。

例題2是根據(jù)解析式作出圖像，學生能夠與已有的知識聯(lián)系，并

通過類比的思想作出圖像，并能根據(jù)圖像認識性質(zhì)。學生對本題的圖

像和性質(zhì)的把握到位，但對已學過的知識稍有疏漏，及時糾正，鞏固

加強，要求熟練掌握，下節(jié)課檢查效果。相對應的練習解答情況良好。

例題3是將實際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關的的數(shù)學模型,

然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題。直接根據(jù)例題中的圖來建立函數(shù)

模型，學生有一定的困難，在層層設問下，學生能逐漸明朗解題思路，

建立不同的坐標系，由圖來建立數(shù)學模型，解決問題。對于這一類型

的題目，需要不斷的加強鞏固。

總體來說，學生對本節(jié)課的掌握情況良好，本節(jié)課的效果能夠達

到預期目標，圓滿完成本節(jié)課的教學任務。

【教材分析】：

1、地位和作用

《三角函數(shù)模型的簡單應用》是高中數(shù)學新課標人教A版必修4

的第一章最后一節(jié)的第一課時。其目的是讓學生感受三角函數(shù)在解

決具有周期性變化規(guī)律的實際問題中的作用，體驗三角函數(shù)與日常

生活的聯(lián)系，增強應用意識，初步掌握在實際問題中建立函數(shù)模型

的基本方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

2、教學重點、難點

c、用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題;

d、將某些實際問題抽象為三角函數(shù)模型。

《三角函數(shù)模型的簡單應用》試題

雙向細目表

題題分簡中較

□題目相關的知識點

型值單等難

15三角函數(shù)圖像/

選25物理電流與三角函數(shù)模型/

擇

35三角函數(shù)圖像交點問題/

題

45三角函數(shù)模型的物理意義/

510周期性/

65三角函數(shù)模型實際應用/

填

空75三角函數(shù)模型實際應用/

題

810三角函數(shù)性質(zhì)/

解

910三角函數(shù)模型實際應用/

答

1010三角函數(shù)模型實際應用/

題

《三角函數(shù)模型的簡單應用》試題

雙基達標(限時20分鐘)

1.函數(shù)y=sin|x|的圖象().

A.關于x軸對稱B.關于原點對稱

C.關于y軸對稱D.不具有對稱性

2.電流/(A)隨時間*s)變化的關系是/=3sin100加，00,+°°),則電流/變化

的周期是().

A擊B.50D.100

3.函數(shù)產(chǎn)singy=tanx的圖象在(一方，目上的交點有().

A.4個B.3個C.2個D.1個

3

4.振動量函數(shù)y=d^sin(5+9)(①>0)的初相和頻率分別為一兀和則它的相位

是.

5.函數(shù)y=tan(2x—與y=-a(aGR)的交點中距離最小為.

6.如圖所示，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin(wx

+9)+h(0</<2兀).

10rr--L-1

1???

20??T?Y+-：-一1

0-------------?----?----4

11111

___!__!____!_!__?

068101214X

(1)求這段時間的最大溫差；

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

綜合提高（限時25分鐘）

7.如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置。的距離scm和時間fs的

函數(shù)解析式為s=6sin（2加+1），那么單擺來回擺動一次所需的時間為（）.

A.2兀sB.7isC.0.5sD.1s

8.同時具有性質(zhì)“①最小正周期是兀；②圖象關于直線》=:對稱;

7T

③在[o,上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是（）.

X

A.y=sin弓B.y=cos2x

C.y=s\n2xD.y=cos/

9.某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm,秒針均勻地繞點O旋轉.當

時間r=0時，點A與鐘面上標12的點B重合，將A、B兩點的距離d（cm）表示

成白）的函數(shù)，則4=，其中￡[0,60].

10.據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈凡r）=

TT

Asin（3+9）+3（A>0,①>0,|夕|<]）的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高

價9千元，7月份價格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定人犬）的解析式為

《三角函數(shù)模型的簡單應用》試題答案

1、解析.."GR,

且大-x)=sin|—x|=sin|尤|=於).

...函數(shù)y=sin|x|是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱.

答案C

2、解析由題知丁=秒=需『點

答案A

3、解析當x=0時，sin尤=0,tanx=0,(0,0)為兩函數(shù)圖象的交點，當

時，tanx>sinx,兩函數(shù)圖象無交點.

當［一冬oj時，tanx<sinx,兩函數(shù)圖象無交點.

所以所求交點只有1個.

答案D

4、解析T=5=|,半=3兀，

相位COX+^=3TIX—71.

答案3心一兀

5、解析y=tan(2x—野與y=一。的交點中距離最小為一個周期

答案方

6、解(1)由圖可知，這段時間的最大溫差是

30-10=20(℃).

⑵?.,從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(3小+夕)+人的半個周期的圖象,

/.lr=14—6,.*.T=16,￡0=?，4=1(30—10)=10,

/oZ

b=￡(30+10)=20,此時y=10sin&+，+20.

將x=6,y=10代入上式，得s=苧，

綜上所求的解析式為y=lOsin值：+華）+20,xW[6,14].

7、解析單擺來回擺動一次所需時間為該函數(shù)的最小正周期，...0=271,...7=

2兀，

五=ls.

答案D

8、解析最小正周期為兀，可排除A、D；

B、C的周期均為兀，

但當x=彳時，cos（2X：）=cos方=0，

7T

.,.x=Z不是y=cos2x的對稱軸，排除B.

答案c

d

7TTTt2

9、解析經(jīng)過rs秒針轉了右/rad.由圖知sin應=三，所以