計算理論與算法分析設(shè)計課件：分支限界法

分支限界法

2024/7/42

of158人1234

A21097

B154148

C13141611

D4

1513922A做1B做1C做1D做1274133243624342831A做2B做2C做2A做3C做3283739B做2C做2D做2A→3,B→2,C→4,D→1,總時間為28例1：用分支限界法求解分配問題2024/7/43

of158例2：同順序任務(wù)加工問題：設(shè)有4項待加工的任務(wù)J1,J2,J3,J4,它們的工序相同：每個任務(wù)必須先在機器M1上加工，然后在機器M2上加工，最后在M3上加工。各加工時間已知。求一最佳加工順序使得盡早完工。2024/7/44

of158設(shè)tij為任務(wù)Ji在機器Mj上的加工時間，且加工時間矩陣T為：T=J1J2J3J457910529957810M1M2M3

=(tij)4*32024/7/45

of158如若加工順序是：

J2→J3→J1→J4則從開始到結(jié)束所需的時間可計算如下圖：2024/7/46

of158理想的加工安排是：M2無空閑，最后一個在M3上加工的任務(wù)時間最短。估計下界：比如從Ji開始的加工順序，估計加工所需的最短時間為：

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

2024/7/47

of158M1先加工J1

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t11+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠1T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=5+(7+5+9+8)+2=362024/7/48

of158M1先加工J2

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t21+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠2T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=10+(7+5+9+8)+5=442024/7/49

of158M1先加工J4

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t41+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠4T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=7+(7+5+9+8)+2=382024/7/410

of1582024/7/411

of158一般從Ji開始，繼以Jj的任務(wù)安排，理想時間為：ti1+tj1+Σtk2+min{th3}

k≠ih≠i,jJ1

→J2

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+10+(5+9+8)+5=422024/7/412

of158ti1+tj1+Σtk2+min{th3}

k≠ih≠i,jJ1

→J3

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+9+(5+9+8)+2=38J1

→J4:

36

J1

→J2:422024/7/413

of158Ji→Jj

→Jk的下界：ti1+tj1+tk1+Σtp2+tq3

p≠i,jJ1

→J4

→J2

T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

5+7+10+(5+9)+5=41J1

→J4

→J3:

37

2024/7/414

of1582024/7/415

of1582024/7/416

of158例3：貨郎擔(dān)問題

首先考慮根結(jié)點，即求所有路線的下界。對D的每行減去該行的最小元素或每列減去該列的最小元素，得到一個新的矩陣，使得每行和每列至少有一個零元素。這叫做行規(guī)約和列規(guī)約。∞143056∞11436∞561013∞2133411∞D(zhuǎn)=2024/7/417

of158規(guī)定：先做行規(guī)約，再做列規(guī)約5∞143056∞11436∞561013∞2133411∞D(zhuǎn)=1∞925017∞81002∞1213811∞010018∞先行規(guī)約∞924017∞71002∞1213810∞010008∞18(=5+3+4+2+3+1)記作

D’再列規(guī)約183423首先計算第一個0所對應(yīng)的邊142024/7/418

of158h～14=20h～25=19

h～31=26h～45=26h～52=20h～53=25∞924∞17∞71002∞1213810∞010008∞1811v1

v2v3v4v5v1v2v3v4v5∞823∞07∞70002∞0213810∞010007∞20(=18+1+1)1826~31?312024/7/419

of158走31的計算方法

18v1

v2v3v4v5v1v2v3v4v5∞924017∞71002∞1213810∞010008∞189∞01∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v518182631~312024/7/420

of158

h～14=20h～25=19h～45=26h～52=26h～53=25

26~459∞01∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v51818182631~31?459∞∞1∞710810∞0008∞v1

v2v4v5

v2v3v4v5189∞0∞7100∞

v1

v2v5

v2v3v4

182024/7/421

of158

26~4518182631~3119452528∞000v2v5

v2v3

2514~1453不能選選擇23，5231，45，14，23，521→4→5→2→3→1總花費是：252024/7/422

of158方法概述:基本思想在解空間樹中,以廣度優(yōu)先BFS或最佳優(yōu)先方式搜索最優(yōu)解,利用部分解的最優(yōu)信息,裁剪那些不能得到最優(yōu)解的子樹以提高搜索效率。搜索策略是：在擴展結(jié)點處，先生成其所有的兒子結(jié)點（分支），然后再從當(dāng)前的活結(jié)點表中選擇下一個擴展結(jié)點。2024/7/423

of158方法概述:基本思想為了有效地選擇下一擴展結(jié)點，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點處，計算一個函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點表中選擇一個最有利的結(jié)點作為擴展結(jié)點，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個最優(yōu)解。2024/7/424

of158分支限界法與回溯法的區(qū)別求解目標(biāo)不同：一般而言，回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個解；搜索方法不同：回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索，而分枝限界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費方法來搜索；

2024/7/425

of158分支限界法與回溯法的區(qū)別對擴展結(jié)點的擴展方式不同：分支限界法中，每一個活結(jié)點只有一次機會成為擴展結(jié)點?；罱Y(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點；存儲空間的要求不同：相對而言，分枝限界法的存儲空間比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時，回溯法成功的可能性更大

2024/7/426

of158方法概述:求解步驟①定義解空間(對解編碼);②確定解空間的樹結(jié)構(gòu);③按BFS等方式搜索:

a.每個活結(jié)點僅有一次機會變成擴展結(jié)點；

b.由擴展結(jié)點生成一步可達(dá)的新結(jié)點；

c.在新結(jié)點中,刪除不可能導(dǎo)出最優(yōu)解的結(jié)點；

//剪枝策略

d.將余下的新結(jié)點加入活動表(隊列)中；

e.從活動表中選擇結(jié)點再擴展；

//選擇策略

f.直至活動表為空；2024/7/427

of158方法概述:

兩種常見的活結(jié)點擴充方式先進(jìn)先出隊列（FIFO）:即從活結(jié)點表中取出結(jié)點的順序與加入結(jié)點的順序相同，因此活結(jié)點表的性質(zhì)與隊列相同；優(yōu)先隊列（耗費用小根堆,受益用大根堆）:每個結(jié)點都有一個對應(yīng)的耗費或收益。

-如果查找一個具有最小耗費的解，則活結(jié)點表可用最小堆來建立，下一個擴展結(jié)點就是具有最小耗費的活結(jié)點；

-如果希望搜索一個具有最大收益的解，則可用最大堆來構(gòu)造活結(jié)點表，下一個擴展結(jié)點是具有最大收益的活結(jié)點。2024/7/428

of158堆（Heap)堆給定一個序列A[]={A[1],A[2],…,A[n]},可以按如下的方式構(gòu)造一棵二叉樹：A[1]為根對任何一個A[i],它的左兒子是A[2i],右兒子是A[2i+1]如果2i或2i+1超過n，則A[i]沒有相對應(yīng)的那個兒子2024/7/429

of158堆堆A[1]A[2]A[3]A[4]A[5]A[6]A[7]A[8]A[9]2024/7/430

of158堆堆所構(gòu)造的樹有如下性質(zhì)所有葉子在樹的最底層或倒數(shù)第二層如果最底層的節(jié)點不能完全填滿，則總是在最左邊這樣的樹叫左-完全二叉樹2024/7/431

of158堆堆如果一個左-完全二叉樹有下列性質(zhì)：任何一個非葉節(jié)點的值都大于等于（或小于等于）它的兒子的值則這個樹稱為大（小）頂堆一個堆對應(yīng)的序列顯然有如下性質(zhì)：大頂堆小頂堆2024/7/432

of158堆堆96，83，27，38，11，99683273811912，36，24，85，47，30，53，9112362485473053912024/7/433

of158堆堆—堆調(diào)整假設(shè)已經(jīng)有一個現(xiàn)成的（大頂）堆，調(diào)整的目的是把堆頂（根）的最大元素和序列的最后一個元素交換，然后把剩下是元素繼續(xù)建成堆2024/7/434

of158堆50243020211831256堆—堆調(diào)整

假設(shè)已經(jīng)有一個堆，把堆頂元素和最后一個元素交換624302021183125500)剩下的序列中，堆的性質(zhì)被破壞，調(diào)整堆就是把剩余的序列重新建成堆2024/7/435

of158堆堆—堆調(diào)整1)新的堆頂元素小于它的兒子，所以不能構(gòu)成堆，調(diào)整它的位置把它和較大的兒子交換62430202118312550302462021183125502)調(diào)整后，右子樹的根仍小于它的兒子，所以把它和它的大兒子交換2024/7/436

of158堆堆—堆調(diào)整3)新堆構(gòu)成302418202163125502024/7/437

of158堆排序（HeapSort)堆—堆調(diào)整voidHeapAdjust(int*h,introot,intm){

//已知h[root..m]除根root以外都滿足堆的定義，目的成為大頂堆

int

rc;rc=h[root];intj;

for(j=2*root;j<=m;j*=2){//沿較大兒子向下篩選

if(j<m&&h[j]<h[j+1])j++;//j為較大兒子的下標(biāo)

if(rc>=h[j])break;//rc應(yīng)該插入在位置root上

h[root]=h[j];root=j;}

h[root]=rc; }2024/7/438

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個樹構(gòu)成堆20213561830125024202135241830125062024/7/439

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個樹構(gòu)成堆20213502418301256202130502418312562024/7/440

of158堆堆—堆建立堆建立是把一個無序的序列建成一個堆的過程它是思想是從最底層的子樹進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個樹構(gòu)成堆20503021241831256502430212018312562024/7/441

of158堆堆—堆建立最后一個非葉節(jié)點是從[n/2]開始的，所以從這個節(jié)點開始向前調(diào)整

for(inti=length/2;i>0;i--){

HeapAdjust(h,i,length);}2024/7/442

of158方法概述:示例1示例1（FIFO隊列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價值之和的物品?求解：

①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO111111100000002024/7/443

of158方法概述:示例1③BFS搜索（FIFO隊列）擴展結(jié)點活結(jié)點隊列(可行結(jié)點)可行解(葉結(jié)點)解值

AB,CBCBD,E(D死結(jié)點)CECF,GEFGEJ,K(J死結(jié)點)FGK40FL,MGL,M50,25GN,OφN,O25,0

∴最優(yōu)解為L,即(0,1,1);解值為50DBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=302024/7/444

of158方法概述:示例2示例2（優(yōu)先隊列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價值之和的物品?求解：

①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO111111100000002024/7/445

of158方法概述:示例2BFS搜索（優(yōu)先隊列：按價值率優(yōu)先）擴展結(jié)點活結(jié)點堆(可行結(jié)點)可行解(葉結(jié)點)解值

AB,CBD,E(D死結(jié)點)EJ,K(J死結(jié)點)K40CF,G

FL,ML

50(最優(yōu))GN,OφBCECFGCGDBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=302024/7/446

of1586.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。在分支限界法中，每一個活結(jié)點只有一次機會成為擴展結(jié)點。活結(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點。在這些兒子結(jié)點中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點被舍棄，其余兒子結(jié)點被加入活結(jié)點表中。此后，從活結(jié)點表中取下一結(jié)點成為當(dāng)前擴展結(jié)點，并重復(fù)上述結(jié)點擴展過程。這個過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點表為空時為止。2024/7/447

of1586.1 分支限界法的基本思想常見的兩種分支限界法（1）隊列式(FIFO)分支限界法按照隊列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個節(jié)點為擴展節(jié)點。

（2）優(yōu)先隊列式分支限界法按照優(yōu)先隊列中規(guī)定的優(yōu)先級選取優(yōu)先級最高的節(jié)點成為當(dāng)前擴展節(jié)點。2024/7/448

of1586.2 單源最短路徑問題1.問題描述單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點s到目標(biāo)頂點t之間的最短路徑。

2024/7/449

of1586.2 單源最短路徑問題

下圖是用優(yōu)先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個結(jié)點旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點所對應(yīng)的當(dāng)前路長。2024/7/450

of1586.2 單源最短路徑問題：基本思想

解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結(jié)點表。其優(yōu)先級是結(jié)點所對應(yīng)的當(dāng)前路長。算法從圖G的源頂點s和空優(yōu)先隊列開始。結(jié)點s被擴展后，它的兒子結(jié)點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長的結(jié)點作為當(dāng)前擴展結(jié)點，并依次檢查與當(dāng)前擴展結(jié)點相鄰的所有頂點。如果從當(dāng)前擴展結(jié)點i到頂點j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點i再到頂點j的所相應(yīng)的路徑的長度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點作為活結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。這個結(jié)點的擴展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點優(yōu)先隊列為空時為止。2024/7/451

of1586.2 單源最短路徑問題剪枝策略在算法擴展結(jié)點的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結(jié)點的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長，則算法剪去以該結(jié)點為根的子樹。在算法中，利用結(jié)點間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應(yīng)的樹中的結(jié)點為根的子樹剪去。2024/7/452

of158

while(true){//搜索問題的解空間

for(intj=1;j<=n;j++)

if(a[enode.i][j]<Float.MAX_VALUE&&enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){//頂點i到頂點j可達(dá)，且滿足控制約束

dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];p[j]=enode.i;

HeapNodenode=newHeapNode(j,dist[j]);heap.put(node);//加入活結(jié)點優(yōu)先隊列

}

if(heap.isEmpty())break;elseenode=(HeapNode)heap.removeMin();}頂點I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點到j(luò)的路徑長2024/7/453

of1586.3裝載問題1.問題描述有一批共個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

2024/7/454

of1586.3裝載問題2.隊列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測當(dāng)前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點是否為可行結(jié)點。如果是則將其加入到活結(jié)點隊列中。然后將其右兒子結(jié)點加入到活結(jié)點隊列中(右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點)。2個兒子結(jié)點都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴展結(jié)點被舍棄。活結(jié)點隊列中的隊首元素被取出作為當(dāng)前擴展結(jié)點，由于隊列中每一層結(jié)點之后都有一個尾部標(biāo)記-1，故在取隊首元素時，活結(jié)點隊列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時，再判斷當(dāng)前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點隊列，算法開始處理下一層的活結(jié)點。2024/7/455

of1586.3裝載問題：隊列式分支限界法while(true){if(ew+w[i]<=c)enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結(jié)點

enQueue(ew,i);//右兒子結(jié)點總是可行的

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴展結(jié)點

if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(newInteger(-1));//同層結(jié)點尾部標(biāo)志

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴展結(jié)點

i++;//進(jìn)入下一層

}}2024/7/456

of1586.3裝載問題3.算法的改進(jìn)節(jié)點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴展結(jié)點所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r

bestw時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時候更新bestw的值。2024/7/457

of1586.3裝載問題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點

intwt=ew+w[i];if(wt<=c){//可行結(jié)點

if(wt>bestw)bestw=wt;

//加入活結(jié)點隊列

if(i<n)queue.put(newInteger(wt));}提前更新bestw

//檢查右兒子結(jié)點

if(ew+r>bestw&&i<n)//可能含最優(yōu)解

queue.put(newInteger(ew));

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴展結(jié)點

右兒子剪枝

2024/7/458

of1586.3裝載問題4.優(yōu)先隊列式分支限界法解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用最大優(yōu)先隊列存儲活結(jié)點表。活結(jié)點x在優(yōu)先隊列中的優(yōu)先級定義為從根結(jié)點到結(jié)點x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的活結(jié)點成為下一個擴展結(jié)點。以結(jié)點x為根的子樹中所有結(jié)點相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級。子集樹中葉結(jié)點所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級相同。在優(yōu)先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結(jié)點成為當(dāng)前擴展結(jié)點，則可以斷言該葉結(jié)點所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時可終止算法。

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of1586.50-1背包問題算法的思想首先，要對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進(jìn)行排列。在下面描述的優(yōu)先隊列分支限界法中，節(jié)點的優(yōu)先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。算法首先檢查當(dāng)前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點的可行性。如果該左兒子結(jié)點是可行結(jié)點，則將它加入到子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列中。當(dāng)前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點，僅當(dāng)右兒子結(jié)點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列。當(dāng)擴展到葉節(jié)點時為問題的最優(yōu)值。2024/7/460

of1586.50-1背包問題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間

{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間

b+=p[i];//p[i]表示i的價值

i++;}if(i<=n)b+=p[i]/