廣東省廣州西關(guān)外語(yǔ)學(xué)校與廣州理工實(shí)驗(yàn)學(xué)校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(原卷版+解析)

廣州西關(guān)外語(yǔ)學(xué)校與廣州理工實(shí)驗(yàn)學(xué)校聯(lián)盟2022學(xué)年第一學(xué)期期中測(cè)試試題高二數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共四大題22小題，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必在答卷和答題卡上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫(xiě)自己的考生號(hào)、姓名；填寫(xiě)考場(chǎng)試室號(hào)、座位號(hào)，再用2B鉛筆把對(duì)應(yīng)考號(hào)涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫(huà)圖.答案必須寫(xiě)在答卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不允許使用涂改液、涂改帶等進(jìn)行涂改，不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（）A. B.C. D.3.已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則“”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心是兩直線與的交點(diǎn)的圓的方程為（）A B.C. D.5.如圖，在三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（）A. B. C. D.6.已知圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.4 B.6 C.8 D.167.已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25 C.5 D.21或－98.在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，此時(shí)二面角的余弦值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.10.設(shè)點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)，則a的取值可能是（）A. B. C.1 D.11.如圖，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分別是中點(diǎn)，則（）A. B.BE∥平面C.與CD所成角余弦值為 D.與平面所成角的余弦值為12.關(guān)于直線與圓，下列說(shuō)法正確是（）A.若直線l與圓C相切，則為定值 B.若，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值C.若，則直線l與圓C相離 D.是直線l與圓C有公共點(diǎn)充分不必要條件第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若直線與直線垂直，則______.14.若圓的方程為，則圓中過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____.15.已知向量，若共面，則________．16.已知圓是圓上的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、正明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，，點(diǎn)，.（1）求；（2）若直線AB上存在一點(diǎn)E，使得，其中O為原點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).18.已知直線l的方程為，．（1）求證：直線l恒過(guò)點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）若直線l在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在平面內(nèi)求一點(diǎn)G，使平面.20.已知圓C：，直線l恒過(guò)點(diǎn)（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.21.如圖，在直角中，，，，分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖.（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值；（3）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值.22.已知過(guò)點(diǎn)A（0，4），且斜率為的直線與圓C：，相交于不同兩點(diǎn)M、N.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：為定值；（3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在以MN為直徑的圓恰過(guò)點(diǎn)O，若存在則求的值，若不存在，說(shuō)明理由．廣州西關(guān)外語(yǔ)學(xué)校與廣州理工實(shí)驗(yàn)學(xué)校聯(lián)盟2022學(xué)年第一學(xué)期期中測(cè)試試題高二數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共四大題22小題，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必在答卷和答題卡上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫(xiě)自己的考生號(hào)、姓名；填寫(xiě)考場(chǎng)試室號(hào)、座位號(hào)，再用2B鉛筆把對(duì)應(yīng)考號(hào)涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫(huà)圖.答案必須寫(xiě)在答卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不允許使用涂改液、涂改帶等進(jìn)行涂改，不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.答案：A【解析】分析：根據(jù)方程得到直線的斜率，然后可得答案.【詳解】由可得此直線的斜率為，傾斜角為，故選：A2.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（）A. B.C. D.答案：C【解析】分析：根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程即可求解.【詳解】當(dāng)經(jīng)過(guò)、的直線不與軸平行時(shí)，所有直線均可以用，由于可能相等，所以只有選項(xiàng)C滿足包括與軸平行的直線.故選:C3.已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則“”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：B【解析】分析：先找到P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件，再進(jìn)行判斷.【詳解】若A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)非零實(shí)數(shù)，使得，∴，即，即，∴，其中，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以存在實(shí)數(shù)m，n，使得，其中，∴，即，∴，即，其中；因?yàn)?，但，所以“”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件故選：B4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心是兩直線與的交點(diǎn)的圓的方程為（）A. B.C. D.答案：B【解析】分析：求出圓心坐標(biāo)和半徑后，直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由得，即所求圓的圓心坐標(biāo)為.由該圓過(guò)點(diǎn)，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖，在三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（）A. B. C. D.答案：A【解析】分析：根據(jù)空間向量的加減法進(jìn)行求解.【詳解】解：三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，，所以故選：A6.已知圓與圓恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.4 B.6 C.8 D.16答案：D【解析】分析：由題可知，圓與圓外切，則有圓心距.【詳解】圓化為：，則圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切.兩圓心的距離，則有，即，解得.故選：D7.已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25 C.5 D.21或－9答案：A【解析】分析：根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：A8.在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，此時(shí)二面角的余弦值為（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：由線面垂直的性質(zhì)與判定可證得平面，進(jìn)而得到，設(shè)，，，利用勾股定理可得關(guān)于的方程，由方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解可由求得的值；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；設(shè)，，，，，，，即，關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，對(duì)稱(chēng)軸為，，解得：，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，軸平面，平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用向量法求解二面角的問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證得，從而利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)其根的分布可求得和的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到利用向量法求解時(shí)所需的線段長(zhǎng)度.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.答案：BCD【解析】分析：根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算一一計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，所以，故D正確.故選：BCD10.設(shè)點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)，則a的取值可能是（）A. B. C.1 D.答案：AC【解析】分析：直線過(guò)定點(diǎn)，求出直線的斜率，由圖形可得直線與線段有公共點(diǎn)時(shí)的范圍，從而可得無(wú)交點(diǎn)時(shí)的范圍，由此可得正確選項(xiàng)．【詳解】易知直線過(guò)定點(diǎn)，，，直線的斜率為，由圖知或，所以或時(shí)有交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，直線與線段無(wú)交點(diǎn)，故選：AC．11.如圖，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分別是的中點(diǎn)，則（）A. B.BE∥平面C.與CD所成角的余弦值為 D.與平面所成角的余弦值為答案：BCD【解析】分析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對(duì)選項(xiàng)ACD一一判斷；對(duì)選項(xiàng)B，連接與交于點(diǎn)，連接，易知，則由線面平行的判定定理可知BE∥平面，即可判斷B.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，對(duì)于A，，，所以，所以與不垂直，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接與交于點(diǎn)，連接，易知，所以面，面，所以BE∥平面，所以B正確；對(duì)于C，，，所以，，所以，與CD所成角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)面，，，令，，所以，與平面所成角為，，所以，與平面所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.12.關(guān)于直線與圓，下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線l與圓C相切，則為定值 B.若，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值C.若，則直線l與圓C相離 D.是直線l與圓C有公共點(diǎn)的充分不必要條件答案：ABD【解析】分析：利用圓心到直線的距離，判斷A；利用弦長(zhǎng)公式，判斷B；直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用判斷C；利用直線與軸的交點(diǎn)，判斷D.【詳解】A.若直線l與圓C相切，則圓心到直線的距離，整理為，即，故A正確；B.弦長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，，故B正確；C聯(lián)立方程，，得，，當(dāng)時(shí)，整理為恒成立，所以直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；D.直線與軸的交點(diǎn)是，當(dāng)時(shí)，在圓內(nèi)，過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)的直線一定與圓有交點(diǎn)，但反過(guò)來(lái)，直線與軸的交點(diǎn)在圓上的直線也與圓有交點(diǎn)，或直線與軸的交點(diǎn)在圓外，也有直線與圓相交，所以是直線l與圓C有公共點(diǎn)的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若直線與直線垂直，則______.答案：或.【解析】分析：直線與直線垂直的充要條件是.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得或.故答案為：或.14.若圓的方程為，則圓中過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____.答案：【解析】分析：由題可知點(diǎn)在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點(diǎn)的弦，進(jìn)而即得.【詳解】由題可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓是以為圓心，5為半徑的圓，且由，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點(diǎn)的弦，所以圓中過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為.故答案為：.15.已知向量，若共面，則________．答案：±1【解析】分析：利用共面向量定理直接求解【詳解】因?yàn)橄蛄抗裁?所以存在實(shí)數(shù)m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案為：±1.16.已知圓是圓上的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____.答案：【解析】分析：由題意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．【詳解】圓，得，則圓心C（1，2），半徑R＝，如圖可得：＝＝﹣＝，點(diǎn)是直線上，所以＝（）2＝，∴的最小值是＝.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、正明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，，點(diǎn)，.（1）求；（2）若直線AB上存在一點(diǎn)E，使得，其中O為原點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).答案：（1）5（2）【解析】分析：（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示的線性運(yùn)算求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)公式即可得解；（2）設(shè)，根據(jù)求出，再根據(jù)可得，從而可求得，即可求出，從而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以；【小?wèn)2詳解】解：設(shè)，由，，得，則，故，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以.18.已知直線l的方程為，．（1）求證：直線l恒過(guò)點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）若直線l在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．答案：（1）證明見(jiàn)解析，（2）或【解析】分析：將式子變形得到，令可得到所過(guò)定點(diǎn)；（2）由題意得到，，分別求出在y軸上的截距為，在x軸上的截距為，由，解方程可求得或，進(jìn)而得到直線方程.【小問(wèn)1詳解】將轉(zhuǎn)化為．由，解得故直線l恒過(guò)點(diǎn)．【小問(wèn)2詳解】由題意得直線l在x軸、y軸上的截距相等所以，．令得，，故l在y軸上的截距為．令得，，故l在x軸上的截距為．由得，解得或當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，故直線l的方程為或．19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在平面內(nèi)求一點(diǎn)G，使平面.答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）G為AD的中點(diǎn).【解析】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得向量，由即得；（2）設(shè)，求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，由和求得確定點(diǎn)位置．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌?，平面，平面，所以，，又底面為正方形，所以，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F(xiàn)，∴，，∴＝0，∴，即EF⊥CD；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，，若使GF⊥平面PCB，則需且，由，解得，由，解得，因?yàn)闉槠矫鎯?nèi)兩條相交直線，故平面，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G為AD的中點(diǎn)．20.已知圓C：，直線l恒過(guò)點(diǎn)（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.答案：（1）或（2）或【解析】分析：(1)分類(lèi)討論直線l的斜率存在與不存在，利用圓心到直線l的距離等于圓的半徑計(jì)算即可；(2)由題意知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的垂徑定理計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，圓C的圓心為，半徑，

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即l的方程為時(shí)，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，

化為一般式：，若直線l與圓相切，

則，即，解得，

：，即l：，

綜上，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，直線l的方程為或；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，

直線l的方程為，即，

設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，

由垂徑定理可得，，即，

整理得，，解得或，

則直線l的方程為或21.如圖，在直角中，，，，分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖.（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值；（3）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值.答案：（1）證明見(jiàn)解析（