高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+專題訓(xùn)練(新高考專用)專題40橢圓及直線與橢圓位置關(guān)系(原卷版+解析)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題40橢圓及其幾何性質(zhì)橢圓及其幾何性質(zhì)橢圓及其幾何性質(zhì)橢圓定義離心率焦點(diǎn)三角形橢圓方程橢圓方程面積周長面積周長練高考明方向1.(2023·全國甲（文）T11）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（）A.B.C.D.2.(2023·全國甲（理）T10）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.3.(2023·新高考Ⅰ卷T16）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是________________．4．(2023年高考全國乙卷理科)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是 ()A． B． C． D．5．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知橢圓C1：(a>b>0)右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．6．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則 ()A． B． C． D．7．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為 ()A．B．C．D．8．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 ()A． B． C． D．9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知橢圓，的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為 ()A． B． C． D．10．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓C:的左焦點(diǎn),分別為的左、右頂點(diǎn).為上一點(diǎn),且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過OE的中點(diǎn),則的離心率為 ()A． B． C． D．11．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A．B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為 ()A．B．QUOTEC．D12．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為 ()A． B． C． D．13．(2023年高考全國甲卷理科)已知為橢圓C：的兩個焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．14．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為___________．15．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。16．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)設(shè),分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個交點(diǎn)為N．(Ⅰ)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(Ⅱ)若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b．講典例備高考類型一、橢圓定義的應(yīng)用基礎(chǔ)知識：1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a>c，則集合P為橢圓．(2)若a＝c，則集合P為線段．(3)若a<c，則集合P為空集．基本題型：1、已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動點(diǎn)P的軌跡是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線2．若動點(diǎn)始終滿足關(guān)系式，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（）A． B． C． D．3．已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B(0，－4)，C(0,4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)基本方法：1．橢圓定義的應(yīng)用范圍(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓．(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題．類型二、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)知識：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦點(diǎn)在y軸上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)基本題型：1．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，橢圓的長軸長是焦距的倍，則該橢圓的方程為（）A． B．C． D．2．已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B(0，－4)，C(0,4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)3、若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1 D．以上答案都不對4．過點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝15．已知以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(y2,25)＋x2＝1 B.eq\f(x2,25)＋y2＝1C.eq\f(x2,25)＋y2＝1或eq\f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不對6．（多選題）已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，A，B為E的兩個頂點(diǎn).若，則E的方程為（）A． B． C． D．基本方法：1．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的2種常用方法（1）定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程（2）待定系數(shù)法（先定位，在定量）：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，2．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧：(1)如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為(A＞0，B＞0，A≠B)．(32)與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為eq\f(x2,m＋k)＋eq\f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．(3)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同離心率的橢圓，可設(shè)為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦點(diǎn)在y軸上)．類型三、求橢圓離心率的值或范圍基礎(chǔ)知識：橢圓的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)c2＝a2－b2基本題型：1、如圖，過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))2．已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)分別為點(diǎn)C的左?右焦點(diǎn)，并滿足，，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．3．是橢圓上的一點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，軸，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．（多選題）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，、分別為橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率可以為（）A． B． C． D．5、已知橢圓的內(nèi)接的頂點(diǎn)為短軸的一個端點(diǎn)，右焦點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.基本方法：求橢圓離心率或其取值范圍的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2求出e2，再開方．(2)先根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．注：在解關(guān)于橢圓的離心率e的二次方程時，要注意根據(jù)橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．類型四、焦點(diǎn)三角形的周長或面積基礎(chǔ)知識焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當(dāng)r1＝r2，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時，S取得最大值，最大值為bc；③△PF1F2的周長為2(a＋c)；④S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2).基本題型：1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,短軸長為,離心率為,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),則的周長為()A. B. C. D. 2．設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°，則△PF1F2的面積為()A．1 B.2C.3 D．43．（多選題）已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的周長為10B．面積的最大值為C．當(dāng)時，的面積為D．存在點(diǎn)P使得4．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．5．橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線x=t與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，的面積是___________.6、已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)，過點(diǎn)F2與x軸垂直的直線交橢圓于第一象限的A點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，則橢圓C的方程為。類型五、與橢圓有關(guān)的最值（范圍）問題基本題型：1、設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)2．已知P在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，則|PA|的最大值為()A.eq\f(\r(218),3) B.eq\f(76,3)C．5 D．2eq\r(5)3．是橢圓上的點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)，則的最大值與最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．254．已知點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________．6．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))的最大值為________．基本方法：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)求解.(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求解．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．(4)利用一元二次方程的判別式求解．新預(yù)測破高考1、若方程eq\f(x2,7－k)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．(5,7) B．(5,6)C．(6,7)D．(5,6)∪(6,7)2．已知橢圓上一動點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為q，則q取最大值時，的面積為（）A．1 B． C．2 D．3．已知動點(diǎn)M到兩個定點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)的距離之和為6，則動點(diǎn)M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,9)＋y2＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1C.eq\f(y2,9)＋x2＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝14．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，其面積為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，且的周長為16，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．5．過原點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．6、橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,均是線段的三等分點(diǎn),的周長為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D. 7．（多選題）點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的方程可以是（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)分別為點(diǎn)C的左?右焦點(diǎn)，并滿足，，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．9．(多選)已知P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，則()A．△PF1F2的周長為12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝210．（多選題）已知橢圓C∶(a>b>0)的左，右兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中F1F2=2c.直線l∶y=k(x+c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)則下列說法中正確的有（）A．△ABF2的周長為4aB．若AB的中點(diǎn)為M，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是D．若AB的最小值為3c，則橢圓的離心率11、如圖，過橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作斜率為的直線交橢圓C上半部分于A，B兩點(diǎn)，記△AOF1，△BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S2＝7：5，則橢圓C離心率為_____．12、我國自主研制的第一個月球探測器——“嫦娥一號”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后，在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌，奔向月球，進(jìn)入月球軌道．“嫦娥一號”軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是eq\f(R,2)，eq\f(5R,2)(如圖所示)，則“嫦娥一號”衛(wèi)星軌道的離心率為________．13．設(shè)，分別為橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則的方程為__________.14、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)，若直線的斜率為，且，則橢圓的離心率為________．15、若的兩個頂點(diǎn)，，周長為，則第三個頂點(diǎn)的軌跡方程是____________．16．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)，則下列說法中正確的是_______.①當(dāng)點(diǎn)不在軸上時，的周長是6；②當(dāng)點(diǎn)不在軸上時，面積的最大值為③存在點(diǎn)，使；④的取值范圍是17、如果橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過此焦點(diǎn)且垂直于軸的弦的長等于,則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.18．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為、，，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓短軸長的取值范圍是____________．19．已知橢圓的短軸長為8，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，且的面積為4，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為___________.2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題40橢圓及其幾何性質(zhì)橢圓及其幾何性質(zhì)橢圓及其幾何性質(zhì)橢圓定義離心率焦點(diǎn)三角形橢圓方程橢圓方程面積周長面積周長練高考明方向1.(2023·全國甲（文）T11）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（）A.B.C.D.答案：B分析：根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗裕瑢⒋?，解得，故橢圓的方程為.2.(2023·全國甲（理）T10）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.答案：A分析：設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.3.(2023·新高考Ⅰ卷T16）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是________________．答案：13分析：利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.4．(2023年高考全國乙卷理科)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是 ()A． B． C． D．答案：C解析：設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．5．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知橢圓C1：(a>b>0)右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．答案：（1）；（2），．解析：（1），軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）由（1）知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得．因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則 ()A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．7．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為 ()A．B．C．D．答案：B解析：如圖，設(shè)，則，由，可得，，所以點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．在中，由余弦定理可得，所以，即，即，又，所以橢圓方程為．8．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 ()A． B． C． D．答案：D解析：因?yàn)闉榈妊切?，，所以，由余弦定理得，所以，而，由已知，得，即，故選D．9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知橢圓，的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為 ()A． B． C． D．答案：A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，該圓與直線相切所以圓心到直線的距離，整理可得所以，故選A．【點(diǎn)評】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見的有兩種方法：①求出，代入公式e＝；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．10．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓C:的左焦點(diǎn),分別為的左、右頂點(diǎn).為上一點(diǎn),且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過OE的中點(diǎn),則的離心率為 ()A． B． C． D．答案：A【解析】由題意,設(shè)直線的方程為,分別令與,得點(diǎn),,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以橢圓的離心率,故選A.11．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A．B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為 ()A．B．QUOTEC．D答案：Ｄ解析：設(shè)，則=2，=－2，①；②，由①-②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴橢圓方程為，故選D．12．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為 ()A． B． C． D．答案：C解析：如上圖，是底角為的等腰三角形可得=2c在中，即，又∵，所以將等式兩邊同時除以a，得．13．(2023年高考全國甲卷理科)已知為橢圓C：的兩個焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．答案：解析：因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于．14．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為___________．答案：【解析】由已知可得，．．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．法二、在得出．．，∴．∴，的坐標(biāo)為．法三、由題知，又由焦半徑公式，得，從而得到，的坐標(biāo)為．15．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。答案：解析：設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為．16．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)設(shè),分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個交點(diǎn)為N．(Ⅰ)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(Ⅱ)若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b．答案：解析：（Ⅰ），解得（Ⅱ）依據(jù)題意，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，與軸垂直，所以直線與軸的交點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故，即由，得，設(shè)，且，易知，則，代入橢圓方程得又代入上式，解得．講典例備高考類型一、橢圓定義的應(yīng)用基礎(chǔ)知識：1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a>c，則集合P為橢圓．(2)若a＝c，則集合P為線段．(3)若a<c，則集合P為空集．基本題型：1、已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動點(diǎn)P的軌跡是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線答案：B【解析】點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓的定義知，P的軌跡是橢圓．2．若動點(diǎn)始終滿足關(guān)系式，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（）A． B． C． D．答案：B分析：由等式表示的幾何意義，結(jié)合相應(yīng)圓錐曲線定義即可得解.【詳解】因動點(diǎn)滿足關(guān)系式，則該等式表示點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離的和為8，而，即動點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，于是短半軸長b有，所以動點(diǎn)M的軌跡方程為.3．已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B(0，－4)，C(0,4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)答案：B【解析】∵△ABC的周長為20，頂點(diǎn)B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)．基本方法：1．橢圓定義的應(yīng)用范圍(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓．(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題．類型二、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)知識：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦點(diǎn)在y軸上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)基本題型：1．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，橢圓的長軸長是焦距的倍，則該橢圓的方程為（）A． B．C． D．答案：D分析：看問題：求橢圓的方程（屬于軌跡方程問題）想方法：求軌跡方程基本方法：（1）待定系數(shù)法：已知曲線類型用此法；（2）定義法；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）；（4）直譯法（直接法）；（5）參數(shù)法。看條件：是橢圓上的一點(diǎn)，想定義想坐標(biāo)，橢圓的長軸長是焦距的倍，則，注意定措施：用待定系數(shù)法，即利用條件建立方程組去求a,b,c.，從而可得得橢圓方程．【詳解】由題意，解得，所以橢圓方程為．2．已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B(0，－4)，C(0,4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)答案：B分析：看問題：求頂點(diǎn)A的軌跡方程（屬于軌跡方程問題）想方法：求軌跡方程基本方法：（1）待定系數(shù)法：已知曲線類型用此法；（2）定義法；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）；（4）直譯法（直接法）；（5）參數(shù)法。看條件：△ABC的周長為20，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，頂點(diǎn)B(0，－4)，C(0,4)，則|BC|＝8，定措施：由已知得|AB|＋|AC|＝12＞8，符合橢圓的定義，故用定義法，．【解析】∵△ABC的周長為20，頂點(diǎn)B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)．3、若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1 D．以上答案都不對答案：C【解析】直線x－2y＋2＝0與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)分別為(0,1)和(－2,0)．若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則c＝2，b＝1，a2＝5，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則b＝2，c＝1，a2＝5，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.故選C.4．過點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1答案：A【解析】由題意知c2＝5，可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,λ＋5)＋eq\f(y2,λ)＝1(λ>0)，則eq\f(9,λ＋5)＋eq\f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.5．已知以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(y2,25)＋x2＝1 B.eq\f(x2,25)＋y2＝1C.eq\f(x2,25)＋y2＝1或eq\f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不對答案：A【解析】設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25)，))∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)＋x2＝1.6．（多選題）已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，A，B為E的兩個頂點(diǎn).若，則E的方程為（）A． B． C． D．答案：ACD分析：分別分析A，B為橢圓E的兩個頂點(diǎn)的位置，從而求得參數(shù)a，b，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵∴僅有4種情況符合條件，即A為右頂點(diǎn)時，B為左頂點(diǎn)或上、下頂點(diǎn)；A為上頂點(diǎn)時，B為左頂點(diǎn)；∴①當(dāng)A為右頂點(diǎn)時，B為左頂點(diǎn)，此時，解得，橢圓方程為，故D正確；②當(dāng)A為右頂點(diǎn)時，B為上或下頂點(diǎn)，此時，解得，橢圓方程為，故A正確；③A為上頂點(diǎn)時，B為左頂點(diǎn)時，此時，解得，橢圓方程為，故C正確；基本方法：1．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的2種常用方法（1）定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程（2）待定系數(shù)法（先定位，在定量）：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，2．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧：(1)如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為(A＞0，B＞0，A≠B)．(32)與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為eq\f(x2,m＋k)＋eq\f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．(3)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同離心率的橢圓，可設(shè)為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦點(diǎn)在y軸上)．類型三、求橢圓離心率的值或范圍基礎(chǔ)知識：橢圓的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)c2＝a2－b2基本題型：1、如圖，過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案：C分析：由題意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq\f(a2－c2,a)，于是k＝eq\f(a2－c2,aa＋c).又eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a2－c2,aa＋c)<eq\f(1,2)，化簡可得eq\f(1,3)<eq\f(1－e2,1＋e)<eq\f(1,2)，解得eq\f(1,2)<e<eq\f(2,3)，故選C.2．已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)分別為點(diǎn)C的左?右焦點(diǎn)，并滿足，，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．答案：C分析：由題意畫出圖形，再由橢圓定義及勾股定理列式求解橢圓的離心率．【詳解】如圖，由，得△為直角三角形，則，又，，由，可得，則，即，，又，解得．故選：C．3．是橢圓上的一點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，軸，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．答案：D分析：求出、，由可求得的值.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)檩S，所以，將代入橢圓方程得，因?yàn)?，可得，即，因?yàn)?，所以，，解?4．（多選題）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，、分別為橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率可以為（）A． B． C． D．答案：ABD分析：分析可得，可得出關(guān)于的二次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍，即得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示，可得、、、，則，，因?yàn)闉殁g角，則，可得，即，因?yàn)椋獾?所以，ABD選項(xiàng)滿足條件.5、已知橢圓的內(nèi)接的頂點(diǎn)為短軸的一個端點(diǎn)，右焦點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.答案：【解析】由題意可設(shè)，，線段中點(diǎn)為，且，可得為的重心，設(shè)，，由重心坐標(biāo)公式可得，，，即有的中點(diǎn)，可得，，由題意可得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可得，由，可得，即有.故答案為：.基本方法：求橢圓離心率或其取值范圍的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2求出e2，再開方．(2)先根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．注：在解關(guān)于橢圓的離心率e的二次方程時，要注意根據(jù)橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．類型四、焦點(diǎn)三角形的周長或面積基礎(chǔ)知識焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當(dāng)r1＝r2，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時，S取得最大值，最大值為bc；③△PF1F2的周長為2(a＋c)；④S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2).基本題型：1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,短軸長為,離心率為,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),則的周長為()A. B. C. D. 答案：C【解析】由題意,橢圓的短軸長為,離心率為,所以,,則,所以,所以的周長為.2．設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°，則△PF1F2的面積為()A．1 B.2C.3 D．4答案：D分析：設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2a，①,m2＋n2＝4c2，②))由①2得m2＋n2＋2mn＝4a2，∴2mn＝4a2－4c2＝4b2＝16，∴mn＝8.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝eq\f(1,2)×8＝4.3．（多選題）已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的周長為10B．面積的最大值為C．當(dāng)時，的面積為D．存在點(diǎn)P使得答案：AB分析：由橢圓的方程可得，由的周長為可判斷A，當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時，的面積最大，可判斷B，利用余弦定理可橢圓的定義求出，可判斷C，設(shè)，則，由可得，解出方程可判斷D.【詳解】由橢圓的方程可得，的周長為，故A正確當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時，的面積最大，最大值為，故B正確，當(dāng)時，由余弦定理可得，所以，所以，可得，所以的面積為，故C錯誤設(shè)，則，由可得，從而可得解得，不成立，故D錯誤，故選：AB4．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．答案：(3，eq\r(15))分析：設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知點(diǎn)M在以F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以聯(lián)立方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,eq\r(15))．5．橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線x=t與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，的面積是___________.答案：分析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，根據(jù)題意可得到，并且當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立，，由此可求出的長，進(jìn)而可求的面積.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立，所以的周長，此時，所以此時的面積為.6、已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)，過點(diǎn)F2與x軸垂直的直線交橢圓于第一象限的A點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，則橢圓C的方程為。答案：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.．【解析】由題意，設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如圖，連接BF2，由橢圓的對稱性易得四邊形AF1BF2為平行四邊形，由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，設(shè)|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，則|F1F2|＝eq\r(3)m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝eq\f(1,2)·|BF1|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×m×eq\r(3)m＝eq\f(2\r(3),3)，解得m＝eq\f(2\r(3),3)，又由2c＝|F1F2|＝eq\r(3)m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2eq\r(3)，解得c＝1，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2)，則橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.類型五、與橢圓有關(guān)的最值（范圍）問題基本題型：1、設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)答案：A分析：當(dāng)0＜m＜3時，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(3),\r(m))≥eq\r(3)，解得0＜m≤1.當(dāng)m＞3時，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(m),\r(3))≥eq\r(3)，解得m≥9.故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．故選A.2．已知P在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，則|PA|的最大值為()A.eq\f(\r(218),3) B.eq\f(76,3)C．5 D．2eq\r(5)答案：C分析：設(shè)P(x0，y0)，則由題意得xeq\o\al(2,0)＝4(1－yeq\o\al(2,0))，所以|PA|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq\o\al(2,0))＋yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq\o\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(4,3)))2＋eq\f(76,3)，又－1≤y0≤1，所以當(dāng)y0＝－1時，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值為5.故選C.3．是橢圓上的點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)，則的最大值與最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．25答案：D分析：設(shè)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再由橢圓的幾何性質(zhì)可得最大值與最小值，從而可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)闄E圓方程為橢圓，所以.設(shè)，則,又.∴.故.所以的最大值與最小值的和為.故選：D.4．已知點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C分析：延長、相交于點(diǎn)，連接，利用橢圓的定義分析得出，設(shè)點(diǎn)，求出的取值范圍，利用橢圓的方程計(jì)算得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】如下圖，延長、相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)，由已知可得，，，則且，且有，，故，所以，.故選：C.5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))分析：若存在點(diǎn)P滿足條件，則圓x2＋y2＝c2與橢圓有公共點(diǎn)，則∠F1BF2≥90°(B為短軸端點(diǎn))，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq\f(\r(2),2)≤e＜1.6．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))的最大值為________．答案：4分析：由題意知a＝2，因?yàn)閑＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因?yàn)镕(－1,0)，A(2,0)，所以eq\o(PF,\s\up7(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up7(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2，則當(dāng)x0＝－2時，eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))取得最大值4.基本方法：與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)求解.(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求解．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求解．(4)利用一元二次方程的判別式求解．新預(yù)測破高考1、若方程eq\f(x2,7－k)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．(5,7) B．(5,6)C．(6,7)D．(5,6)∪(6,7)答案：D【解析】由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－k＞0，,k－5＞0，,7－k≠k－5，))解得5＜k＜7且k≠6.2．已知橢圓上一動點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為q，則q取最大值時，的面積為（）A．1 B． C．2 D．答案：B【詳解】根據(jù)橢圓定義，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時三角形是等腰三角形，易知，所以的面積為故選：B.3．已知動點(diǎn)M到兩個定點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)的距離之和為6，則動點(diǎn)M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,9)＋y2＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1C.eq\f(y2,9)＋x2＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1答案：D【解析】由題意有6>2＋2＝4，故點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.故選D.4．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，其面積為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，且的周長為16，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．答案：A分析：由題中所給結(jié)論得，由的周長為16結(jié)合橢圓定義得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】依題意得，則，由的周長為16結(jié)合橢圓定義可得，所以，，又橢圓焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.5．過原點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．答案：D分析：作出圖形，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合橢圓的定義求解即可.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)檫^原點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，所以原點(diǎn)平分線段，又因?yàn)樵c(diǎn)平分線段，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又因?yàn)?，所?6、橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,均是線段的三等分點(diǎn),的周長為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D. 答案：A【解析】由橢圓的定義知,則的周長為,所以,所以橢圓的方程為.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限,則由,均是線段的三等分點(diǎn),得是線段的中點(diǎn),又,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,由,得,所以,所以,.把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得,即,化簡得,又,所以,解得,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.7．（多選題）點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的方程可以是（）A． B． C． D．答案：ACD分析：設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為B，由題滿足，即，可得，即可得出答案.【詳解】設(shè)橢圓方程為，設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為B，橢圓上存在點(diǎn)，使得，則需，，即，，則，所以選項(xiàng)ACD滿足.8．已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)分別為點(diǎn)C的左?右焦點(diǎn)，并滿足，，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．答案：C分析：由題意畫出圖形，再由橢圓定義及勾股定理列式求解橢圓的離心率．【詳解】如圖，由，得△為直角三角形，則，又，，由，可得，則，即，，又，解得．故選：C．9．(多選)已知P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，則()A．△PF1F2的周長為12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝2答案：BCD分析：由橢圓方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周長為2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A選項(xiàng)錯誤；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq\f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)